Integrability of two-loop dilatation operator in gauge theories

We study the two-loop dilatation operator in the noncompact SL(2) sector of QCD and supersymmetric Yang-Mills theories with N=1,2,4 supercharges. The analysis is performed for Wilson operators built from three quark/gaugino fields of the same helicity belonging to the fundamental/adjoint representation of the SU(3)/SU(N_c) gauge group and involving an arbitrary number of covariant derivatives projected onto the light-cone. To one-loop order, the dilatation operator inherits the conformal symmetry of the classical theory and is given in the multi-color limit by a local Hamiltonian of the Heisenberg magnet with the spin operators being generators of the collinear subgroup of full (super)conformal group. Starting from two loops, the dilatation operator depends on the representation of the gauge group and, in addition, receives corrections stemming from the violation of the conformal symmetry. We compute its eigenspectrum and demonstrate that to two-loop order integrability survives the conformal symmetry breaking in the aforementioned gauge theories, but it is violated in QCD by the contribution of nonplanar diagrams. In SYM theories with extended supersymmetry, the N-dependence of the two-loop dilatation operator can be factorized (modulo an additive normalization constant) into a multiplicative c-number. This property makes the eigenspectrum of the two-loop dilatation operator alike in all gauge theories including the maximally supersymmetric theory. Our analysis suggests that integrability is only tied to the planar limit and it is sensitive neither to conformal symmetry nor supersymmetry.Comment: 70 pages, 10 figure

Aspectos microscópicos da interação feijoeiro-Colletotrichum lindemuthianum mediados pelo silício

A antracnose, causada pelo fungo Colletotrichum lindemuthianum, é uma das doenças mais destrutivas que afetam a cultura do feijoeiro. Com o objetivo de encontrar alternativas para o controle dessa doença, o presente trabalho investigou, em nível microscópico, o efeito do silício (Si) na resistência do feijoeiro à infecção por C. lindemuthianum. Plantas de feijoeiro (cv. Pérola) foram cultivadas em solução nutritiva contendo 0 (-Si) ou 2 mM (+Si) de Si e inoculadas no estádio de crescimento V4 com uma suspensão de conídios de C. lindemuthianum. A severidade da antracnose decresceu cerca de 52% nas folhas das plantas supridas com Si (4,4%) em relação às folhas das plantas não supridas (8,5%). Observações de folhas de feijoeiro das plantas não supridas com Si no microscópio eletrônico de varredura revelaram alterações morfológicas nas nervuras em contraste com as folhas de plantas supridas com Si. Utilizando-se a microanálise de raios-X, verificou-se maior concentração dos minerais enxofre, potássio e Si nas folhas das plantas supridas com Si. Em conclusão, o suprimento de Si em plantas de feijoeiro foi importante para reduzir os sintomas da antracnose