A splitting uniformly convergent method for one-dimensional parabolic singularly perturbed convection-diffusion systems

In this paper we deal with solving robustly and efficiently one-dimensional linear parabolic singularly perturbed systems of convection-diffusion type, where the diffusion parameters can be different at each equation and even they can have different orders of magnitude. The numerical algorithm combines the classical upwind finite difference scheme to discretize in space and the fractional implicit Euler method together with an appropriate splitting by components to discretize in time. We prove that if the spatial discretization is defined on an adequate piecewise uniform Shishkin mesh, the fully discrete scheme is uniformly convergent of first order in time and of almost first order in space. The technique used to discretize in time produces only tridiagonal linear systems to be solved at each time level; thus, from the computational cost point of view, the method we propose is more efficient than other numerical algorithms which have been used for these problems. Numerical results for several test problems are shown, which corroborate in practice both the uniform convergence and the efficiency of the algorithm

Resolución numérica de problemas evolutivos semilineales sobre dominios irregulares mediante métodos miméticos paralelizables

Este artíulo versa sobre la resolución numérica eficiente de problemas parabólicos semilineales que describen fenómenos de flujo en medios porosos anisótropos. Para la integración en tiempo de tales problemas, proponemos usar un método de pasos fraccionarios linealmente implícito que considere particiones del operador y el término fuente relacionadas con una descomposición del dominio de flujo. La familia de problemas elípticos así obtenida se discretiza en espacio por medio de la técnica del operador-soporte con lo que obtenemos un esquema en diferencias finitas centrado en celdas sobre un mallado rectangular lógico. Debido a las particiones elegidas para el operador y el término fuente, el esquema totalmente discreto resultante involucra conjuntos de sistemas lineales desacoplados que pueden ser resueltos en paralelo. Finalmente, mostramos un ensayo numérico con el fin de ilustrar el comportamiento incondicionalmente convergente del método

Métodos conservativos de direcciones alternadas para problemas parabólicos semilineales sobre mallados rectangulares lógicos

En este trabajo se propone y analiza un m´etodo numérico eficiente para la resolución de problemas parabólicos semilineales que contienen derivadas mixtas y se plantean sobre dominios que pueden ser no rectangulares. El proceso de semidiscretización en espacio se efectía mediante un esquema de diferencias finitas centrado en celdas. Esta primera etapa de discretización es localmente conservativa y, tras ser combinada con una integración temporal de tipo direcciones alternadas, nos permite obtener un esquema totalmente discreto que involucra conjuntos de sistemas tridiagonales desacoplados cuya resolución es fácilmente paralelizable. El artículo incluye algunos resultados te´oricos de convergencia incondicional (de segundo orden en espacio y primer orden en tiempo) y se completa con un experimento numérico que ilustra el comportamiento del método propuesto

Métodos Runge-Kutta-Nyström de Pasos Fraccionarios y reducción de orden

We study here the order reduction that appears in the numerical integration of second-order in time linear problems by means of Fractional Step Runge-Kutta-Nyström methods. This drawback takes it maximum relevance when the boundary conditions are time dependent. This new kind of methods, introduced in [6] M. J. Moreta, B. Bujanda & J. C. Jorge, Fractional Step Runge-Kutta-Nystr¨om methods, enviado 2007, allows us to combine the advantages of Fractional Step methods with the ones of Runge-Kutta-Nyström methods. We show that this order reduction can be completely avoided,without increasing too much the computational cost, by taking a suitable modification of the classical boundary conditions considered for the internal stages