La Relativité Générale, un cadre cohérent pour la mécanique classique des milieux continus

S’inspirant des travaux de Jean-Marie Souriau, on se propose de revisiter la mécanique classique —pour laquelle la vitesse de la lumière est infinie— avec les outils de la Relativité Générale, en considérant le groupe de Galilée comme groupe de symétrie à la place de celui de Poincaré. L’objectif est d’énoncer les lois de la mécanique classique sous forme covariante, c’est-à-dire qu’elles conservent leur forme lors de changements quelconques de coordonnées spatio-temporelles. La géométrie de l’espace-temps n’est alors plus riemannienne, ce qui a pour conséquence majeure de ne plus pouvoir descendre ni monter les indices tensoriels. Le torseur de la dynamique se généralise sous la forme d’un tenseur affine deux fois contravariant antisymétrique de divergence nulle. La thermodynamique covariante des milieux continus s’obtient en adjoignant à l’espace-temps une cinquième coordonnée. Inspired by Jean-Marie Souriau’s works, we intend to revisit the classical mechanics —for which one the velocity of the light is infinite — with the tools of the General Relativity, considering Galileo’s group as symmetry group instead of Poincaré’s one. The aim is to state the laws of the classical mechanics in a covariant form, i.e. they preserve their form under any space-time coordinate change. Hence the geometry of the space-time is not Riemannian, with a major consequence that tensorial indices may be neither lowered nor raised. The mechanics’ torsor is generalized as a divergence free 2-rank contravariant skew-symmetric affine tensor. The covariant thermodynamics of continua is obtained by adding an extra fifth dimension to the space-time

Une nouvelle approche de l'enseignement des torseurs

Dans l'enseignement de la mécanique, le torseur apparaît souvent sous la forme axiomatisée d'un objet composé d'un vecteur et de son moment, doué de la propriété d'équiprojectivité et obéissant à une règle de transport spécifique. Un point de vue fructueux et novateur est de considérer le torseur comme un tenseur affine et ainsi énoncer un principe unique que l'on décline, tant en statique qu'en dynamique, pour retrouver les théories classiques : solides rigides, corps 3D, milieux curvilignes. Cette notion offre ainsi une vision structurante des sciences mécaniques, de la mécanique générale à celle du milieu continu

Blurred maximal cyclically monotone sets and bipotentials

Let X be a reflexive Banach space and Y its dual. In this paper we find necessary and sufficient conditions for the existence of a bipotential for a blurred maximal cyclically monotone graph. Equivalently, we find a necessary and sufficient condition on $\phi \in \Gamma_{0}(X)$ for that the differential inclusion $y \in \bar{B}(\epsilon) + \partial \phi(x)$ can be put in the form $y \in \partial b(\cdot, y)(x)$, with $b$ a bipotential.Comment: Revised version, corrections in theorem 6.

General formulation for local integration in standard elastoplasticity with an arbitrary hardening model.

International audienceThis paper describes a general method for deriving the plastic corrections and the consistent tangent modulus for a wide range of arbitrary non-linear hardening models within the framework of standard small strains elastoplasticity. The features of the proposed formulation are: (i) the local solution is obtained through an iterative procedure. The plastic corrections are given in closed forms exhibiting one scalar function denoted by G(alg) and three fourth-order tensors D-alg, G(alg), L-alg, which are shown to be the algorithmic discrete counterparts of usual theoretical continuum quantities, (ii) the consistent tangent modulus has a symmetrical expression involving the same quantities. Finite element computations are performed using a particular non-linear kinematic hardening model and allow to exhibit the ratcheting phenomenon usually observed on mechanical components. subjected to cyclic loadings

Analytic calculation of the stresses in an ensiled granular medium

We present in this Note a new analytic approach, of continuous medium type, which improves the Janssen theory and enables us to calculate the stresses in an ensiled granular medium. This approach is based on the two dimensional equilibrium equations, coupled with the Mohr–Coulomb criterion and a slip condition at the walls of the silo. An analytic resolution is developed to compute the stresses for cohesive and non cohesive materials in the whole silo

Un critère d’existence et une méthode de construction des bipotentiels

Basée sur une extension de l’inégalité de Fenchel, la théorie du bipotentiel permet, en articulation avec le calcul des variations, de modéliser un large éventail de lois de comportement non associées. Pour une loi multivoque donnée, nous établissons une condition nécessaire et suffisante d’existence d’un bipotentiel. Si cette condition simple est remplie, nous présentons une méthode de construction du bipotentiel au moyen de recouvrements lagrangiens convexes

Comparaison de deux formulations du modèle d'Armstrong-Frederick : Application à l'adaptation élastoplastique

Dans cette communication, une analyse comparative de deux modèles de plasticité pour une loi d'écrouissage non linéaire est réalisée pour le modèle développé initialement par Armstrong et Frederick et une réécriture de celui-ci dans le cadre des Matériaux Standards Généralisés (MSG). Une analyse mathématique de ces deux modèles est d'abord effectuée à l'aide du concept de Matériaux Standards Implicites (MSI), ce qui permet d'obtenir un bipotentiel pour le modèle de type MSG. Pour ce modèle modifié, en utilisant le cadre des MSI, l'adaptation élastoplastique d'un tube mince sous traction constante et torsion alternée est étudiée. Les résultats analytiques obtenus sont comparés à ceux calculés par résolution numérique des problèmes de bornes d'adaptation par optimisation. Finalement, les prédictions des deux modèles sont comparés ce qui permet d'illustrer leurs différences

Solving frictional contact problems within the bipotential framework

In this paper, we present a theoretical and numerical analysis of frictional contact problems for large deformation elastoplastic based on the finite element method (FEM) and the mathematical program-ming. The study is done on an elastoplastic material obeying to the von Mises criterion. The Coulomb's friction contact is used to implement the frictional boundary conditions and is formulated by the bipotential method, which leads to only one principle of minimum in displacement