Entanglement in eight-qubit graph states

Any 8-qubit graph state belongs to one of the 101 equivalence classes under local unitary operations within the Clifford group. For each of these classes we obtain a representative which requires the minimum number of controlled-Z gates for its preparation, and calculate the Schmidt measure for the 8-partite split, and the Schmidt ranks for all bipartite splits. This results into an extension to 8 qubits of the classification of graph states proposed by Hein, Eisert, and Briegel [M. Hein, J. Eisert, H.J. Briegel, Phys. Rev. A 69 (2004) 062311].Junta de Andalucía P06-FQM-02243Ministerio de Ciencia e Innovación FIS2008-05596Junta de Andalucía PAI-FQM-0239Junta de Andalucía P06-FQM-01649Ministerio de Educación y Ciencia MTM2008-05866-C03-01Junta de Andalucía PAI-FQM-016

Una propuesta de investigación-acción para la mejora del aprendizaje de los alumnos en el laboratorio de la asignatura Fundamentos Físicos de la Arquitectura Técnica

Este trabajo resume el proyecto de investigación realizado por sus autores dentro del Programa de Formación de Profesores Noveles de la Universidad de Sevilla. Tomando como base la opinión de estudiantes y profesores, se identificó la necesidad de una acción de mejora en el desarrollo de las sesiones de laboratorio de la asignatura Fundamentos Físicos de la Arquitectura Técnica: facilitar a los alumnos la realización y comprensión de la práctica dedicada al estudio de la corriente alterna. A requerimiento de éstos, el equipo docente implementó nuevo material de apoyo, que incluye conceptos y procedimientos, y que busca fomentar un aprendizaje autónomo, asíncrono y autorregulado. Basado en presentaciones flash, como unidades de aprendizaje independientes, este material integra texto, gráficos, vídeo y audio con comentarios de uno de los autores, además de cuestionarios de autoevaluación. El análisis de los resultados mostró que los estudiantes utilizaron este material y que les fue útil en su formación.This paper summarizes the research project performed by the authors in the Teacher Training Programme for Novices supported by the University of Seville (Spain). Based on the viewpoints of the students and teachers involved, it was discovered that an improvement in the laboratory sessions of the subject Foundations of Physics for Technical Architecture was necessary in order to help the students to carry out and understand the practical classes devoted to the study of the alternating electric current. Additional support material, which included concepts and procedures and sought to promote independent, self-regulated and asynchronous learning was implemented. include interactive text, images, video and audio recorded from one of the authors’ comments Based on flash presentations as units of independent learning, interactive text, images, video, and audio material were integrated together with comments from one of the authors and a self-evaluation questionnaire. The analysis of the results showed that the students used this material and that it proved useful in their training

Compact set of invariants characterizing graph states of up to eight qubits

The set of entanglement measures proposed by Hein, Eisert, and Briegel for n-qubit graph states [Phys. Rev. A 69, 062311 (2004)] fails to distinguish between inequivalent classes under local Clifford operations if n > 6. On the other hand, the set of invariants proposed by van den Nest, Dehaene, and De Moor (VDD) [Phys. Rev. A 72, 014307 (2005)] distinguishes between inequivalent classes, but contains too many invariants (more than 2 10^{36} for n=7) to be practical. Here we solve the problem of deciding which entanglement class a graph state of n < 9 qubits belongs to by calculating some of the state's intrinsic properties. We show that four invariants related to those proposed by VDD are enough for distinguishing between all inequivalent classes with n < 9 qubits.Comment: REVTeX4, 9 pages, 1 figur

Experimental fully contextual correlations

Quantum correlations are contextual yet, in general, nothing prevents the existence of even more contextual correlations. We identify and test a noncontextuality inequality in which the quantum violation cannot be improved by any hypothetical postquantum theory, and use it to experimentally obtain correlations in which the fraction of noncontextual correlations is less than 0.06. Our correlations are experimentally generated from the results of sequential compatible tests on a four-state quantum system encoded in the polarization and path of a single photon.Comment: REVTeX4, 6 pages, 3 figure

Entanglement in eight-qubit graph states

Any 8-qubit graph state belongs to one of the 101 equivalence classes under local unitary operations within the Clifford group. For each of these classes we obtain a representative which requires the minimum number of controlled-Z gates for its preparation, and calculate the Schmidt measure for the 8-partite split, and the Schmidt ranks for all bipartite splits. This results into an extension to 8 qubits of the classification of graph states proposed by Hein, Eisert, and Briegel [Phys. Rev. A 69, 062311 (2004)].Comment: REVTeX4, 9 pages, 2 figure

Correlaciones cuánticas y grafos

Esta tesis doctoral trata de diversos aspectos de la teoría cuántica (TC), que abarcan desde el campo de los fundamentos de la disciplina (en particular, la búsqueda de un conjunto de principios que seleccionen y distingan a la TC en el panorama de las teorías probabilísticas generales) hasta el reino de las aplicaciones en información y computación cuánticas. Todos los problemas que hemos abordado en nuestra investigación tienen un rasgo distintivo común: la teoría de grafos parece ser especialmente adecuada para describirlos y tratarlos. Y no sólo eso: el lenguaje y las herramientas de la teoría de grafos proporcionan una poderosa y nueva percepción que permite arrojar luz sobre tales problemas, y representan además un importante impulso para futuros desarrollos. Precisamente, uno de los problemas que tuvimos que plantearnos en esta tesis, desde el primer momento, fue decidir su título. El alcance de la tesis era demasiado amplio como para poderlo comprimir en un título que fuese significativo, preciso y relativamente corto, y esto explica nuestra elección final: Quantum correlations and graphs, es decir,Correlaciones cuánticas y grafos, una declaración intencionadamente de amplio espectro y algo vaga con la que intentamos capturar los principales aspectos de nuestra investigación, quizá sin éxito. En lo que concierne a la alusión a los grafos en el título, la principal razón para nuestra concisión es la siguiente: la tesis está dividida en dos partes en las que los grafos constituyen la herramienta matemática ubicua y versátil sobre la cual hemos basado toda nuestra investigación. Sin embargo, hemos de hacer notar que los grafos significan cosas muy distintas y juegan papeles bien diferentes en cada parte de la tesis. En la Parte I, que está dedicada a los grafos de exclusividad de desigualdades no contextuales (NC), los grafos dan cuenta de experimentos en los cuales algunas medidas se llevan a cabo sobre ciertos estados: los vértices de uno de tales grafos representan eventos, en tanto que las aristas describen relaciones de exclusividad mutua entre eventos, y sobre la base de dichos grafos nosotros construimos desigualdades NC y calculamos sus valores límite a partir de algunos números combinatorios propios de los grafos. En la Parte II, que está dedicada específicamente a los denominados estados grafo, los grafos por el contrario representan estados cuánticos entrelazados de muchos qubits. El grafo no sólo proporciona una ayuda para escribir el generador del estado grafo, sino que también sirve por así decir como una plantilla o guía para su preparación: los vértices representan qubits, y las aristas describen subsiguientes operaciones de entrelazamiento cada una de la cuales involucra a dos qubits. Todo esto prueba cuán fructífera y versátil llega a ser la teoría de grafos cuando se aplica a algunos problemas fundamentales en TC, lo que constituye una de la principales ideas que alientan la tesis. Entre estas dos partes de la tesis, en apariencia desligadas, hay no obstante una profunda conexión, que se explica con detalle al final de la tesis. En pocas palabras: hay una construcción que partiendo de cualquier grafo conexo de tres o más vértices que describe a un estado grafo lleva a un grafo de mayor orden y tamaño, siendo ´este último un grafo de exclusividad cuyos vértices representan todos los posibles eventos consistentes con el grupo estabilizador del estado grafo original, y cuyas aristas conectan eventos mutuamente excluyentes. Tal procedimiento transcribe en términos de teoría de grafos la conexión existente entre un estado grafo y una desigualdad de Bell violada máximamente por la TC. Otro comentario importante tiene que ver con correlaciones cuánticas, el otro elemento que aparece con concisión en el título: proporcionamos una definición general de correlaciones cuánticas en la Sec. 1.2.4, a la que referimos al lector para más detalle. Nosotros seleccionamos dos tipos de correlaciones cuánticas: correlaciones cuánticas proyectivas, y correlaciones cuánticas tipo Bell. Debemos enfatizar el hecho de que en la primera parte de esta tesis, a menos que se diga expresamente lo contrario, por correlaciones cuánticas se entenderá que se trata de correlaciones cuánticas proyectivas, es decir, correlaciones entre los resultados demedidas conjuntas de observables cuánticos proyectivos. Las razones para esta elección se aportan en la p. 46. Por otro lado, nuestro principal interés en la segunda parte de la tesis es la clasificación y preparación óptima de estados grafo. En este caso, las correlaciones cuánticas (en particular, correlaciones cuánticas tipo Bell) aparecen implícitamente al discutir la conexión existente entre los grafos de exclusividad, los estados grafo y una clase de desigualdades de Bell violada máximamente por los estados grafo. Con todas estas consideraciones en mente, pasamos a continuación a hacer una descripción resumida de nuestro trabajo de investigación. La tesis que presentamos, como ha quedado dicho, está estructurada en dos partes: 1. La Parte I se titulaGrafos de exclusividad de desigualdades no contextuales, y está organizada en cuatro capítulos: • Capítulo 1:Aproximación a las correlaciones cuánticas mediante teoría de grafos. Éste es un capítulo introductorio, cuyo principal propósito es proporcionar el mínimo trasfondo teórico necesario para discutir los problemas y resultados de la primeraparte de la tesis, además de presentar nuestros primeros resultados más básicos. Comenzamos en la Sec. 1.1 con una descripción concisa y autocontenida del marcogeneral de las teorías operacionales, siguiendo las Refs. [1, 2]. Esta introducción concluye con la definición de exclusividad mutua entre eventos, en términos operacionales. Ello nos permite conectar la observación de Specker acerca de la mensurabilidad dos a dos y la mensurabilidad conjunta en TC con el principio de exclusividad(E), es decir, con el hecho de que la suma de las probabilidades de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes dos a dos no puede exceder de 1. En la Sec. 1.2 pasamos revista a diferentes tipos de correlaciones entre resultados de medidas realizadas en un sistema, según las predicciones de ciertas teorías físicas. Seguimos las Refs. [3, 4, 5] en la discusión de las correlaciones locales, cuánticas, no-signalingand generales. Nos ocupamos de dos tipos de correlaciones cuánticas: proyectivas ytipo Bell, y seguidamente centramos nuestra atención en las correlaciones cuánticasproyectivas, proporcionando razones para dicha elección en la primera parte de la tesis. En la Sec. 1.3 definimos correlaciones no contextuales, e introducimos el concepto de desigualdad NC. La Sec. 1.4 se dedica a presentar la aproximación a las correlaciones cuánticas mediante teoría de grafos de Cabello-Severini-Winter (CSW), recogida en las Refs. [6, 7], atendiendo específicamente a dos resultados principales y varias propuestas de posible desarrollo ulterior de dichos autores, en las cuales se basa nuestra investigación. Presentamos nuestros primeros resultados básicos en la Sec. 1.5, relativos a la clasificación de los llamados grafos cuánticos contextuales (QCG), y concluimos resumiendo las conexiones entre esta clasificación y los problemas abordados en capítulos subsiguientes. • Capítulo 2: Grafos de exclusividad básicos en correlaciones cuánticas. En este capítulo nos ocupamos de un problema fundamental: entender por qué la TC viola únicamente ciertas desigualdades NC, e identificar los principios físicos que impiden violaciones mayores que las producidas por la TC. Utilizamos, como herramienta principal a lo largo del capítulo, el grafo de exclusividad de una desigualdad NC que ya se ha introducido previamente en la Sec. 1.4.2. En la Sec. 2.3, presentamos una condición necesaria para la existencia de correlaciones cuánticas contextuales: demostramos que la TC viola únicamente aquellas desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad contienen, como subgrafos inducidos, ciclos impares de cinco o más vértices y/o sus complementos. En la Sec. 2.4, mostramos que se puede obtener una cota inferior de la dimensión (i. e., del número de estados perfectamente distinguibles) del sistema cuántico utilizado para violar la desigualdad NC mediante la identificación de subgrafos inducidos en el grafo de exclusividad de la desigualdad NC. El resultado de la Sec. 2.3 sugiere que las desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son o bien un ciclo impar o bien su complemento son especialmente importantes para entender la manera en que la TC viola desigualdades NC. En la Sec. 2.5 mostramos que los ciclos impares son los grafos de exclusividad de una familia bien conocida de desigualdades NC, y que hay también una familia de desigualdades NC cuyos grafos de exclusividad son los complementos de los ciclos impares. Además, caracterizamos los valores máximos no contextual y cuántico de estas desigualdades NC y proporcionamos los estados cuánticos y las medidas que conducen a sus violaciones cuánticas máximas. Finalmente, en la Sec. 2.6 presentamos algunos resultados que ofrecen evidencias que apoyan la conjetura de que el principio E selecciona exactamente la máxima violación cuántica de la desigualdades NC discutidas en la Sec. 2.5. Finalizamos el capítulo con material adicional en la Sec. 2.7, en la que presentamos una tabla que cuenta el número de subgrafos de exclusividad básicos inducidos en los grafos de exclusividad de algunas desigualdades NC y demostraciones de Kochen-Specker (KS) conocidas. • Capítulo 3:Correlaciones cuánticas completamente contextuales. Las correlaciones cuánticas son contextuales. Sin embargo, en general, nada impide la existencia de correlaciones incluso más contextuales aún. El propósito del Capítulo 3 es identificar y poner a prueba una desigualdad NC en la cual la violación cuántica no pueda ser mejorada por ninguna hipotética teoría post-cuántica, y utilizarla para obtener experimentalmente correlaciones en las que la fracción de correlaciones no contextuales sea lo más pequeña posible. Tales correlaciones se generan experimentalmente a partir de los resultados de test secuenciales compatibles realizados sobre un sistema cuántico de cuatro estados codificado en la polarización y el camino de un solo fotón. Para abordar dicho propósito, utilizamos una de las ideas clave del Capítulo 1 (en particular, las Secs. 1.4.6 y 1.5.1): la aplicación de la aproximación de CSW mediante teoría de grafos a las correlaciones cuánticas (Ref. [7]) sobre la base de nuestra clasificación de los QCG (Ref. [8]) permite diseñar experimentos con contextualidad cuántica “a la carta”, mediante la selección de grafos con las propiedades deseadas. El Capítulo 3 presenta un destacado ejemplo de este programa: utilizamos el enfoque teórico-gráfico de CSW a fin de identificar y realizar un experimento con test cuánticos secuenciales y compatibles, que produce correlaciones con la mayor contextualidad permitida por la suposición de no-disturbance (ND) (v´ease Ec. (1.20)), cuya validez se asume también para teorías post-cuánticas. Con ese objetivo, en la Sec. 3.2 introducimos en primer lugar una medida de contextualidad de las correlaciones, el llamado contenido no contextualWNC, de modo que el valor WNC = 0 corresponde a la contextualidad máxima. A continuación, mostramos cómo obtener experimentalmente cotas superiores medibles deWNC. Más tarde, en la Sec. 3.3, mostramos en qué modo la teoría de grafos nos permite identificar experimentos en que la cota superior de WNC predicha por la TC es igual a cero, y aplicamos ese método para seleccionar un experimento para el cualWNC = 0. Esto implica a su vez utilizar nuestra clasificación de los QCG para seleccionar un grafo con las propiedades combinatorias deseadas, i. e., un grafo cuántico completamente contextual (QFCG). Encontramos que hay únicamente cuatro QFCG con menos de 11 vértices, e identificamos aquí el que requiere un sistema cuántico con la dimensión mínima necesaria para producir la máxima violación cuántica de la desigualdad NC asociada a dicho grafo de exclusividad. Además, proporcionamos la desigualdad NC, el estado cuántico y las medidas conducentes a la máxima violación cuántica. Finalmente, en la Sec. 3.4, describimos y llevamos a cabo el experimento que pone a prueba dicha desigualdad NC, y discutimos los resultados obtenidos, que ponen de manifiesto correlaciones para las que WNC < 0.06. • Capítulo 4: Redes sociales cuánticas. Para cerrar la primera parte de la tesis, este capítulo propone una interesante aplicación de las ideas expuestas en los capítulos precedentes. Consideramos una tarea de teoría de la información, en concreto la maximización de cierta probabilidad promedio, para la cual el enfoque de CSW basado en teoría de grafos constituye un marco natural. Para dicha tarea, la TC no sólo supera a las teorías clásicas, sino que también en algunos casos no puede ser mejorada utilizando hipotéticas teorías post-cuánticas. El aspecto novedoso aquí es que el enfoque se hace más atractivo al tender un puente con otra disciplina, la de las ciencias sociales, en la que la teoría de grafos proporciona una herramienta principal en el análisis, y esta conexión abre la posibilidad a posteriores aplicaciones insospechadas. Enfocamos nuestra atención en las redes sociales (RS), un objeto de estudio tradicional en las ciencias sociales. Empezamos con la observación de que, si bien una RS viene típicamente descrita por un grafo en que los vértices representan actores de la red y las aristas representan el resultado de su mutua interacción, dicho grafo no captura la naturaleza de las interacciones ni explica por qué un actor está conectado o no a otros actores de la RS. Desde esta perspectiva, el grafo da una descripción incompleta de la RS. El objetivo de este capítulo es discutir las RS sobre la base de las interacciones generales que pueden dar lugar a ellas. En la Sec. 4.1 introducimos un enfoque físico a las RS en que cada actor está caracterizado por un test sí-no sobre un sistema físico. Este enfoque permite considerar RS más generales (RSG), más allá de aquéllas generadas por interacciones basadas en propiedades pre-existentes, como ocurre en las RS clásicas (RSC). También ponemos de manifiesto la diferencia entre una RSG y una RSC descritas por el mismo grafo, por medio de una tarea simple para la cual la probabilidad promedio de éxito está acotada superiormente de manera diferente dependiendo de la naturaleza de las interacciones que definen la RS. En la Sec. 4.2 introducimos las RS cuánticas (RSQ), como un ejemplo de RS más allá de las RSC. En una RSQ, un actor i está caracterizado por un test acerca de si el sistema está o no en un estado cuántico |ψi›. Nosotros demostramos que las RSQ superan a las RSC para la tarea previamente mencionada y en ciertos grafos. Identificamos los más simples de entre dichos grafos, y mostramos que los grafos en que las RSQ superan a las RSC son cada vez más frecuentes a medida que crece el número de vértices. En la Sec. 4.3 consideramos grafos para los que las RSQ superan a las RSC, pero ninguna RSG supera a la mejor RSQ, e identificamos todos los grafos con menos de 11 vértices con esa propiedad. Es más, analizamos también el hecho de que, mientras que la ventaja cuántica usualmente requiere la preparación del sistema en un estado cuántico específico, según crece la complejidad de la red este requerimiento llega a ser innecesario: existen grafos para los cuales la ventaja cuántica es independiente del estado cuántico. Nosotros identificamos el grafo más simple de esta clase. El capítulo finaliza con algunas observaciones acerca de las posibles implicaciones prácticas de estas ideas, en la Sec. 4.4; y con un breve apéndice con detalles técnicos acerca de las herramientas y procedimientos necesarios para alcanzar nuestros resultados, en la Sec. 4.5. 2. La Parte II lleva por título Estados grafo: Clasificación y preparación óptima, y está estructurada en cinco capítulos: • Capítulo 5:Introducción: Formalismo de estabilizador y estados grafo. Es éste un capítulo introductorio, cuyo propósito es proporcionar las definiciones principales, y el mínimo trasfondo teórico necesario para sentar las bases para ladiscusión de los resultados de la segunda parte de la tesis. El capítulo se organiza endos secciones: La Sec. 5.1 se dedica a introducir el formalismo de estabilizador. Presentamos, en una forma autocontenida y compacta, algunos conceptos básicos y definiciones junto con la notación y las técnicas que se utilizarán en los siguientes capítulos. Discutimos brevemente el grupo de Pauli, y consideramos estados estabilizados y operadores estabilizadores, en general; y a continuación ponemos énfasis específicamente en los conceptos de estabilizador y generador, y en estados de estabilizador, que serán utilizados con profusión más tarde. Entre las operaciones unitarias destacamos el papel importante de las operaciones pertenecientes al grupo de Clifford, que serán de mucha utilidad cuando más tarde tratemos con los estados grafo y sus propiedades de entrelazamiento. La Sec. 5.2 enfoca la atención sobre los estados grafo, ejemplos particulares de estados de estabilizador que constituyen el objeto de estudio en esta parte de nuestra investigación. Presentamos una lista condensada de posibles aplicaciones de los estados grafo en teoría cuántica de la información. Se dan dos definiciones de estado grafo en la Sec. 5.2.1: la primera constituye una receta para la preparación de un estado grafo, que utiliza el grafo correspondiente como una plantilla o modelo. La segunda constituye una caracterización algebraica del generador del estado grafo sobre la base del propio grafo. En la Sec. 5.2.2 nos ocupamos de los estados grafo entendidos como un “laboratorio teórico” para el entrelazamiento multipartito, y describimos algunos resultados relevantes obtenidos previamente por otros autores en relación con el problema general de la clasificación del entrelazamiento en estados cuánticos puros, que proporcionan el escenario conceptual para nuestras contribuciones. Terminamos la exposición con un resumen sucinto acerca de la clasificación de los estados grafo de hasta 7 qubits en clases de equivalencia bajo operaciones locales de Clifford (LC), que fue llevada a cabo por nuestros predecesores Hein, Eisert y Briegel (HEB) en la Ref. [9], la cual puede considerarse el punto de partida de nuestro trabajo sobre estados grafo. • Capítulo 6:Entrelazamiento en estados grafo de ocho qubits. En este capítulo extendemos hasta ocho qubits la clasificación de los estados grafo de acuerdo a la equivalencia LC llevada a cabo en la Ref. [9], con la que cerramos el capítulo precedente. Van den Nest, Dehaene y De Moor (VDD) encontraron en la Ref. [10] que la aplicación sucesiva de una transformación con una descripción gráfica simple es suficiente para generar la clase de equivalencia completa de estados grafo bajo operaciones locales unitarias (LU) pertenecientes al grupo de Clifford, también conocida como órbita. Esta transformación simple recibe el nombre de complementación local, transformación que en definitiva permite generar las ´orbitas de todos los estados grafo de n qubits no equivalentes bajo operaciones LC; en particular, las 101 ´orbitas correspondientes a los estados grafo de 8 qubits, cuya clasificación es la meta de este capítulo. Para establecer un orden entre las clases de equivalencia nosotros utilizamos los criterios propuestos en las Refs. [9, 11], es decir, (a) número de qubits, (b) mínimo número de puertas controlled-Znecesario para la preparación, (c) la medida de Schmidt, y (d) los índices de rango. Estos criterios se introducen y describen en la Sec. 6.2. En la Sec. 6.3 presentamos nuestros resultados: para cada una de estas clases de equivalencia obtenemos un representante que requiere el mínimo número de puertas controlled-Z para su preparación y mínima profundidad de preparación. Además, calculamos la medida de Schmidt para la partición 8-partita, y los rangos de Schmidt para todas las particiones bipartitas. En la Sec. 6.4 presentamos nuestras conclusiones y señalamos algunos problemas pendientes, que atañen principalmente a las limitaciones del uso de los criterios precedentes como etiquetas que distingan de forma no ambigua entre cualquier par de clases de equivalencia bajo LC de estados grafo de hasta ocho qubits. Este asunto es abordado en el siguiente capítulo. • Capítulo 7: Conjunto compacto de invariantes que caracteriza a estados grafo de hasta ocho qubits. El conjunto de medidas de entrelazamiento propuesto por HEB en la Ref. [9] para estados grafo de n qubits falla a la hora de distinguir entre clases de equivalencia bajo operaciones LC (clases LC) que no son equivalentes entre sí, paran ≥ 7. Por tanto, no podemos utilizar estos invariantes para decidir a qué clase de entrelazamiento pertenece un estado grafo dado. Recíprocamente, si dispusiésemos de un conjunto de invariantes con esas características, entonces podríamos utilizarlo para etiquetar de manera no ambigua cada una de las clases. Por otro lado, el conjunto de invariantes propuesto por VDD en la Ref. [12] distingue entre clases no equivalentes, pero contiene demasiados invariantes (más de 2 ×1036 para n = 7) para ser práctico. En este capítulo resolvemos el problema de decidir a qué clase de entrelazamiento pertenece un estado grafo de n ≤ 8 qubits mediante el cálculo de algunas propiedades intrínsecas del estado, por tanto sin necesidad de generar la clase LC completa. La Sec. 7.1 es un resumen condensado de ideas y conceptos que ya se han presentado en capítulos previos, y que permiten seguir las discusiones subsiguientes. En la Sec. 7.2, por conveniencia, empe

Optimal preparation of graph states

We show how to prepare any graph state of up to 12 qubits with: (a) the minimum number of controlled-Z gates, and (b) the minimum preparation depth. We assume only one-qubit and controlled-Z gates. The method exploits the fact that any graph state belongs to an equivalence class under local Clifford operations. We extend up to 12 qubits the classification of graph states according to their entanglement properties, and identify each class using only a reduced set of invariants. For any state, we provide a circuit with both properties (a) and (b), if it does exist, or, if it does not, one circuit with property (a) and one with property (b), including the explicit one-qubit gates needed

Graph-theoretic approach to Bell experiments with low detection efficiency

Bell inequality tests where the detection efficiency is below a certain threshold ηcrit can be simulated with local hidden-variable models. For the Clauser-Horne-Shimony-Holt Bell inequality and maximally entangled states, ηcrit = 0.828. Massar noticed that ηcrit can tend to zero as the dimension d of the local quantum systems grows, but found no advantage except for d > 1600. Vertesi ´ et al. lowered ηcrit down to 0.770 for maximally entangled states using d = 4. Marton ´ et al. studied the case of N copies of the two-qubit maximally entangled state and obtained an upper bound of 0.693 for N = 4 (which is equivalent to d = 16). Recently, Miklin et al. have presented a strategy that allows us to reduce ηcrit down to 0.469 for d = 512. Here, we introduce a method to identify Bell tests requiring low ηcrit and relatively low d. The method has two steps. First, we show a family of bipartite Bell inequalities for which ηcrit is a function of some invariants of a certain type of graphs, and use it to identify correlations that require small ηcrit for maximally entangled states. We present examples in which ηcrit = 0.516 for d = 16, ηcrit = 0.407 for d = 28, and ηcrit = 0.326 for d = 32. We also show evidence that ηcrit can be lowered down to 0.415 for d = 16 and present a method to make ηcrit arbitrarily small by increasing the dimension and the number of settings. All these values for ηcrit are valid (as it is the case in the literature) assuming no noise. The second step is based on the observation that, using the initial state and measurement settings identified in the first step, we can construct Bell inequalities with smaller ηcrit and better noise robustness. For that, we use a modified version of Gilbert’s algorithm that takes advantage of the automorphisms of the graphs used in the first step. We illustrate its power by explicitly developing an example in which ηcrit is 12.38% lower and the required visibility is 14.62% lower than the ones required after the first step. The tools presented here pave the way for high-dimensional loophole-free Bell tests and loophole-free Bell nonlocality over long distancesUniversidad de Sevilla US-15097Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades PID2020-113738GB-I00Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades PCI2019-111885-2)Universidad de Sevilla US-1254251Junta de Andalucía P20-0059

Estrategias de contextualización de la enseñanza del Análisis Gráfico: vivienda y ciudad en Sevilla

El proyecto que hemos desarrollado este año ha tratado de la descontextualización de la enseñanza de la asignatura de Análisis de Formas. Nuestro objetivo, a través de la consideración de la enseñanza como investigación en el aula, nos ha llevado a tomar conciencia de los problemas de la vivienda y la ciudad en Sevilla, desde una perspectiva de su sostenibilidad social y ambiental. Los alumnos, con su implicación en el trabajo, se han formado como arquitectos y como ciudadanos conscientes de los retos que han de asumir en su futuro profesional. Las conclusiones de nuestro trabajo y nuestras propuestas han sido expuestas en el ámbito de las jornadas sobre ciudades sostenibles acaecidas en Sevilla en enero de 1999. Por otra parte hemos eleborado un CD-ROM multimedia e interactivo con el material gráfico desarrollado, para la difusión de las conclusiones