間接証明に対する障壁 : 転換法による円周角の定理の逆の証明に焦点を当てて

全国数学教育学会第51回研究発表会 日時 : 令和元年12月14日（土）12:00～18:10, 12月15日（日）8:50～16:15 会場 : 広島大学大学院教育学研究科・教育学部（東広島キャンパス

Analysis of Mathematician's Activities : Implications for Mathematics Teacher Education

本稿の目的は，ある数学者による研究論文を分析することによって，専門家としての数学者の活動の一端を理解し，数学科教師教育への示唆を得ることである。 検討の結果，数学者による活動は，演繹的に論理を詰めていくだけでは無く，仮説としての予想を経験的帰納的にたてて検証していく部分も多いことが指摘された。学問としての数学の研究論文を学部学生に与えることは，その読解に相当の数学的素養を必要とすることから必ずしも適切とは限らない。しかしながら，実際の数学者による研究活動や，研究論文として提出された成果の導出過程を追体験すること，なぜその研究論文がかかれねばならなかったのかという知識構成の必要性の感得など，数学科教師教育に対しても扱い方によっては十分に価値があることがわかった。The purpose of this paper is to have implications for mathematics teacher education through analysis of mathematician's activities by reading an academic paper. The result suggests that a mathematician does not only think deductively but also take an inductive and empirical approach while forming hypotheses. It isn't always appropriate to provide academic mathematics papers for undergraduate students because an essential background is needed to read them. However, to read an academic paper could be enough worth for students in mathematics teacher education because they could follow a mathematician's research process including submitting an academic paper and reflect reasons to write the paper

CAN STUDENTS CONSTRUCT NON-CONSTRUCTIVE REASONING? IDENTIFYING FUNDAMENTAL SITUATIONS FOR PROOF BY CONTRADICTION

The purpose of this study is to identify and empirically corroborate a fundamental situation (Brousseau, 1997) for constructing “proof by contradiction.” We identified the four elements of a fundamental situation: i) obtaining strong conviction; ii) negating the given proposition naturally without being aware of the assumption; iii) finding a contradiction easily; and iv) noticing the origin of the contradiction. Based on this study, a new research question arises: How can students construct “proof by contradiction” using teacher support?This work was partially supported by JSPS KAKENHI Grant Number 17H00147.Place; Umeå, SWEDEN Date; 3-8 July, 201

EXPLORATORY RESEARCH ON UNDERSTANDING PROOF BY COINCIDENCE: BUILDING AN ANALYTICAL FRAMEWORK BY COMPARING JAPANESE TEXTBOOKS

This work was partially supported by JSPS KAKENHI Grant Number 18K13162.Date; 16-19 September 2019 Place; Paderborn, German

A study on curriculum development for indirect proof: understanding and constructing the process of proof by contradiction

本研究の目的は，間接証明に関するカリキュラムの開発である。その狙いは，十分に理解されていないと考えられる間接証明をよりよく学ぶと共に，学びの過程を通して論理を扱う能力を育むことである。本稿においては，その基礎として，間接証明を学ぶ過程を明らかにすることを目的とした。ただし，間接証明が何かという統一見解は見られないため，今回は背理法に限定して考察した。 目的のため，まず背理法に関する知識を分析し，特に数学史を参照しながら，背理法を構成することが期待される学習を設計した（アプリオリ分析）。高等学校1年生に授業を実施した結果，生徒の実態を十分想定出来ていなかったことから，学習自体は十分に成功しなかった。しかしながら，背理法に関する知識の分析それ自体については，かなりの部分が妥当であることは示された。本時の課題を元に，改善した学習を実施することで，知識の分析の妥当性や限界を明らかにし，カリキュラム開発に繋げることが今後の課題である。The purpose of our study is to develop a curriculum of indirect proof. It aims to increase students’ understanding about indirect proof, and to improve their ability to use logic. Furthermore, we aim to construct a process of indirect proof, as the base of the curriculum. However, as there is no consensus regarding the definition of indirect proof, we only consider proof by contradiction. For this purpose, we designed a lesson in which students will probably be knowing indirect proof and then construct a process of the proof based on their conception (a priori analysis). We conducted the lesson in a 10th grade mathematics class. However, the lesson was not as successful as expected because we overestimated the students’ actual level of cognition. In contrast, most of our analysis of the knowledge is validated. Our future task is to design an improved lesson to deliver to students. We would also need to clarify the validation and limitations of our analysis

A Study on Effective Support of Pre-service Teachers in Practice Teaching(2): Through the Analysis of Small-group Learning in Pre-service Teachers’ Mathematics Lessons

本研究の目的は，教育実習生の認識に関する調査や実践される授業の分析を通して，効果的な実習指導に向けた示唆を得ることである。アンケートによる調査や学習指導案の分析によって，教育実習生が授業の中に小集団学習を取り入れる際の困難性が示された。また，小集団学習に関する利点やそれを実施する際の留意点に関して，教育実習生が多くの視点を持ち合わせている一方で，高等学校における小集団学習を取り入れた授業の経験が少ないことも明らかとなった。これらのことから，実習指導においては次のような点に重点を置いた支援が重要であると考えられる； 1) 小集団学習を位置づける目的を明確にし，個人の思考の場面も適切に確保すること 2) 小集団学習での目標を生徒に明確に示すこと 3) 小集団学習と個人あるいはクラス全体での学習との関連性を把握すること 4) 小集団学習と学習評価との関わりに注意を払うことThis study aims to highlight the implications of effective support in practice teaching by analyzing a survey administered to pre-service teachers. Through the analysis of teaching plans and questionnaire surveys, we identify the difficulties that occur when trainee teachers set up small-group learning in their lessons. From the questionnaires, we found that trainee teachers have many opinions about the advantages or disadvantages of such lessons, although they had little experience of small-group learning from their time at high school. The results of the analysis suggest that the following points are important when we instruct trainee teachers: 1) Clarify both the purpose of small-group learning and how to conduct individual learning; 2) Show students the aim of small-group learning; 3) Ensure trainee teachers review small-group learning for relating it to whole or individual learning; and 4) Ensure trainee teachers pay attention to the relationship between small-group learning and learning evaluations