Este artíulo versa sobre la resolución numérica eficiente de problemas parabólicos semilineales que describen fenómenos de flujo en medios porosos anisótropos. Para la integración en tiempo de tales problemas, proponemos usar un método de pasos fraccionarios linealmente implícito que considere particiones del operador y el término fuente relacionadas con una descomposición del dominio de flujo. La familia de problemas elípticos así obtenida se discretiza en espacio por medio de la técnica del
operador-soporte con lo que obtenemos un esquema en diferencias finitas centrado en celdas sobre un mallado rectangular lógico. Debido a las particiones elegidas para el operador y el término fuente, el esquema totalmente discreto resultante involucra conjuntos de sistemas lineales desacoplados que pueden ser resueltos en paralelo. Finalmente, mostramos un ensayo numérico con el fin de ilustrar el comportamiento
incondicionalmente convergente del método

Arrarás Ventura, Andrés

Jorge Ulecia, Juan Carlos

Portero Egea, Laura

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesX Congreso de Matema´tica AplicadaSevilla, 24-28 septiembre 2007(pp. 1–8)Resolucio´n nume´rica de problemas evolutivos semilinealessobre dominios irregulares mediante me´todos mime´ticosparalelizablesL. Portero, A. Arrara´s, J.C. JorgeDpto. de Ingenier´ıa Matema´tica e Informa´tica, Universidad Pu´blica de Navarra, Campus de Arrosad´ıas/n, 31006 Pamplona. E-mails: {laura.portero,andres.arraras,jcjorge}@unavarra.es.Palabras clave: Descomposicio´n de Dominios, Mallado Rectangular Lo´gico, Me´todo LinealmenteImpl´ıcito, Me´todo de Operador-Soporte, Me´todo de Pasos Fraccionarios.ResumenEste art´ıculo versa sobre la resolucio´n nume´rica eficiente de problemas parabo´licossemilineales que describen feno´menos de flujo en medios porosos aniso´tropos. Parala integracio´n en tiempo de tales problemas, proponemos usar un me´todo de pasosfraccionarios linealmente impl´ıcito que considere particiones del operador y el te´rmi-no fuente relacionadas con una descomposicio´n del dominio de flujo. La familia deproblemas el´ıpticos as´ı obtenida se discretiza en espacio por medio de la te´cnica deloperador-soporte con lo que obtenemos un esquema en diferencias finitas centradoen celdas sobre un mallado rectangular lo´gico. Debido a las particiones elegidas parael operador y el te´rmino fuente, el esquema totalmente discreto resultante involucraconjuntos de sistemas lineales desacoplados que pueden ser resueltos en paralelo. Fi-nalmente, mostramos un ensayo nume´rico con el fin de ilustrar el comportamientoincondicionalmente convergente del me´todo.1. Introduccio´nEl movimiento de agua a trave´s de un medio poroso no expansivo puede modelizarsemediante la ecuacio´n de Richards (ve´ase [4, 2]). Considerando un medio aniso´tropo sujetoa condiciones isotermas, dicha ecuacio´n admite la siguiente formulacio´n simplificada∂ψ(x, t)∂t= div(K(x)gradψ(x, t)) + g(ψ(x, t)) + f(x, t), (x, t) ∈ Ω× (0, T ], (1)a la que an˜adiremos condiciones iniciales y de contorno adecuadas para que el problemaeste´ bien planteado. Se asume que el dominio de flujo Ω ⊆ R2 es un conjunto abierto y1L. Portero, A. Arrara´s, J.C. Jorgeacotado, ψ denota la presio´n capilar, K(x) es un tensor sime´trico y definido positivo dela formaK(x) =(K11(x) K12(x)K12(x) K22(x))que modeliza la conductividad hidra´ulica, g(ψ) es una funcio´n no lineal suave que describela absorcio´n radicular (ve´ase [9]) y f es un te´rmino fuente/sumidero.En este trabajo proponemos una te´cnica eficiente para la resolucio´n nume´rica de (1)que consta de dos procesos de discretizacio´n. En primer lugar, introducimos en la seccio´n2 la familia de me´todos Runge-Kutta de pasos fraccionarios linealmente impl´ıcitos queusamos como integradores temporales. Tal y como all´ı se explica, las particiones necesa-rias para el te´rmino fuente y para el operador diferencial el´ıptico esta´n subordinadas auna descomposicio´n de Ω en un conjunto de subdominios solapados. A continuacio´n, laseccio´n 3 aborda la discretizacio´n en espacio que consiste en un esquema de diferenciasfinitas centrado en celdas deducido a partir del me´todo de operador-soporte. Estos nuevosalgoritmos se formulan para mallados rectangulares lo´gicos que aparecen de forma naturalen la descripcio´n de ciertas geometr´ıas, por ejemplo, aque´llas relacionadas con problemasde flujo en medios porosos estratificados. En la u´ltima seccio´n incluimos un experimentonume´rico que ilustra el comportamiento del me´todo propuesto.2. Semidiscretizacio´n en tiempoConsideremos Ω descompuesto como la unio´n de m subdominios solapados que a suvez se subdividen en un cierto nu´mero de componentes conexas disjuntas, es decir,Ω =m⋃i=1Ωi, donde Ωi =mi⋃j=1Ωij tal que Ωij ∩ Ωik = ∅ if j 6= k.Asociada a esta descomposicio´n, construimos una particio´n de la unidad suave formadapor m funciones {ρi(x)}mi=1, donde cada ρi : Ω→ [0, 1] viene definida como sigue:ρi(x) =0, si x ∈ Ω \ Ωi,hi(x), si x ∈m⋃j 6=ij=1(Ωi ∩ Ωj),1, si x ∈ Ωi \m⋃j 6=ij=1(Ωi ∩ Ωj),siendo 0 ≤ hi(x) ≤ 1 ym∑i=1hi(x) = 1 ∀ x ∈m⋃j 6=ij=1(Ωi ∩ Ωj).Usando esta particio´n de la unidad, definimos las siguientes particiones para el operador2Resolucio´n nume´rica de problemas evolutivos semilinealesdiferencial A(x) ≡ div(K(x)grad) y la funcio´n f(x, t) (ve´ase [3])A(x) =m∑i=1Ai(x), donde Ai(x) ≡ div(Ki(x)grad) y Ki(x) ≡ ρi(x)K(x),f(x, t) =m∑i=1fi(x, t), donde fi(x, t) ≡ ρi(x) f(x, t).(2)Un me´todo Runge-Kutta de pasos fraccionarios linealmente impl´ıcito con m nivelesy s etapas internas (ve´ase [1]), combinado con las particiones dadas por (2), reduce elproblema parabo´lico semilineal de origen (1) al siguiente conjunto de problemas el´ıpticoslineales, uno por etapa interna:ψkn(x) = ψn(x) + τk∑`=1ai`k`(Ai`(x)ψ`n(x) + fi`(x, tn + c`τ))+ τk−1∑`=1am+1k` g(ψ`n(x)), para k = 1, 2, . . . , s,ψn+1(x) = ψn(x) + τs∑`=1bi``(Ai`(x)ψ`n(x) + fi`(x, tn + c`τ))+ τs∑`=1bm+1` g(ψ`n(x)),(3)donde n = 0, 1, 2, . . . , NT , siendo NT ≡ [T/τ ] − 1, e i` ∈ {1, 2, . . . ,m} para todo ` =1, 2, . . . , s. La solucio´n semidiscreta ψn+1(x) aproxima a ψ(x, tn+1), para tn+1 = (n+1) τ ,donde τ denota el paso en tiempo constante. Finalmente, los coeficientes aik`, bik y ck, para1 ≤ ` ≤ k ≤ s e i ∈ {1, 2, . . . ,m+ 1}, dependen del me´todo elegido.Notar que el uso de un me´todo linealmente impl´ıcito conlleva un tratamiento expl´ıcitode la funcio´n no lineal g(ψ) y, por ello, los problemas el´ıpticos que aparecen en (3) sonlineales. Por otro lado, la eleccio´n de un me´todo de pasos fraccionarios hace que so´lo unaparte Ai(x) del operador A(x) actu´e impl´ıcitamente en cada etapa interna.3. Discretizacio´n espacial y esquema totalmente discretoA continuacio´n aplicaremos una discretizacio´n espacial de tipo diferencias finitas basa-da en el me´todo de operador-soporte sobre el esquema semidiscreto (3) con el fin de llegara un esquema totalmente discreto. El me´todo de operador-soporte, inicialmente propuestoen [5] y posteriormente desarrollado en [6], proporciona una metodolog´ıa para la construc-cio´n de ana´logos discretos de los operadores diferenciales de primer orden divergencia ygradiente.En primer lugar discretizamos Ω por medio de un mallado rectangular lo´gico Ωh, dondeh denota el grosor de dicho mallado. La estructura de Ωh es la siguiente: dados Nx y Ny dosenteros positivos, el nodo (i, j) viene dado por sus coordenadas (x˜i,j , y˜i,j), para 1 6 i 6 Nxy 1 6 j 6 Ny. Adema´s, llamaremos celda (i, j) al cuadrila´tero definido por los nodos (i, j),(i+ 1, j), (i, j + 1) y (i+ 1, j + 1) cuyo centro viene dado por las coordenadas (xi,j , yi,j),que se calculan como siguexi,j = 0,25 (x˜i,j + x˜i+1,j + x˜i,j+1 + x˜i+1,j+1),yi,j = 0,25 (y˜i,j + y˜i+1,j + y˜i,j+1 + y˜i+1,j+1),3L. Portero, A. Arrara´s, J.C. Jorgepara i ∈ {1, 2, . . . , Nx − 1} y j ∈ {1, 2, . . . , Ny − 1}.En este contexto, el me´todo de operador-soporte considera aproximaciones en los cen-tros de las celdas para las funciones escalares ψn(x), ψkn(x), g(ψkn(x)) y fi(x, tn) da-das por ψn,h, ψkn,h, gh(ψkn,h) y fi,h(tn), respectivamente, donde k ∈ {1, 2, . . . , s} e i ∈{1, 2, . . . ,m}. Por otro lado, considera discretizaciones nodales para funciones vectorialesgene´ricas wn(x) ≡ (wxn(x), wyn(x)) que denotaremos con w˜n,h ≡ (w˜xn,h, w˜yn,h).Tal y como se describe en [8], es natural tomar la divergencia como el operador primariode primer orden. Basa´ndonos en la definicio´n invariante de la divergencia, podemos deducirun ana´logo discreto de la divergencia que llamaremosdivh : V˜h × V˜h → Vhv˜h ↪→ divh v˜h,donde v˜h ≡ (v˜xh, v˜yh). Se tiene que V˜h y Vh son espacios finito dimensionales de funcionesdiscretas definidas en los nodos y en los centros de las celdas de Ωh, respectivamente. As´ı,la divergencia discreta de un vector discreto w˜n,h admite la siguiente expresio´n:(divh w˜n,h)i,j =12σi,j(((w˜xn,h)i+1,j+1 − (w˜xn,h)i,j)(y˜i,j+1 − y˜i+1,j)−((w˜xn,h)i,j+1 − (w˜xn,h)i+1,j)(y˜i+1,j+1 − y˜i,j)−((w˜yn,h)i+1,j+1 − (w˜yn,h)i,j)(x˜i,j+1 − x˜i+1,j)−((w˜yn,h)i,j+1 − (w˜yn,h)i+1,j)(x˜i+1,j+1 − x˜i,j)),(4)para todo i = 1, 2, . . . , Nx−1 y j = 1, 2, . . . , Ny−1, donde σi,j es el a´rea de la celda (i, j) y(w˜zn,h)i,j denota la componente ((i− 1)(Ny − 1)+ j) de w˜zn,h que aproxima a wzn(x˜i,j , y˜i,j),para z = x, y. Asimismo, considerando una versio´n discreta del teorema de Gauss juntocon la expresio´n de divh, se construye el operador secundario gra˜dh como el ana´logodiscreto de gradgra˜dh : Vh → V˜h × V˜huh ↪→ gra˜dh uh.Las componentes del gradiente discreto, actuando sobre la funcio´n discreta ψn,h, quedandefinidas de la siguiente forma:(gra˜dxh ψn,h)i,j =12ηi,j((y˜i,j+1 − y˜i+1,j) (ψn,h)i,j + (y˜i−1,j − y˜i,j+1) (ψn,h)i−1,j+(y˜i+1,j − y˜i,j−1) (ψn,h)i,j−1 + (y˜i,j−1 − y˜i−1,j) (ψn,h)i−1,j−1),(gra˜dyh ψn,h)i,j =12ηi,j((x˜i,j+1 − x˜i+1,j) (ψn,h)i,j + (x˜i−1,j − x˜i,j+1) (ψn,h)i−1,j+(x˜i+1,j − x˜i,j−1) (ψn,h)i,j−1 + (x˜i,j−1 − x˜i−1,j) (ψn,h)i−1,j−1),(5)para i = 2, . . . , Nx−1 y j = 2, . . . , Ny−1, donde ηi,j = 0,25 (σi,j+σi−1,j+σi,j−1+σi−1,j−1)y (ψn,h)i,j es la componente ((i−1)(Ny−1)+j) de ψn,h que aproxima a ψn(xi,j , yi,j). Es facilver que las ecuaciones (5) se pueden extender a i ∈ {1, Nx}, j ∈ {1, Ny} si introducimoslos siguientes nodos ficticiosx˜i,0 = x˜i,1, y˜i,0 = y˜i,1, x˜i,Ny+1 = x˜i,Ny , y˜i,Ny+1 = y˜i,Ny ,x˜0,j = x˜1,j , y˜0,j = y˜1,j , x˜Nx+1,j = x˜Nx,j , y˜Nx+1,j = y˜Nx,j ,4Resolucio´n nume´rica de problemas evolutivos semilineales(ψn,h)i−1,j−1 (ψn,h)i,j−1 (ψn,h)i+1,j−1(ψn,h)i−1,j (ψn,h)i,j (ψn,h)i+1,j(ψn,h)i−1,j+1 (ψn,h)i,j+1 (ψn,h)i+1,j+1(i, j)(i+ 1, j)(i, j+ 1)(i+ 1, j+ 1)Figura 1: Mole´cula computacional de nueve puntos correspondiente a(divh(K˜h gra˜dh ψn,h))i,j .para i ∈ {1, 2, . . . , Nx} y j ∈ {1, 2, . . . , Ny}, as´ı como las evaluaciones de las condicio´n decontorno Dirichlet ψD(x, t) en los puntos medios de los segmentos de la frontera, es decir,(ψn,h)0,j = ψD(xˆ1,j , yˆ1,j , tn), (ψn,h)Nx,j = ψD(xˆNx,j , yˆNx,j , tn),donde xˆ1,j = 0,5 (x˜1,j + x˜1,j+1), yˆ1,j = 0,5 (y˜1,j + y˜1,j+1), xˆNx,j = 0,5 (x˜Nx,j + x˜Nx,j+1) yyˆNx,j = 0,5 (y˜Nx,j + y˜Nx,j+1), para j ∈ {1, 2, . . . , Ny − 1}, y(ψn,h)i,0 = ψD(xˆi,1, yˆi,1, tn), (ψn,h)i,Ny = ψD(xˆi,Ny , yˆi,Ny , tn),donde xˆi,1 = 0,5 (x˜i,1 + x˜i+1,1), yˆi,1 = 0,5 (y˜i,1 + y˜i+1,1), xˆi,Ny = 0,5 (x˜i,Ny + x˜i+1,Ny) yyˆi,Ny = 0,5 (y˜i,Ny + y˜i+1,Ny), para i ∈ {1, 2, . . . , Nx − 1}.A continuacio´n, considerando las ecuaciones (5) junto con las evaluaciones nodalesde las componentes de K(x) a las que denotaremos por (K˜11h )i,j , (K˜12h )i,j y (K˜22h )i,j ,obtenemos la siguiente discretizacio´n espacial para K(x)gradψn(x)(K˜h gra˜dh ψn,h)i,j = (K˜11h )i,j (gra˜dxh ψn,h)i,j + (K˜12h )i,j (gra˜dyh ψn,h)i,j(K˜12h )i,j (gra˜dxh ψn,h)i,j + (K˜22h )i,j (gra˜dyh ψn,h)i,j . (6)Finalmente, usando (4)-(6), es inmediato obtener discretizaciones para los operadoresel´ıpticos de segundo ordenAi(x) a las que denotaremos porAi,h ≡ divh (Ki,h gradh), don-de i = 1, 2, . . . , m. En particular se tiene que la mole´cula computacional de(divh(K˜i,h gra˜dh ψn,h))i,j involucra aproximaciones de la inco´gnita ψ en los centros de nue-ve celdas: (ψn,h)i−1,j−1, (ψn,h)i,j−1, (ψn,h)i+1,j−1, (ψn,h)i−1,j , (ψn,h)i,j , (ψn,h)i+1,j ,(ψn,h)i−1,j+1, (ψn,h)i,j+1 y (ψn,h)i+1,j+1, as´ı como evaluaciones de las componentes deK en los nodos (i, j), (i+ 1, j), (i, j + 1) y (i+ 1, j + 1) (ve´ase figura 1).5L. Portero, A. Arrara´s, J.C. JorgeEn este contexto, el esquema totalmente discreto admite la siguiente formulacio´n:ψkn,h = ψn,h + τk∑`=1ai`k`(Ai`,h ψ`n,h + fi`,h(tn + c`τ))+ τk−1∑`=1am+1k` gh(ψ`n,h), para k = 1, 2, . . . , s,ψn+1,h = ψn,h + τs∑`=1bi``(Ai`,h ψ`n,h + fi`,h(tn + c`τ))+ τs∑`=1bm+1` gh(ψ`n,h),(7)para n = 0, 1, 2, . . . , NT , donde i` ∈ {1, 2, . . . ,m} para todo ` = 1, 2, . . . , s.Teniendo en cuenta el tipo de particio´n (2) considerada en la seccio´n anterior, el siste-ma lineal obtenido para cada etapa interna involucra u´nicamente a las inco´gnitas que seencuentran en uno de los subdominios {Ωi}mi=1. Adema´s, como cada subdominio Ωi cons-ta de mi componentes conexas disjuntas, este sistema es en realidad un conjunto de misubsistemas desacoplados cuya resolucio´n puede llevarse a cabo en paralelo. Notar que, adiferencia de los me´todos cla´sicos de descomposicio´n de dominios, esta te´cnica no precisade ningu´n proceso iterativo para el ajuste de las condiciones de contorno ficticias en lasnuevas fronteras de los subdominios (p.ej., iteraciones de Schwarz).4. Experimento nume´ricoEn esta seccio´n estudiamos el comportamiento del algoritmo nume´rico propuesto sobremallas pseudo-aleatorias. Un estudio similar aparece en [7] donde se usa el me´todo de Eulerimpl´ıcito cla´sico junto con la te´cnica de operador-soporte para la resolucio´n de una clasede problemas parabo´licos lineales ma´s sencillos.Consideremos una ecuacio´n del tipo (1) planteada sobre Ω× (0, T ] ≡ (0, 1)2× (0, 0.01].El tensor K(x) se define como K(x) = R(θ)D(x)R(θ)T , donde R(θ) es una matriz derotacio´n 2 × 2 con a´ngulo θ = 5pi/12 y D(x) = diag(1 + 2x2 + y2, 1 + x2 + 2y2). Lafuncio´n no lineal g(ψ) = 1/(1 + ψ3) es la funcio´n de absorcio´n de agua correspondienteal modelo de infiltracio´n en suelos de Van Genuchten. Por u´ltimo, tanto la funcio´n fcomo la condicio´n inicial y la condicio´n de contorno Dirichlet se definen de tal forma queψ(x, y, t) = e−2pi2t sin(pix) sin(piy) es la solucio´n exacta del problema.Consideramos una descomposicio´n de Ω en m = 4 subdominios solapados, cada unode los cuales formado por mi = 4 componentes conexas disjuntas, para i = 1, 2, 3, 4(ve´ase figura 2, dibujo central). Las funciones definidas a trozos {ρi(x)}4i=1 asociadas adicha particio´n vienen dadas, en las zonas de solapamiento de subdominios, por ciertasfunciones exponenciales que nos permiten obtener una particio´n de la unidad C∞ (ve´asefigura 2, dibujos de las esquinas).A continuacio´n usamos una variante linealmente impl´ıcita del me´todo de Euler im-pl´ıcito fraccionario con cuatro niveles (m = 4) y cuatro etapas internas (s = 4) para laintegracio´n en tiempo del problema (1). El esquema semidiscreto resultante es ψkn(x) = ψn(x) + τk∑`=1(A`(x)ψ`n(x) + f`(x, tn+1))+ τ g(ψn(x)), para k = 1, 2, 3, 4,ψn+1(x) = ψ4n(x), para n = 0, 1, 2, . . . , NT .6Resolucio´n nume´rica de problemas evolutivos semilinealesρ1(x, y) ρ2(x, y)Ω11 Ω21 Ω12 Ω22Ω31 Ω41 Ω32 Ω42Ω13 Ω23 Ω14 Ω24Ω33 Ω43 Ω34 Ω44ρ3(x, y) ρ4(x, y)Figura 2: Descomposicio´n de Ω en m = 4 subdominios solapados (dibujo central) y fun-ciones ρi(x, y) correspondientes, para i = 1, 2, 3, 4 (dibujos de las esquinas).0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy(a) N = 17 (b) N = 33 (c) N = 65Figura 3: Mallas rectangulares lo´gicas usadas en el ensayo nume´rico.La discretizacio´n espacial empleada a continuacio´n esta´ basada en el me´todo de diferenciasfinitas descrito en la seccio´n 3. Para esto, el dominio de flujo Ω se discretiza por mediode una malla rectangular lo´gica pseudo-aleatoria ΩN ≡ {(xi,j , yi,j)}Ni,j=1 con coordenadasxi,j = (i − 1)h − 0,25h + 0,5hRx e yi,j = (j − 1)h − 0,25h + 0,5hRy, donde h =1/(N − 1) y Rx, Ry son nu´meros aleatorios generados en el intervalo (0, 1). La figura3(a) muestra un ejemplo de este tipo de mallas para N = 17. Con el fin de estudiarel comportamiento asinto´tico del error, hemos refinado sucesivamente la malla pseudo-aleatoria original usando el siguiente procedimento: partiendo de una malla dada, an˜adimoslos segmentos que conectan, en cada celda, los puntos medios de sus lados opuestos. Lasfiguras 3(b) y 3(c) muestran los dos primeros refinamientos para la malla de la figura 3(a).7L. Portero, A. Arrara´s, J.C. JorgeHemos incluido dos tablas que contienen los errores globales (fila superior) y los o´rdenesnume´ricos de convergencia (fila inferior) obtenidos para distintos valores de N y τ al usarla norma del ma´ximo en tiempo y la norma L2 en espacio. Se aprecia que el me´todomuestra convergencia incondicional de primer order en tiempo (ve´ase tabla 1) y segundoorden en espacio (ve´ase tabla 2).Tabla 1: Errores globales y o´rdenes nume´ricos de convergencia en tiempo para N = 129 yτ0 = 10−3.τ τ0 τ0/2 τ0/4 τ0/8 τ0/16 τ0/32‖ · ‖L∞(0,T ;L2(Ω)) 3,430E − 2 2,066E − 2 1,178E − 2 6,497E − 3 3,498E − 3 1,847E − 3p2 0,7315 0,8103 0,8582 0,8932 0,9213 −Tabla 2: Errores globales y o´rdenes nume´ricos de convergencia en espacio para τ = 10−7.N 17 33 65 129 257‖ · ‖L∞(0,T ;L2(Ω)) 4,639E − 3 1,911E − 3 4,650E − 4 1,158E − 4 2,893E − 5p2 1,2795 2,0390 2,0056 2,0010 −Referencias[1] B. Bujanda, J.C. Jorge. Stability results for linearly implicit fractional step discretizations of non-linear time dependent parabolic problems. Appl. Numer. Math., 56 (2006), 1061–1076.[2] M.A. Celia, E.T. Bouloutas, R.L. Zarba. A general mass-conservative numerical solution for theunsaturated flow equation. Water Resour. Res., 26 (1990), 1483–1496.[3] L. Portero, B. Bujanda, J.C. Jorge. A combined fractional step domain decomposition method for thenumerical integration of parabolic problems. Lecture Notes in Comput. Sci., 3019 (2004), 1034–1041.[4] L.A. Richards. Capillary conduction of liquids through porous mediums, Physics, 5 (1931), 318–333.[5] A. Samarski˘ı, V. Tishkin, A. Favorski˘ı, M. Shashkov. Operational finite-difference schemes. Differ.Equ., 17 (1981), 854–862.[6] M. Shashkov. Conservative Finite-Difference Methods on General Grids. CRC Press: Boca Raton,FL, 1996.[7] M. Shashkov, S. Steinberg. Solving diffusion equations with rough coefficients in rough grids. J.Comput. 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Resolución numérica de problemas evolutivos semilineales sobre dominios irregulares mediante métodos miméticos paralelizables

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Resolución numérica de problemas evolutivos semilineales sobre dominios irregulares mediante métodos miméticos paralelizables

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