Inverse central ordering for the Newton interpolation formula

An inverse central ordering of the nodes is proposed for the Newton interpolation formula. This ordering may improve the stability for certain distributions of nodes. For equidistant nodes, an upper bound of the conditioning is provided. This bound is close to the bound of the conditioning in the Lagrange interpolation formula, whose conditioning is the lowest. This ordering is related to a pivoting strategy of a matrix elimination procedure called Neville elimination. The results are illustrated with examples

3-4.5 μm continuously tunable single mode VECSEL

We present continuously tunable Vertical External Cavity Surface Emitting Lasers (VECSEL) in the mid-infrared. The structure based on IV-VI semiconductors is epitaxially grown on a Si-substrates. The VECSEL emit one single mode, which is mode hop-free tunable over 50-100nm around the center wavelength. In this work, two different devices are presented, emitting at 3.4μm and 3.9μm, respectively. The lasers operate near room temperature with thermoelectric stabilization. They are optically pumped, yielding an output power >10mWp. The axial symmetric emission beam has a half divergence angle of <3.3

5-μm vertical external-cavity surface-emitting laser (VECSEL) forspectroscopic applications

Mid-IR tunable VECSELs (Vertical External-Cavity Surface-Emitting Lasers) emitting at 4-7 μm wavelengths and suitable for spectroscopic sensing applications are described. They are realized with lead-chalcogenide (IV-VI) narrow band gap materials. The active part, a single 0.6-2-μm thick PbTe or PbSe gain layer, is grown onto an epitaxial Bragg mirror consisting of two or three Pb1−y EuyTe/BaF2 quarter-wavelength layer pairs. All layers are deposited by MBE in a single run employing a BaF2 or Si substrate, no further processing is needed. The cavity is completed with an external curved top mirror, which is again realized with an epitaxial Bragg structure. Pumping is performed optically with a 1.5-μm laser. Maximum output power for pulsed operation is currently up to >1 Wp at −173°C and >10 mW at 10°C. In continuous wave (CW) operation, 18 mW at 100 K are reached. Still higher operating temperatures and/or powers are expected with better heat-removal structures and better designs employing QW (Quantum-Wells). Advantages of mid-IR VECSELs compared to edge-emitting lasers are their very good beam quality (circular beam with 15 μm are accessible with Pb1−y XyZ (X=Sr, Eu, Sn, Z=Se, Te) and/or including Q

NMR study on the stabilization and chiral discrimination of sulforaphane enantiomers and analogues by cyclodextrins

Sulforaphane (SFN), a phytochemical isolated from broccoli, is an important antitumoral compound with additional beneficial effect on other important diseases. However, the chemical instability of SFN has hampered its clinical use. In order to circumvent this problem, we report the first comparative study on the inclusion complexes of SFN and SFN homologues with different cyclodextrins by NMR spectroscopy. From this study it has been shown that α-CD is the most indicated cyclodextrin for the stabilization of SFN and SFN homologues, and that the highest affinity constant is that of the isothiocyanate obtained from the wasabi. Furthermore, the study of the inclusion complexes of α-CD and the non-natural SFN and analogues with S absolute configuration at sulfur shows for the first time that α-CD is able to discriminate between the two enantiomers, with the natural R enantiomers forming the inclusion complexes with higher affinity.Ministerio de Economía yCompetitividad (grants No. CTQ2016-78580-C2-1-R, and CTQ2016-78580-C2-2-R)Junta de Andalucía (P11-FQM-8046)EvgenPharm

Condicionamiento de fórmulas de interpolación

La interpolación es una técnica que permite manipular funciones complicadas sustituyéndolas por otras más simples. El cálculo de los interpolantes se realiza a través de diferentes estrategias que dan lugar a fórmulas como la de Lagrange, Newton o Aitken-Neville. La experiencia numérica muestra discrepancias debido a la diferente propagación de los errores de redondeo. Definimos un condicionamiento para las representaciones de los interpolantes que permite analizar este fenómeno.El problema de interpolación de Lagrange consiste en encontrar un polinomio que coincida con una función dada en puntos distintos llamados nodos. El interpolante puede expresarse mediante fórmulas distintas. La fórmula de Lagrange expresa directamente el interpolante en términos de los valores de la función a través de los polinomios fundamentales de Lagrange. Otra forma de representar el interpolante de Lagrange es la fórmula de Newton asociada a una sucesión de nodos. Un objetivo de la memoria ha sido estudiar las diferentes propiedades de estabilidad de dicha fórmula dependiendo del orden de los nodos. Extendemos el concepto de condicionamiento y su análisis a otros problemas de aproximación como mínimos cuadrados. Por ello, también estudiamos la representación de cuasi-interpolantes. En el Capítulo 1 estudiamos los operadores de cuasi-interpolación y sus representaciones. Definimos un condicionamiento asociado a cada representación. Recordamos el condicionamiento de Skeel de una matriz y lo aplicamos a la acotación de condicionamientos. Los capítulos 2, 3 y 4 están dedicados al estudio de operador de interpolación de Lagrange y sus representaciones.En el Capítulo 2 demostramos que la representación de Lagrange es óptima y analizamos la estabilidad de la fórmula de Newton, que depende del orden de los nodos. Demostramos que la inversa de una matriz de Vandermonde puede calcularse con alta precisión relativa (HRA) bajo ciertas condiciones. Consideramos las factorizaciones triangulares de Crout y de Doolittle de la matriz de Vandermonde y proponemos algoritmos para el cálculo de las correspondientes matrices triangulares y sus inversas con HRA. Dichas matrices triangulares inferiores están relacionadas con diferentes normalizaciones de la fórmula de Newton y se pueden utilizar para la acotación del condicionamiento de la representación de Newton. En el Capítulo 3 se recuerda que la constante de Lebesgue con n+1 nodos equidistantes tiene un crecimiento del tipo 2^n. Se estudia la estabilidad de la fórmula de Newton con nodos equidistantes en orden creciente y se generalizan estas técnicas para abordar los casos de nodos casi equidistantes y nodos en progresión geométrica. En el caso de nodos equidistantes demostramos que el condicionamiento está acotado por 3^n y que dicho valor se alcanza en el último nodo. Deducimos que el condicionamiento de Skeel de las inversas de las matrices triangulares inferiores asociadas a diferentes representaciones de la fórmula de Newton es 3^n. Como caso particular importante obtenemos el condicionamiento de Skeel y el condicionamiento en norma infinito de la matriz de Pascal triangular inferior. Realizamos un estudio del condicionamiento en norma infinito de la matriz L que permite obtener las diferencias divididas en términos de los valores de la función. Este condicionamiento depende de la longitud del intervalo. Demostramos que el condicionamiento tiene un crecimiento exponencial y que los intervalos de longitud 3 corresponden a un crecimiento asintótico óptimo.En el Capítulo 4 consideramos diferentes ordenaciones de nodos para la fórmula de Newton. Comenzamos con el orden de Leja y demostramos que el máximo condicionamiento en los nodos está acotado por 2^(n+1)-1. Sin embargo, los experimentos numéricos en nodos equidistantes muestran que esta cota es muy pesimista. La dificultad del análisis del orden de Leja no nos ha permitido mejorar la cota. Sin embargo, hemos estudiado en las restantes secciones otras ordenaciones con buenas propiedades y cuyo análisis es más simple. En la Sección 4.2 hemos considerado el orden central respecto a un centro y hemos realizado un análisis cuantitativo que permite justificar el uso de métodos relacionados con diferencias centrales. Demostramos que el condicionamiento de la fórmula de Newton con nodos equidistantes siguiendo un orden central está acotado por (1+sqrt 2)^(n+1). Dedicamos especial atención al caso particular de orden central respecto al punto de evaluación que proporciona cotas muy ajustadas próximas a la constante de Lebesgue. También se obtienen cotas próximas a la constante de Lebesgue con el orden central inverso para nodos equidistantes, estudiado en la Sección 4.4. En la Sección 4.5 interpretamos el orden de Leja y el central inverso en términos de eliminaciones matriciales con estrategias de pivotaje. Concretamente, recordamos la conexión entre el orden de Leja y la eliminación gaussiana con pivotaje parcial y demostramos una conexión similar entre el orden central inverso para nodos equidistantes y la eliminación de Neville con pivotaje parcial. Recordemos que la eliminación de Neville es un procedimiento de eliminación alternativo a la eliminación gaussiana en la que a cada fila se le resta un múltiplo de la fila anterior. El Capítulo 5 está dedicado al caso de representaciones con bases ortogonales. Introducimos el problema de aproximación por mínimos cuadrados y vemos las buenas propiedades de los operadores en norma media cuadrática. En la Sección 5.3 analizamos el comportamiento en la norma infinito y obtenemos fórmulas y cotas para el condicionamiento. En las secciones 5.4 y 5.5 estudiamos las representaciones en términos de polinomios ortogonales clásicos de los operadores asociados a problemas de mínimos cuadrados continuos y discretos. Estudiamos los casos de polinomios de Legendre y Chebyshev de primera especie y segunda especie. En el caso de Legendre el condicionamiento tiene un crecimiento semicúbico, para polinomios de Chebyshev de primera especie el crecimiento es lineal y para los de segunda especie es cuadrático. En el caso en que el número de nodos coincide con n+1, la dimensión del espacio de los polinomios, tenemos problemas de interpolación en los ceros de polinomios ortogonales y el estudio anterior nos permite calcular el condicionamiento de representaciones de interpolantes en términos de polinomios ortogonales clásicos. En el Capítulo 6 estudiamos las consecuencias que tiene la positividad de las bases y de los funcionales en la búsqueda de bases que tengan un buen condicionamiento. Como consecuencia de los resultados, podemos destacar la optimalidad de la representación de Lagrange respecto a otras con funcionales positivos y la optimalidad de la base de Bernstein respecto a otras bases totalmente positivas, como la base de monomios.<br /

Detailed characterization of laser-produced astrophysically-relevant jets formed via a poloidal magnetic nozzle

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