S’inspirant des travaux de Jean-Marie Souriau, on se propose de revisiter la mécanique classique —pour laquelle la vitesse de la lumière est infinie— avec les outils de la Relativité Générale, en considérant le groupe de Galilée comme groupe de symétrie à la place de celui de Poincaré. L’objectif est d’énoncer les lois de la mécanique classique sous forme covariante, c’est-à-dire qu’elles conservent leur forme lors de changements quelconques de coordonnées spatio-temporelles. La géométrie de l’espace-temps n’est alors plus riemannienne, ce qui a pour conséquence majeure de ne plus pouvoir descendre ni monter les indices tensoriels. Le torseur de la dynamique se généralise sous la forme d’un tenseur affine deux fois contravariant antisymétrique de divergence nulle. La thermodynamique covariante des milieux continus s’obtient en adjoignant à l’espace-temps une cinquième coordonnée.  Inspired by Jean-Marie Souriau’s works, we intend to revisit the classical mechanics —for which one the velocity of the light is infinite — with the tools of the General Relativity, considering Galileo’s group as symmetry group instead of Poincaré’s one. The aim is to state the laws of the classical mechanics in a covariant form, i.e. they preserve their form under any space-time coordinate change. Hence the geometry of the space-time is not Riemannian, with a major consequence that tensorial indices may be neither lowered nor raised. The mechanics’ torsor is generalized as a divergence free 2-rank contravariant skew-symmetric affine tensor. The covariant thermodynamics of continua is obtained by adding an extra fifth dimension to the space-time

DE SAXCÉ, Géry

I-Revues

21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
La Relativite´ Ge´ne´rale, un cadre cohe´rent pour la
me´canique classique des milieux continus
G. de Saxce´a
a. Laboratoire de Me´canique de Lille (UMR CNRS 8107)
Re´sume´ :
S’inspirant des travaux de Jean-Marie Souriau, on se propose de revisiter la me´canique classique
—pour laquelle la vitesse de la lumie`re est infinie— avec les outils de la Relativite´ Ge´ne´rale, en
conside´rant le groupe de Galile´e comme groupe de syme´trie a` la place de celui de Poincare´. L’objectif est
d’e´noncer les lois de la me´canique classique sous forme covariante, c’est-a`-dire qu’elles conservent leur
forme lors de changements quelconques de coordonne´es spatio-temporelles. La ge´ome´trie de l’espace-
temps n’est alors plus riemannienne, ce qui a pour conse´quence majeure de ne plus pouvoir descendre
ni monter les indices tensoriels. Le torseur de la dynamique se ge´ne´ralise sous la forme d’un tenseur
affine deux fois contravariant antisyme´trique de divergence nulle. La thermodynamique covariante des
milieux continus s’obtient en adjoignant a` l’espace-temps une cinquie`me coordonne´e.
Abstract :
Inspired by Jean-Marie Souriau’s works, we intend to revisit the classical mechanics —for which one
the velocity of the light is infinite — with the tools of the General Relativity, considering Galileo’s group
as symmetry group instead of Poincare´’s one. The aim is to state the laws of the classical mechanics
in a covariant form, i.e. they preserve their form under any space-time coordinate change. Hence
the geometry of the space-time is not riemannian, with a major consequence that tensorial indices
may be neither lowered nor raised. The mechanics’ torsor is generalized as a divergence free 2-rank
contravariant skew-symmetric affine tensor. The covariant thermodynamics of continua is obtained by
adding an extra fifth dimension to the space-time.
Mots clefs : Dynamique ; ge´ome´trie ; torseur
1 De´bat d’ide´es
La Relativite´ Ge´ne´rale n’est pas seulement une the´orie de la gravitation qui se re´duirait a` pre´dire des
effets te´nus tels que la courbure des rayons lumineux ou la pre´cession du pe´rihe´lie de Mercure mais
—peut-eˆtre surtout— est-elle un cadre de travail cohe´rent pour la me´canique des milieux continus.
Elle est organise´e autour de quelques ide´es-clefs [7] :
• l’espace-temps muni d’une me´trique, ce qui lui donne une structure ge´ome´trique sous-jacente de
varie´te´ diffe´rentielle riemannienne,
• un groupe de syme´trie, celui de Poincare´.
• associe´e a` ce groupe, une connexion sur cette varie´te´ qui s’identifie physiquement a` la gravitation
et dont les potentiels sont les 10 composantes de la me´trique,
• un tenseur spatio-temporel d’e´nergie-impulsion, repre´sentant la matie`re et de divergence nulle, qui
ge´ne´ralise le tenseur classique des contraintes,
• son identification avec un tenseur lie´ a` la courbure de la varie´te, e´galement de divergence nulle et
qui fournit les e´quations permettant de de´terminer les 10 potentiels de la gravitation.
Ce sche´ma est-il transposable a` la me´canique classique ?
1
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
L’ide´e n’est pas nouvelle et des chercheurs tels que Ku¨ntzle, Duval ou Horva´thy ([4], [5], [6]) s’y sont
essaye´s. Meˆme si la de´marche est se´duisante, sa mise en œuvre se heurte toutefois a` quelques e´cueils.
Esquissons a` grands traits cette approche :
• Le point essentiel est de travailler directement dans l’espace-temps mais avec un autre groupe
de syme´trie, celui de Galile´e. Il ne conserve toutefois aucune me´trique, ce qui ne permet plus de
descendre ni de monter les indices tensoriels.
• La connexion line´aire associe´e est structure´e en 2 composantes, la gravite´ classique et un nouvel
objet que nous avons appele´ tournoiement. Elle permet d’e´noncer l’e´quation du mouvement des
particules mate´rielles et solides rigides sous une forme covariante [2] et posse`de 4 potentiels.
• Les groupes de Galile´e et de Poincare´ sont deux sous-groupes du groupe affine, d’ou` l’ide´e de
de´gager les e´le´ments communs aux the´ories classique et relativiste en de´veloppant une me´canique
affine, comme le sugge`re Souriau dans [10]. Elle s’articule notamment autour de la notion de torseur,
revisite´e sous la forme d’un tenseur affine deux fois contravariant antisyme´trique dont la divergence
est nulle [1]. On retrouve par exemple de manie`re covariante les e´quations d’Euler des milieux
continus.
• Et la thermodynamique classique ? Une formulation covariante peut en eˆtre construite en conside´rant
l’espace-temps comme une sous-varie´te´ d’un espace de dimension 5 [3]. Le groupe de Galile´e agit alors
par l’interme´diaire d’une repre´sentation due a` Bargmann. On introduit un tenseur mixte d’ordre
2 que nous avons appele´ moment et dont l’annulation de la divergence conduit aux e´quations
de conservation classiques de la masse, de la quantite´ de mouvement et de l’e´nergie, expression
du premier principe de la thermodynamique. On ve´rifie enfin que la production locale d’entropie,
expression du second principe, est bien un invariant Galile´en.
Pour de´couvrir les aspect plus philosophiques, la Grammaire de la Nature [11] de Jean-Marie Souriau
constitue une bonne entre´e en matie`re. De´voilons-en maintenant quelques de´tails plus techniques.
2 Structures galile´ennes
Un e´ve´nement est une occurence ponctuelle et instantane´e. L’espace-temps M, ensemble des e´venements,
peut eˆtre conside´re´ comme une varie´te´ diffe´rentielle de dimension 4. Chaque e´ve´nement est alors iden-
tifie´ par ses coordonne´es, le temps X0 = t et les coordonne´es spatiales Xi = ri for 1 ≤ i ≤ 3, ce qu’on
e´crira :
X =
(
t
r
)
Les transformations affines dX ′ = PdX + C, ou` P ∈ GL(4) et C ∈ R4, pre´servant les distances, les
dure´es de temps, le mouvement rectiligne uniforme et les volumes oriente´s sont appele´es transforma-
tions galile´ennes et telles que :
P =
(
1 0
u R
)
ou` τ ∈ R est un changement d’horloge, k ∈ R3 une translation spatiale, u ∈ R3 la vitesse d’en-
traˆınement ou boost galile´en et R ∈ SO(3) une rotation. L’ensembleGA des transformations galile´ennes
est un sous-groupe de Lie de dimension 10 du groupe Aff (4) appele´ groupe de Galile´e.
Un fait remarquable est que les changements de coordonne´es X 7→ X ′ dont la matrice jacobienne est
une transformation galile´enne line´aire sont constitue´s d’un de´placement rigide et d’un changement
d’horloge :
r′ = (R (t))T (r − r0 (t)), t
′ = t+ τ0
La vitesse d’entraˆınement est alors de la forme : u = $ (t) ∧ (r − r0 (t)) + r˙0 (t) ou` $ est le vecteur
de Poisson de la rotation R(t). Les syste`mes de coordonne´s qui se de´duisent l’un de l’autre par un tel
changement sont appele´s syste`mes de coordonne´es galile´ennes. Dans de tels syste`mes, les connexions
galile´ennes, c’est-a`-dire les connexions line´aires syme´triques dont la matrice ω est un e´le´ment de
l’alge`bre de Lie du groupe des transformations galile´ennes line´aires, sont telles que :
ω(dX) =
(
0 0
Ω ∧ dr − g dt j(Ω) dt
)
,
2
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ou` j(u) est l’unique matrice antisyme´trique telle que j(u)v = u ∧ v, g ∈ R3 la gravite´ classique et
Ω ∈ R3 un nouvel objet appele´ tournoiement. Introduisant le quadrivecteur impulsion de composantes :
T =
(
m
p
)
l’e´quation du mouvement de particules mate´rielles dans le champ de gravitation prend la forme co-
variante
∇Tα = dTα + ωαβT
β = 0 (1)
ce qui conduit a` l’e´quation e´nonce´e par Souriau dans [8] (formule (12.47) page 133, traduction anglaise
dans [9]) :
m˙ = 0, p˙ = m (g − 2Ω ∧ v)
Le dernier terme permet par exemple d’expliquer simplement le mouvement du pendule de Foucault
sans ne´gliger la force centripe`te comme dans les traite´s classiques.
3 Me´canique affine et torseur d’une particule ou d’un solide rigide
Le de´cor e´tant plante´, inte´ressons-nous aux tenseurs affines, des objets dont les composantes sont
modifie´es par repre´sentation du groupe affine Aff (4) de R4. Les types les plus simples de tenseurs
affines sont les points (de l’espace tangent a` la varie´te´, perc¸u comme espace affine) et les fonctions
nume´riques affines sur cet espace. La re`gle tensorielle pour les composantes V α d’un point V de l’espace
tangent est :
V α
′
= Cα
′
+ (P−1)α
′
β V
β.
Pour les composantes (Φα, χ) de la fonction affine ψ de repre´sentation locale :
ψ (V ) = χ+ΦαV
α
la re`gle tensorielle est :
Φα′ = ΦβP
β
α′ , χ
′ = χ− ΦβP
β
α′ C
α′
On peut bien entendu construire des types de tenseurs affines plus complexes, par exemple celui des
torseurs qui jouent un roˆle-clef en me´canique. On les de´finit comme formes biline´aires antisyme´triques
µ sur l’espace vectoriel des fonctions affines, de repre´sentation locale :
µ (ψ, ψˆ) = µ ((Φα, χ), (Φˆβ , χˆ)) = J
αβΦαΦˆβ + T
α(χ Φˆα − χˆΦα),
avec Jαβ = −Jβα. La re`gle tensorielle pour les composantes (Tα, Jαβ) du torseur µ est alors :
Tα
′
= (P−1)α
′
β T
β, Jα
′β′ = (P−1)α
′
µ (P
−1)β
′
ν J
µν + Cα
′
((P−1)β
′
µ T
µ)− ((P−1)α
′
µ T
µ)Cβ
′
. (2)
Ge´ne´ralisant l’e´quation (1), on postule alors le principe suivant :
∇˜µ = 0 (3)
ou` le tilde symbolise la diffe´rentielle covariante affine pour la distinguer de la diffe´rentielle covariante
classique. Doter une varie´te´ d’une connexion affine ne´cessite des formes de connexion line´aire ωαβ et
des formes additionnels ωαA spe´cifiant le mouvement de l’origine courante de l’espace affine tangent [1],
ce qui conduit aux formules explicites :
∇˜Tα = ∇Tα = 0, ∇˜ Jαβ = ∇ Jαβ + ωαAT
β − TαωβA = 0 (4)
On peut alors de´cliner cette approche ge´ne´rale en fonction du groupe de syme´trie choisi :
• Conside´rant les seules transformation affines du groupe de Poincare´ (c’est-a`-dire celles dont la partie
line´aire est une transformation de Lorentz), on de´fini la classe des torseurs relativistes dont nous ne
poursuivrons pas l’e´tude ici.
3
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• Conside´rant les transformations galile´ennes, on de´fini la classe des torseurs galile´ens. L’e´tude de la
re`gle tensorielle nous conduit a` identifier les composantes Tα a` celles du quadrivecteur impulsion et
a` structurer la matrice antisyme´trique des composantes Jαβ sous la forme :
J =
(
0 −qT
q −j(l)
)
ou` q ∈ R3 est appele´ passage dans [8] et l ∈ R3 s’interpre`te comme le moment cine´tique de la
particule (ou du solide rigide). La raison en est que la loi de transport du moment :
l′ = l + k′ × p
n’est plus qu’une simple conse´quence de la re`gle tensorielle (2) applique´e a` une translation spatiale
k′. Que nous apprennent alors les conditions (4) ? La premie`re n’est autre que l’e´quation (1) du
mouvement du centre d’inertie d’un objet tandis que la seconde conduit a` une expression covariante
du the´ore`me du moment cine´tique :
l˙ +Ω× l0 = r × m (g − 2Ω× v)
ou` l0 = l−q∧p /m est le moment cine´tique intrinse`que (ou spin). On peut ainsi de´crire le mouvement
d’un solide rigide, par exemple d’un satellite ou d’une toupie.
4 Me´canique affine et torseur d’un milieu continu
La trajectoire d’une particule n’e´tant au fond qu’une courbe, la the´orie pre´ce´dente peut se ge´ne´raliser
a` un milieu continu en le conside´rant comme une sous-varie´te´ de l’espace-temps de´crite par un plonge-
ment N →M : ξ 7→ X = f (ξ). On conside`re alors un torseur en X = f (ξ) a` valeur vectorielle dans
l’espace vectoriel tangent en ξ a` N . Ces composantes (γTα,γ Jαβ) comportent donc un nouvel indice
contravariant γ que nous placerons par convention a` droite. L’e´quation (3) se ge´ne´ralise en postulant
que la divergence affine du torseur est nulle, ce qui conduit a` [1] :
γ∇˜
γTα = γ∇
γTα = 0, γ∇˜
γJαβ = γ∇
γJαβ + γU
ρ ΓαρC
γT β − γTα γU
ρ ΓβρC = 0 (5)
ou` :
βU
α =
∂ Xα
∂ ξβ
, et ωαC = Γ
α
ρC dX
ρ = ΓαρC γU
ρ d ξγ
Ces e´quations peuvent eˆtre de nouveau de´cline´es en fonction du choix du groupe de syme´trie. Pour le
groupe de Galile´e de la Me´canique classique, elles restent malgre´ tout tre`s ge´ne´rales et s’appliquent
par exemple a` la dynamique des coques pour lesquelles nous avons mis en e´vidence dans [1] l’existence
de termes nouveaux ge´ne´ralement absents des expose´s classiques. Pour illustrer la pertinence de ces
e´quations, examinons la dynamique d’un milieu continu 3D. Les varie´te´s N etM sont alors de meˆme
dimension. Par convenance, on choisit le meˆme syste`me de coordonne´es sur les deux varie´te´s, donc
l’expression locale du plongement f est l’application identite´ Xα = ξα. La distinction entre indices a`
gauche et a` droite n’est plus pertinente et nous les placerons tous a` droite : γTα = Tαγ et γJαβ = Jαβγ .
Deux approches sont alors possibles :
• Aucune restriction particulie`re n’est faite sur les composantes Jαβγ , ce qui conduit a` la description
d’un milieu de Cosserat dont nous ne poursuivrons pas l’e´tude ici.
• On postule que Jαβγ = 0 dans les repe`res affines ou` les composantes de l’origine mobile sont nulles.
On a alors affaire a` un milieu de Cauchy avec, en vertu de la seconde e´quation (5), la condition de
syme´trie :
T βα = Tαβ
Pour un torseur galile´en, la matrice 4× 4 syme´trique T des composantes Tαβ se structure ainsi :
T =
(
ρ pT
p ρ v vT − σ
)
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ou` ρ est la densite´, p = ρ v la quantite´ de mouvement et σ la matrice des contraintes de Cauchy. La
premie`re e´quation (5) conduit a` la forme covariante des e´quations d’Euler des milieux continus :
∂
∂ rj
(ρ vj) +
∂ ρ
∂ t
= 0, ρ
(
∂ vi
∂ t
+ vj
∂ vi
∂ rj
)
=
∂ σij
∂ rj
+ ρ (gi − 2Ωij v
j). (6)
ou` Ωij sont les e´le´ments de la matrice j(Ω).
5 Thermodynamique pentadimensionnelle
Pour construire une thermodynamique covariante des milieux continus (en l’absence de gravitation),
l’ide´e-clef est de conside´rer l’espace-temps M comme une sous-varie´te´ d’un espace Mˆ de dimension
5, de´crite par un plongementM→ Mˆ : X 7→ Xˆ = fˆ (X), et de travailler avec une extension centrale
du groupe de Galile´e par R appele´ groupe de Bargmann [4], agissant line´airement sur R5 par :
Pˆ =

 1 0 0u R 0
1
2
‖ u ‖2 uTR 1


La tempe´rature se ge´neralise sous la forme d’un pentavecteur :
Wˆ =

 ββv
ζ


ou` β = 1 / θ est la tempe´rature re´ciproque et ζ le potentiel de Planck. On introduit alors un covecteur
en Xˆ = fˆ (X) a` valeur vectorielle dans l’espace vectoriel tangent en X a` M, donc un tenseur mixte
d’ordre 2, appele´ moment et repre´sente´ par une matrice 4× 5 de la forme [3] :
Tˆ =
(
e −ρvT ρ
h+ ev − σv σ − ρvvT ρv
)
ou` h est le flux de chaleur et e l’e´nergie totale par unite´ de volume :
e = ρ
(
eint +
1
2
‖ v ‖2 −qI
)
avec l’e´nergie interne spe´cifique eint, l’e´nergie cine´tique et la production spe´cifique d’entropie qI . La
re`gle tensorielle s’e´crit matriciellement :
Tˆ ′ = P Tˆ Pˆ−1
La divergence Tˆ est un pentavecteur ligne tel que, pour tout champs lisse de pentavecteur Wˆ :
div (Tˆ Wˆ ) = (div Tˆ ) Wˆ + Tr
(
Tˆ
∂Wˆ
∂X
)
La forme covariante du premier principe de la thermodynamique :
div Tˆ = 0
restitue les e´quations (6) de conservation de la masse et de la quantite´ de mouvement (avec g = Ω = 0)
ainsi que l’e´quation de conservation de l’e´nergie :
ρ
deint
dt
= Tr
(
σ
∂ v
∂r
)
− div h+ ρ
dqI
dt
5
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On en de´duit l’e´quation de la chaleur classique.
Et le second principe ?
Pour un milieu continu, il prend la forme de l’ine´galite´ de Clausius-Duhem :
Φ = ρ
ds
dt
−
ρ
θ
dqI
dt
+ div
(
h
θ
)
≥ 0
ou` s est l’entropie spe´cifique. D’un point de vue relativiste, la question est de savoir si cette production
locale d’entropie est invariante. Dans [3], on de´montre qu’elle peut s’e´crire sous la forme :
Φ = div
(
Tˆ Wˆ
)
+ ρqI
dβ
dt
L’invariance galile´enne de cette expression re´sulte alors simplement de l’invariance du premier terme
et de chacun des facteurs du second.
6 Conclusions
Dans l’esprit de la relativite´, nous avons esquisse´ a` grands traits une me´canique et une thermody-
namique galile´ennes des milieux continus. Le torseur, perc¸u comme tenseur affine, joue un roˆle essen-
tiel. Il peut se de´cliner en fonction du choix de l’espace environnant, de la sous-varie´te´ et du groupe
de syme´trie.
Certes, des proble`mes important restent ouvert. Quelles sont par exemple les e´quations qui permettent
de de´terminer les 4 potentiels de la gravitation galile´enne ? Comment notamment modifier l’e´quation
de Poisson satisfaite par le potentiel φ de la gravitation newtonienne ? En effet, son second membre
—la masse, a` un facteur pre`s— est un invariant galile´en mais le laplacien de φ ne l’est pas... Quelle
est enfin l’e´quation additionnelle permettant de de´terminer e´galement le potentiel vecteur A ?
Re´fe´rences
[1] de Saxce´, G., Valle´e, C. 2003 Affine Tensors in Shell Theory. Journal of Theoretical and Applied
Mechanics 41 593-621
[2] de Saxce´, G., Valle´e, C. 2011 Affine Tensors in Mechanics of Freely Falling Particles and Rigid
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[3] de Saxce´, G., Valle´e, C. 2012 Bargmann Group, Momentum Tensor and Galilean invariance of
Clausius-Duhem Inequality. International Journal of Engineering Science 50 216-232
[4] Duval, C., Burdet, G., Ku¨ntzle, H.P., Perrin, M. 1985 Bargmann structures and Newton-Cartan
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[5] Duval, C., Gibbons, G., Horva´thy, P. 1991 Celestial mechanics, conformal structures and gravita-
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[6] Ku¨ntzle, H.P. 1972 Galilei and Lorentz structures on space-time : comparison of the corresponding
geometry and physics. Annales de l’Inst. Henri Poincare´ 17 337-362
[7] Souriau, J.-M. 1964 Ge´ome´trie et relativite´. Hermann (e´puise´) et Jacques Gabay (re´e´dition en
2008), Paris.
[8] Souriau, J.-M. 1970 Structure des syste`mes dynamiques. Dunod, Paris (e´puise´).
[9] Souriau, J.-M. 1997 Structure of Dynamical Systems, a Symplectic View of Physics. Birkha¨user
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13ıe`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique, Poitiers-Futuroscope 41-53
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6


La Relativité Générale, un cadre cohérent pour la mécanique classique des milieux continus

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