Asymptotic behaviour of a singularly perturbed convection-diffusion problem in a rectangle with discontinuous Dirichlet data

We consider a singularly perturbed convection-diffusion equation, −ε△u+ −→v · −→∇u = 0, defined on a rectangular domain Ω ≡ {(x, y)| 0 ≤ x ≤ πa, 0 ≤ y ≤ π}, a > 0, with Dirichlet-type boundary conditions discontinuous at the points (0, 0) and (πa, 0): u(x, 0) = 1, u(x, π) = u(0, y) = u(πa, y) = 0. An asymptotic expansion of the solution is obtained from a a series representation in two limits: a) when the singular parameter ε → 0 + (with fixed distance to the points (0, 0) and (πa, 0)) and b) when (x, y) → (0, 0) or (x, y) → (πa, 0) (with fixed ε). It is shown that the first term of the expansion at ε = 0 contains a linear combination of error functions. This term characterizes the effect of the discontinuities on the ε−behaviour of the solution u(x, y) in the boundary or the internal layers. On the other hand, near the points of discontinuity (0, 0) and (πa, 0), the solution u(x, y) is approximated by a linear function of the polar angle

Método de identificación de variaciones genéticas relevantes asociadas a la Distrofia Muscular de Duchenne y de Becker basado en la Inteligencia Artificial Explicable

[ES] El presente proyecto de fin de grado, impulsado por el grupo de genómica del Centro de Investigación en Métodos de Producción de Software (PROS) de la UPV, miembro del Instituto Valenciano de Inteligencia Artificial (VRAIN), en colaboración con el Dr. José M. Millán, director del Grupo de Investigación en Biomedicina Molecular, Celular y Genómica del IIS La Fe de Valencia, consistió en la identificación de variaciones relevantes asociadas al desarrollo de las enfermedades de distrofia muscular de Duchenne (DMD) y Becker (BMD). Para la consecución de tal tarea, se empleó un método surgido a partir de la unión de dos métodos preexistentes: el método SILE y el método sobre el cual está basado la Inteligencia Artificial Explicable (IAE) . A lo largo del desarrollo del método, se alcanzaron una serie de objetivos específicos que fueron surgiendo a medida que avanzaba el proyecto. Dichos objetivos consistieron en evaluar y contribuir a la evolución de la plataforma de gestión de datos genómicos “Oráculo Genómico de Delfos” (OraGenDel), desarrollada por el Centro PROS, así como en elaborar propuestas de mejora de la misma. También se determinó la importancia de la base de datos de LOVD, considerada de referencia por parte del personal investigador en el ámbito de las distrofinopatías (el grupo de enfermedades entre las cuales se encuentran la DMD y la BMD), dado que la plataforma OraGenDel no presentaba los conectores necesarios para analizar la información de la misma. Por último, se llevó a término un análisis del significado biológico que albergaban las variaciones que se asociaban a los pacientes de ambas enfermedades (DMD y BMD) y que habían sido clasificadas como relevantes en los experimentos previos. De estas enfermedades destaca el hecho de que, al estar incluidas dentro del grupo de Enfermedades Raras por su baja prevalencia (1-9/100000), suelen contar con menos medios para su investigación. No obstante, con este trabajo, se contribuyó a profundizar en el conocimiento de las mismas a nivel molecular.[EN] The present end-of-degree project, promoted by the genomics group of the Center for Research on Software Production Methods (PROS) of the UPV, member of the Valencian Institute of Artificial Intelligence (VRAIN), in collaboration with José M. Millán, PhD, director of the Molecular, Cellular and Genomic Biomedicine Research Group of the IIS La Fe of Valencia, consisted in the identification of relevant variations associated with the development of Duchenne muscular dystrophy (DMD) and Becker muscular dystrophy (BMD) diseases. In order to achieve this task, a method was used that arose from the union of two pre-existing methods: the SILE method and a method in which Explainable Artificial Intelligence is based. Throughout the development of this method, a series of specific objectives were achieved, which emerged as the project progressed. These objectives consisted, firstly, in evaluating and contributing to the evolution of the “Delphos Genomic Oracle” genomic data management platform (OraGenDel), developed by PROS, as well as in elaborating proposals for its improvement. Another objective that was achieved was the determination of the importance of the LOVD database, considered as a reference by research staff in the field of dystrophinopathies (the group of diseases among which DMD and BMD are found), given that the OraGenDel platform did not present the needed connectors to analyze the information therein. Finally, an analysis of the biological significance of the variations that were associated with patients with both diseases (DMD and BMD) and that had been classified as relevant in previous experiments was carried out. It is key to point out that given that these diseases are included in Rare Diseases group due to their low prevalence (1-9/100000), they usually have fewer means for their research stands out. However, this work contributed to deepen the knowledge of these diseases at the molecular level.López García, EM. (2021). Método de identificación de variaciones genéticas relevantes asociadas a la Distrofia Muscular de Duchenne y de Becker basado en la Inteligencia Artificial Explicable. Universitat Politècnica de València. http://hdl.handle.net/10251/171055TFG

The use of two-point Taylor expansions in singular one-dimensional boundary value problems I

We consider the second-order linear differential equation (x + 1)y′′ + f(x)y′ + g(x)y = h(x) in the interval (−1, 1) with initial conditions or boundary conditions (Dirichlet, Neumann or mixed Dirichlet-Neumann). The functions f(x), g(x) and h(x) are analytic in a Cassini disk Dr with foci at x = ±1 containing the interval [−1, 1]. Then, the end point of the interval x = −1 may be a regular singular point of the differential equation. The two-point Taylor expansion of the solution y(x) at the end points ±1 is used to study the space of analytic solutions in Dr of the differential equation, and to give a criterion for the existence and uniqueness of analytic solutions of the boundary value problem. This method is constructive and provides the two-point Taylor approximation of the analytic solutions when they exist.The Ministerio de Economía y Competitividad (REF. MTM2014-52859-P) is acknowledged by its financial support

A convergent version of Watson’s lemma for double integrals

A modification of Watson’s lemma for Laplace transforms ∞ 0 f(t) e−zt dt was introduced in [Nielsen, 1906], deriving a new asymptotic expansion for large |z| with the extra property of being convergent as well. Inspired in that idea, in this paper we derive asymptotic expansions of two-dimensional Laplace transforms F(x, y) := ∞ 0 ∞ 0 f(t,s) e−xt−ys dt ds for large |x| and |y| that are also convergent. The expansions of F(x, y) are accompanied by error bounds. Asymptotic and convergent expansions of some specialfunctions are given as illustration.Open access funding provided by Universidad Pública de Navarr

Una simplificación del método de Laplace y aplicaciones

Multitud de funciones especiales de la física aparecen en problemas de mecánica cuántica como solución de ciertas ecuaciones diferenciales. Muchas de estas funciones admiten una representación integral de la forma F(x) ≡ Z b a e −x f(t) g(t) dt, donde x representa alg´un parámetro físico de la teoría en consideración. La evaluación de estas integrales no resulta sencilla en general, pero en muchas ocasiones, ese parámetro x toma valores elevados. Por ello, resulta interesante disponer de métodos de evaluación aproximada de este tipo de integrales para valores grandes de la variable x. El método más utilizado es el de Laplace. La principal dificultad en dicho método para la obtenci´on de desarrollos asintóticos de este tipo de integrales la origina un cambio de variable. Para suavizar esto, proponemos una factorización del integrando que evita dicho cambio de variable, simplificando enormemente las operaciones. Por un lado, el cálculo de los coeficientes del desarrollo asintótico es muy sencillo. Por otro lado, la secuencia asintótica obtenida con nuestro método es tan sencilla como en el método estándar de Laplace: funciones gamma completas o incompletas. Además, obtenemos una fórmula explícita para los coeficientes de dicho desarrollo, a diferencia de lo que sucede en el método de Laplace, donde rara vez es posible obtener fórmulas explícitas. Más todavía, mediante una reagrupación de términos podemos obtener fórmulas explícitas para los coeficientes del desarrollo de Laplace estándar