Phase portraits of integrable quadratic systems with an invariant parabola and an invariant straight line

We classify the phase portraits of the quadratic polynomial differential systems having an invariant parabola, an invariant straight line, and a Darboux first integral produced by these two invariant curves.Nous classifions les portraits de phase des systèmes différentiels polynomiaux quadratiques ayant une parabole invariante, une ligne droite invariante et une intégrale première de Darboux produite par ces deux invariants

Resolubilidade global para operadores diferenciais parciais reais de ordem um

The present work study the global solvability of first order real linear partial diferential operators when the principal part has precisely one equilibrium point. Moreover, examples and counterexamples are presented.O presente trabalho estuda a resolubilidade global de operadores diferenciais parciais lineares reais de ordem um cujo símbolo principal tem um único ponto singular. Além disso, exemplos e contra-exemplos são apresentados

Soluções fracas de equações hiperbolicas semi-lineares

Orientador: Jose Luiz BoldriniDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientificaResumo: Nosso objetivo é estudar aspectos relativos à existência de soluções fracas de equações de onda semi-lineares com condições relativamente fracas sobre a não-linearidade F. Neste trabalho estaremos interessados em estudar a equação acima sob as condições impostas por Strauss [5], as quais exigem continuidade de F e uF (x, u) + ou = 0. A idéia principal de Strauss [5] é aproximar F por funções lipschitzianas e, então, gerar uma seqüência de aproximações para a solução, na qual cada elemento é a solução de uma equação de onda não-linear cuja não-linearidade é dada por uma função lipschitziana. A passagem ao limite é garantida por um critério de convergência forte em L¹, apresentado no Capítulo 4. Iniciamos com um estudo sobre soluções fracas de equações de onda lineares, sendo apresentadas as resoluções de tais equações para diferentes tipos de domínio espacial e regularidade dos dados iniciais. Em todos os casos, é utilizado o Método de Galerkin. Depois apresentamos os resultados que permitem aproximar uma função F contínua e com o mesmo sinal de u, por funções lipschitzianas, bem como, o teorema que resolve a equação de onda não-linear cuja não-linearidade é dada por uma função lipschitziana. Encerrando o texto, além de apresentar a condição suficiente para convergência em L¹ já citada, resolvemos o problema em que a não-linearidade é dada pela função F mencionada no parágrafo anterior. Sempre que possível, apresentaremos mais de um caminho para a resolução de uma equação, apontando as vantagens e desvantagens de cada um. Ressaltamos que, em geral, a parte mais difícil da resolução de cada problema é a obtenção de estimativas a priori (as quais permitem a passagem ao limite) e das desigualdades de energia, que dão estimativas para o crescimento da solução. As demais etapas, como verificação dos dados iniciais, são trabalhosas num primeiro momento. Por serem muitas vezes repetitivas, feitas uma vez, não trazem maiores dificuldades nos próximos problemas.Abstract: Not informed.MestradoMestre em Matemática Aplicad

Global phase portraits of Kukles differential systems with homogenous polynomial nonlinearities of degree 5 having a center

We provide 22 different global phase portraits in the Poincaré disk of all centers of the so-called Kukles polynomial differential systems of the form $\dot{x} = -y$, $\dot{y} = x+Q_5(x,y)$, where $Q_5$ is a real homogeneous polynomial of degree 5 defined in $\mathbb{R}^2$

Phase portraits of integrable quadratic systems with an invariant parabola and an invariant straight line

We classify the phase portraits of the quadratic polynomial differential systems having an invariant parabola, an invariant straight line, and a Darboux first integral produced by these two invariant curves.Nous classifions les portraits de phase des systèmes différentiels polynomiaux quadratiques ayant une parabole invariante, une ligne droite invariante et une intégrale première de Darboux produite par ces deux invariants

Global solvability for first order real linear partial differential operators

AbstractF. Treves, in [17], using a notion of convexity of sets with respect to operators due to B. Malgrange and a theorem of C. Harvey, characterized globally solvable linear partial differential operators on C∞(X), for an open subset X of Rn.Let P=L+c be a linear partial differential operator with real coefficients on a C∞ manifold X, where L is a vector field and c is a function. If L has no critical points, J. Duistermaat and L. Hörmander, in [2], proved five equivalent conditions for global solvability of P on C∞(X).Based on Harvey–Treves's result we prove sufficient conditions for the global solvability of P on C∞(X), in the spirit of geometrical Duistermaat–Hörmander's characterizations, when L is zero at precisely one point. For this case, additional non-resonance type conditions on the value of c at the equilibrium point are necessary