Classical perturbations for matrices of linear functionals

Mención Internacional en el título de doctorEl objetivo de esta Tesis es estudiar trasformaciones espectrales para matrices que tiene como entradas funcionales lineales. En particular estudiamos las transformaciones de Christoffel, Geronimus y Geronimus-Uvarov. Con el fin de que esta Tesis sea lo más autocontenida posible, la hemos dividido en siete capítulos. • En el Capítulo 1, introducimos algunos conceptos y fijamos la notación que será usada a lo largo de esta Tesis a la vez que exponemos algunas propiedades básicas acerca de matrices semi-infinitas, módulos y polinomios matriciales junto con su teoría espectral. Hecho esto, pasamos a introducir la definición de matriz de funcionales lineales (y su forma sesquilineal asociada) también como el concepto de bi-ortogonalidad. • En el Capítulo 2 resumimos algunos resultados relativos a formas bilineales para las cuales el operador multiplicación por un polinomio es simétrico y su conexión con las relaciones de recurrencia de orden superior. Con esto en mente, pasamos a explicar cuidadosamente el resultado principal de concerniente a la relación existente entre una sucesión de polinomios satisfaciendo una relación de recurrencia de orden superior y una sucesión de polinomios matriciales que son ortogonales respecto a una medida matricial. Para concluir, mostramos algunos ejemplos de gran interés en la literatura. • El Capítulo 3 está dividido en dos partes. La primera parte se basada en los trabajos de A. J. Durán, A. J. Durán y W. Van Assche, y M. Derevyagin and F. Marcellán siendo este último el referente para esta primera parte del capítulo. Aquí, damos algunos resultados relacionados con la transformación espectral de Geronimus en el contexto de funcionales lineales y con esto en mente, motivamos la definición de este tipo de transformaciones para las formas bilineales simétricas B( . ; . ) definidas en términos de una medida de probabilidad con la propiedad de que el operador multiplicación por un cierto polinomio h(x) es simétrico para la forma bilineal, esto es B(h f ;g) = B( f ;gh) para todo f ;g 2 R[x]. Acto seguido, introducimos la noción de transformación de Geronimus múltiple y generalizamos los resultados dados en, encontrando, por ejemplo, que los productos internos tipo Sobolev discretos obtenidos al aplicarle un transformación de Geronimus múltiple a una forma bilineal nos lleva a una transformación de Geronimus matricial. Estos resultados han sido publicados en. Motivados por el resultado anterior, en la segunda parte de este capítulo, estudiamos la transformación de Geronimus (hermitica) pero ahora, sobre una matriz de medidas definida positiva, es decir, estamos interesados en el análisis de formas sesquilineales ( . ; . )W defindas mediante {P(x)W(x);Q(x)W(x)}W = ∫ P(x)dMQ†(x); donde M es una matriz de medidas definida positiva y W(x) es un polinomio matricial de grado fijo pero arbitrario. Aquí, encontramos condiciones para la existencia de la sucesión de polinomios ortogonales respecto a ( . ; . )W así como la fórmula de conexión entre los polinomios ortogonales originales y perturbados. Los resultados de este capítulo han sido publicados en. • El Capítulo 4 se dedica a la extensión de la fórmula de Christoffel para polinomios biortogonales matriciales. Más precisamente, dada una matriz de funcionales lineales u y W(x) un polinomio matricial con coeficiente principal no-singular, nosotros estudiamos la siguiente transformación matricial û =W(x)u y la relación entre sus familias de polinomios bi-ortogonales. El resultado principal de este capítulo es precisamente el Teorema 4.11, que presenta las fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales originales y perturbados. Para este propósito usamos toda la riqueza de la teoría espectral disponible para polinomios matriciales, en particular las cadenas de Jordan y los "roots polynomials" a izquierda y derecha que serán extremadamente útiles. Finalmente, veremos que estas transformaciones de Christoffel se pueden extender a la teoría de sistemas integrables. Los resultados de este capítulo han sido publicados en. • El Capítulo 5 estudia la extensión de la transformación de Geronimus para matrices de funcionales lineales soportados en la recta real, es decir, multiplicaremos una matriz de funcionales lineales por un polinomio matricial WG(x) y le adicionaremos una suma de masas adecuadas (que dependen de los "roots polynomials" a izquierda y derecha). Aquí, desarrollamos dos diferentes métodos, el espectral y no espectral con el fin de obtener fórmulas de conexión entre las sucesiones de polinomios bi-ortogonales matriciales asociados al funcional original y el perturbado. • En el Capítulo 6 se desarrolla la extensión de las transformación de Geronimus-Uvarov para matrices de funcionales lineales soportados sobre la recta real. Este tipo de transformaciones pueden considerarse como una composición de una transformación de Geronimus y, acto seguido, de una transformación de Christoffel. En términos de matrices de funcionales esto se escribe como u→uˇ→û, donde uˇWG(x) = u y û = WC(x)uˇ; con WC(x) y WG(x) polinomios matriciales. Como en el capítulo 5, usando el método espectral y no-espectral, obtenemos fórmulas de conexión entre los polinomios bi-ortogonales matriciales originales y los perturbados. En el método espectral encontramos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales perturbados en términos de la sucesiones de polinomios bi-ortogonales originales y las funciones de segunda especie (ver (1.9)). Aquí asumimos que los coeficientes principals de los polinomiosWC(x) yWG(x) son matrices no-singulares. En el método no-espectral damos una representación para los polinomios bi-ortogonales matriciales perturbados sin asumir ninguna hipótesis sobre el coeficiente principal del polinomio WG(x). Finalmente, como una aplicación, estudiamos la transformación de Uvarov matricial, que consiste en adicionarle al funcional original una suma de masas. Los resultados del capítulo 5 y 6 han sido publicados en. • Finalmente, en el Capítulo 7 damos un resumen de los principales resultados de esta tesis, así como una lista de problemas abiertos.Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería MatemáticaPresidente: Antonio José Durán Guardeño.- Secretario: Guillermo López Lagomasino.- Vocal: Ana Pilar Foulquié Moren

Spectral transformations and associated linear functionals of the first kind

Given a quasi-definite linear functional u in the linear space of polynomials with complex coefficients, let us consider the corresponding sequence of monic orthogonal polynomials (SMOP in short) (Pn)n≥0. For a canonical Christoffel transformation u˜=(x−c)u with SMOP (P˜n)n≥0, we are interested to study the relation between u˜ and u(1)˜, where u(1) is the linear functional for the associated orthogonal polynomials of the first kind (P(1)n)n≥0, and u(1)˜=(x−c)u(1) is its Christoffel transformation. This problem is also studied for canonical Geronimus transformations.Funding: The work of the second author (FM) has been supported by Agencia Estatal de Investigación (AEI) of Spain and Fondo Europeo de Desarrollo Regional (FEDER), grant PGC2018-096504-B-C33

Multiple Geronimus transformations

We consider multiple Geronimus transformations and show that they lead to discrete (non-diagonal) Sobolev type inner products. Moreover, it is shown that every discrete Sobolev inner product can be obtained as a multiple Geronimus transformation. A connection with Geronimus spectral transformations for matrix orthogonal polynomials is also considered.The work of Francisco Marcellán has been supported by Dirección General de Investigación, Desarrollo e Innovación, Ministerio de Economía y Competitividad of Spain, grant MTM2012-36732-C03-01

Ratio asymptotics for biorthogonal matrix polynomials with unbounded recurrence coefficients

In this paper we study matrix biorthogonal polynomials sequences that satisfy a nonsymmetric three term recurrence relation with unbounded matrix coefficients. The outer ratio asymptotics for this family of matrix biorthogonal polynomials is derived under quite general assumptions. Some illustrative examples are considered.Acknowledgements. AB acknowledges Centro de Matemática da Universidade de Coimbra (CMUC) UID/MAT/00324/2019, funded by the Portuguese Govern- ment through FCT/MEC and co-funded by the European Regional Development Fund through the Partnership Agreement PT2020. JCGA & FM thanks financial support from the Spanish “Ministerio de Economía y Competitividad” research project MTM2015-65888-C4-2-P, Ortogonalidad y aproximación; teoría y aplicacione

New distributional records of Mecoptera (Insecta) from Colombia

We present new distributional records for two Colombian species of Bittacidae. Pazius convolutus García-García & Cadena-Castañeda, 2015 and Bittacus panamensis Byers, 1958 previously known from Cundinamarca department are herein newly recorded from Santander and Magdalena, respectively. In addition, we recorded Bittacus pignatelli Navás, 1932 in Colombia for the first time, increasing the number of species of Mecoptera in the country. Comments about mating behavior of P. convolutus, as well as a distribution map and a check-list of Colombian species of Mecoptera are included

Efectos de la geometría del hombro de la herramienta sobre las propiedades mecánicas de juntas soldadas por fricción-agitación de aleación de aluminio AA1100

In this work were studied the effects of shoulder geometry of tool on microstructure evolution and mechanical properties of friction stir welded joints of AA1100 aluminum alloy using a milling machine. Three designs of shoulder geometry were evaluated with the aim to induce different distributions of thermal cycles in welding regions. Thermal cycles were measured using thermocouples and a data system acquisition. A microstructural characterization and crystallographic analysis of the welded regions were carried out using optical, scanning electron microscopy, and electron backscattering diffraction. The mechanical properties were measured by transverse tension, guided bend and hardness tests. The weldability behavior was established based on the experimental data. Results showed that the features shoulder tools produced an important effect on the thermal cycles, generating a plasticized wide region and biggest grain size in stir zone when compared with flat shoulder tool.En este trabajo se estudiaron los efectos de la geometría del hombro de la herramienta en la evolución de la microestructura y las propiedades mecánicas de juntas soldadas de aleación de aluminio AA1100 obtenidos por fricción-agitación usando una máquina fresadora. Tres diseños de hombros se evaluaron con el objetivo de inducir distribuciones diferentes de ciclos térmicos en las regiones de soldadura. Los ciclos térmicos se midieron utilizando termopares y un sistema de adquisición de datos. Caracterización microestructural y análisis cristalográfico de las regiones soldadas se hicieron usando, microscopía óptica y electrónica de barrido, además de difracción de electrones retrodispersados. Las propiedades mecánicas se determinaron por ensayos de tracción, doblez guiado y pruebas de dureza. El comportamiento de la soldabilidad se estableció con base en datos experimentales. Los resultados mostraron que las herramientas con hombro configurado tienen un efecto importante en los ciclos térmicos, generando una amplia región plastificada y el mayor tamaño de grano en la zona de agitación en comparación con la herramienta de hombro plano