Concepção de Futuros Professores de Matemática sobre as Origens da Demonstração

O presente trabalho tem por objetivo discutir as concepções dos alunos de Licenciatura em Matemática sobre as origens da demonstração em Matemática e sobre as variações do que é considerada uma demonstração conforme o contexto social e o período histórico. Para isso, foi estabelecido um referencial teórico que possibilitou entender o raciocínio matemático, a natureza da demonstração matemática e os processos envolvidos para construí-la, tomando por base, inicialmente, as pesquisas de Nickerson (2010). Além disso, para possibilitar uma melhor compreensão dos aspectos inerentes aos métodos de demonstração, optamos por uma orientação histórica, filosófica e matemática, numa perspectiva epistemológica e ontológica, presente no processo de demonstração. Em seguida, foi aplicado um questionário para alunos do Curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade pública do Brasil com questões que tiveram como objetivo abordar as concepções dos alunos sobre demonstração em Matemática. Neste texto discutimos os resultados obtidos por meio da análise das respostas dadas a primeira questão do questionário

Um Passeio pelo Labirinto da Lógica Matemática em companhia de Malba Tahan

In this paper we discuss the Mathematics, the Logic of Mathematics, the Philosophy and History of Mathematics that presents in the book A Lógica na Matemática of the Malba Tahan, in a contemporary approach. For that, we use the historiography to select matters in adherence with the research. Are treated this topics: the basis of the Logic of Mathematics; the concept definition; principles to define an object; definitions and nature of the axioms in Mathematics; the axiomatic method and the diverse axiomatic to the Euclidean Geometry; the logical structure of a deductive system; demonstration methods in mathematics; the induction, analogy and deduction in mathematics.En este trabajo discutimos las Matemáticas, la Lógica de las Matemáticas, la Filosofía y la Historia de las Matemáticas que se presentan en el libro A Lógica na Matemática del Malba Tahan, en un enfoque contemporáneo. Para eso, usamos la historiografía para seleccionar asuntos que se adhieren a la investigación. Se tratan estos temas: la base de la Lógica de las Matemáticas; la definición del concepto; principios para definir un objeto; definiciones y naturaleza de los axiomas en Matemáticas; el método axiomático y la diversidad axiomática de la geometría euclidiana; la estructura lógica de un sistema deductivo; métodos de demostración en matemáticas; la inducción, la analogía y la deducción en matemáticas.O presente artigo tem por objetivo discutir numa perspectiva contemporânea os conteúdos de Lógica, Matemática, Filosofia da Matemática e História da Matemática presentes no livro A Lógica na Matemática, escrito por Malba Tahan. Para isso, mediante o uso da historiografia, foram selecionados temas concernentes com os assuntos da pesquisa. Foram tratados os seguintes temas: a base lógica da Matemática, a definição de conceito, os princípios para se definir um objeto, as definições e a natureza dos axiomas em Matemática, o método axiomático e as diversas axiomáticas para a geometria euclidiana, a estrutura lógica de um sistema dedutivo, os métodos de demonstração em Matemática, a indução, analogia e dedução em Matemática.   Palavras-chave: Lógica Matemática; História da Matemática; Filosofia da Matemática.   A TOUR BY THE LABYRINTH OF MATHEMATICAL LOGIC IN THE COMPANY OF MALBA TAHAN   Abstract   In this paper we discuss the Mathematics, the Logic of Mathematics, the Philosophy and History of Mathematics that presents in the book A Lógica na Matemática of the Malba Tahan, in a contemporary approach. For that, we use the historiography to select matters in adherence with the research. Are treated this topics: the basis of the Logic of Mathematics; the concept definition; principles to define an object; definitions and nature of the axioms in Mathematics; the axiomatic method and the diverse axiomatic to the Euclidean Geometry; the logical structure of a deductive system; demonstration methods in mathematics; the induction, analogy and deduction in mathematics. &nbsp

Os paradoxos no ensino de Matemática: uma perspectiva histórica

In mathematics' development, the paradoxes exerted a remarkable and predominant role in various periods of the progress of science, promoting revolutions, transformations, and helping to extend ideas, arguments, concepts, methods, rigor and logic. Thus, in this paper, we discussed some paradoxes involving numbers and functions, and we discussed also their contributions to the construction of axiomatic set of negative numbers, for a rigorous conceptualization of infinite limits, and for formalize the concept of function. With it, we pointed the paradoxes as a resource for the teaching and for the learning of mathematics, which in addition to arouse curiosity, create an environment for discussion, encourage students to examine assumptions and show that the failures of logic, and erroneous arguments are a common feature in the evolution of mathematics, can also help teachers to develop a new attitude towards mistakes made by students.En el desarrollo de las Matemáticas, las paradojas jugaron un papel destacado y preponderante en diferentes períodos del progreso de esta ciencia, promoviendo revoluciones, transformaciones y contribuyendo a expandir ideas, razonamientos, conceptos, métodos, rigor y Lógica. Así, este artículo aborda algunas paradojas que involucran números y funciones y discute sus contribuciones a la construcción axiomática del conjunto de números negativos, a una conceptualización rigurosa de límites infinitos y a la formalización del concepto de función. Así, señalamos las paradojas como un recurso para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas que, además de despertar la curiosidad, genera un ambiente de debate, anima a los estudiantes a examinar supuestos y demuestra que las fallas de lógica y los argumentos erróneos son una característica común en evolución de las matemáticas, también puede contribuir a que los profesores desarrollen una nueva actitud hacia los errores cometidos por los estudiantes.No desenvolvimento da Matemática, os paradoxos exerceram um papel notável e preponderante em diversos períodos do progresso dessa ciência, promovendo revoluções, transformações e contribuindo para ampliar ideias, raciocínios, conceitos, métodos, rigor e a Lógica. Dessa forma, este artigo aborda alguns paradoxos envolvendo números e funções e discute suas contribuições para a construção axiomática do conjunto dos números negativos, para uma conceitualização rigorosa de limites infinitos e para a formalização do conceito de função. Com isso, apontamos os paradoxos como um recurso para o ensino e a aprendizagem da Matemática, que além de despertar a curiosidade, criar um ambiente para o debate, incentivar os alunos a examinar pressupostos e mostrar que as falhas da lógica e argumentos errôneos são uma característica comum na evolução da Matemática, também pode contribuir para que os professores desenvolvam uma nova postura diante dos erros cometidos pelos alunos

A Iniciação à Docência na Formação do Professor de Matemática: atividades desenvolvidas e contribuições da parceria entre a universidade e a escola

Neste relato socializaremos as contribuições do Pibid (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) para o ensino público básico e para a formação docente, descrevendo algumas experiências em sala de aula e atividades realizadas pela bolsista de iniciação à docência (primeira autora) do subprojeto de Matemática da Unesp, durante o ano de 2015, numa escola estadual de Ilha Solteira, em algumas turmas do 9º ano do Ensino Fundamental. O subprojeto de Matemática do Pibid/Unesp de Ilha Solteira tem como objetivo incentivar a participação do licenciando em Matemática no cotidiano da escola pública, contribuindo para o desenvolvimento de um processo de formação que incentive a docência e forneça ao licenciando uma formação inicial abrangente, por meio da articulação entre teoria e prática

As ternas pitagóricas e sua relação com os números congruentes: possibilidades de uso da História da Matemática em sala de aula

Neste artigo, por meio de uma revisão histórica, estabelecemos uma discussão sobre dois problemas clássicos e paralelos: as ternas pitagóricas e os números congruentes. Em diferentes momentos históricos, foi possível encontrarmos referências às ternas pitagóricas e aos números congruentes. O primeiro registro histórico de algumas ternas aparece na tabuleta babilônica Plimpton 322. Em seguida, nos textos do Sulvasutras, vemos que Baudhayana, Manava, Apastamba e Katyayana já conheciam o teorema de Pitágoras e obtiveram algumas ternas mediante o teorema da diagonal. Por meio dos relatos de Proclus, conhecemos os procedimentos de Pitágoras e Platão que possibilitaram gerar algumas ternas e a solução para gerar todas as ternas aparece em Os elementos de Euclides. Na Aritmética de Diofanto encontramos o primeiro exemplo de ternas em números racionais. Os primeiros estudos sobre as ternas pitagóricas e triângulos racionais aparecem nos estudos de Brahmagupta, cujos resultados são reconsiderados por Mahavira, Bhaskara II e Karavinda Swami. Nas investigações de al-Khazin sobre ternas primitivas encontramos uma parametrização para gerá-las. Fermat estabeleceu que a área de um triângulo retângulo cujos lados são inteiros não é um quadrado racional e, em 1983, Tunnell determinou uma solução parcial para o problema dos números congruentes. Os resultados obtidos por meio da revisão histórica sobre o tema nos permitiu construir um material que pode ser utilizado como um subsídio para o uso da História da Matemática em sala de aula, em diferentes níveis de ensino

ESTILOS DE ESCRITA E DEMONSTRAÇÕES MATEMÁTICAS SOB UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA

Diferentes estilos e processos argumentativos estão presentes nas inúmeras estratégias de investigar e de inventar soluções para os problemas que surgem em diversos ramos da Matemática, bem como para compreender a gama de elementos, relações, métodos heurísticos, lógicos e formais existentes numa demonstração. As experiências, práticas e preferências de cada matemático caracterizam seu estilo singular de escrita matemática e demonstrativa. Nesta perspectiva, o presente artigo discute treze estilos de escrita e de demonstração em Matemática identificados por meio de uma revisão histórica. Para isso, são apresentados os doze estilos apontados por Lorenzo (1971) – geométrico, poético, cossisto, algébrico-cartesiano, indivisível, operacional, épsilon, sintético e analítico, dual, axiomático, formal – e, a essa lista, acrescentamos uma décima terceira forma: o estilo intuicionista. A discussão sobre os estilos de demonstração é aprofundada por meio de uma perspectiva da História da Matemática e da Filosofia da Matemática como meios para compreender os processos de formação do pensamento matemático em relação aos estilos de escrita matemática

ASPECTOS ESTÉTICOS EM DEMONSTRAÇÕES DE BONAVENTURA CAVALIERI

A demonstração matemática evoca questões complexas de natureza lógico-epistemológica. Neste artigo exploramos episódios na história do cálculo infinitesimal, em particular sobre Bonaventura Cavalieri, visando destacar aspectos qualitativos da demonstração matemática. Inicialmente, apresentamos perspectivas sobre estética e demonstração matemática visando identificar elementos qualitativos na produção de conhecimentos matemáticos (formais). Em seguida, exploramos o uso de notações/simbologias no desenvolvimento do Princípio de Cavalieri e em resultados envolvendo o conceito de integral. Enfatizamos aspectos sobre linguagem/notações e procedimentos na enunciação e demonstração de alguns teoremas/proposições de Cavalieri. Finalmente, mencionamos nuances sobre como Leibniz, ao criar uma simbologia, reorganizou a estética de Cavalieri e determinou novos resultados sobre integrais

Arquimedes, Pappus, Descartes e Polya - Quatro episódios da história da heurística. -

O presente trabalho apresenta uma análise e discussão de indícios heurísticos presentes nas obras O Método de Arquimedes, A Coleção Matemática de Pappus e Regras para a Direção do Espírito de Descartes, buscando estabelecer relações com a sistematização da atividade heurística apresentada nas obras A arte de Resolver Problemas e Matemática e Raciocínio Plausível de George Polya. Através de uma metodologia de pesquisa em História da Matemática, foi consultado o original da obra de Arquimedes e traduções das demais obras citadas. Considerando que O Método é a mais antiga obra de heurística de que tem-se conhecimento, foi feita a primeira tradução do original em Grego Clássico para o Português desse texto de Arquimedes. A atividade heurística, definida como um esquema psíquico através do qual o homem cria, elabora e descobre a resolução de um problema, é o eixo central dos estudos sobre .como pensamos., estabelecidos por Polya, e que fundamentam a Resolução de Problemas, linha de pesquisa em Educação Matemática.This work presents an analysis and discussion of heuristic traces contained in the works The Method of Archimedes, The Mathematical Collection by Pappus and Rules for the Direction of the Mind by Descartes, trying to establish relationships with the systematization of heuristic activity in the works How to solve it and Mathematics and Plausible Reasoning by George Polya. Through a research methodology in History of Mathematics, the Archimedes.s original work and translation of the other mentioned works were consulted. Considering that The Method is the oldest heurist work for all we know, it was made the first translation from the original classic Greek to Portuguese language of that Archimedes.s text. The heuristic activity, defined as a psychic outline through which the man creates, elaborates and discovers the resolution of a problem, is the central axis of the studies about .as we thing., established by Polya, and that have founded the Resolution of Problems, a field of research in Mathematical Education.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES

A resolução de problemas no currículo de matemática do estado de São Paulo e no caderno do aluno

In this paper we stablished an analysis about the treatment given to Problem Solving in the Mathematics Curriculum of the State of São Paulo and the material Caderno do Aluno, in High School. For the analysis of the Curriculum we used the methodology of Documentary Analysis and for the analysis of the Caderno do Aluno we performed a survey of the problems that compose the material and then we used the Matrix of Process Assessment to establish a qualitative analysis on the given approach to solving problems in this material. The data obtained show that, although the São Paulo State Curriculum emphasizes the importance of the development of problem solving skills and emphasizes problematization as a good teaching strategy for the development of certain personal competences, the Caderno do Aluno material presents few problems and, consequently, offers few opportunities that in fact allow the development of the capacity to inquire and ask.  Neste trabalho é realizada uma análise sobre o tratamento dado à resolução de problemas no Currículo de Matemática do Estado de São Paulo e no material Caderno do Aluno, para o Ensino Médio. Para isso, numa abordagem qualitativa de pesquisa, foi utilizada a metodologia de Análise Documental. Para a análise do Caderno do Aluno também consideramos o documento Matriz de Avaliação Processual que especifica os conteúdos, as competências e habilidades que devem ser desenvolvidas ao longo dos bimestres, dando destaque para as que deverão orientar a elaboração das provas de Avaliação de Aprendizagem. Os resultados obtidos mostram que embora o Currículo enfatize a importância do desenvolvimento da capacidade de resolver problemas e dê destaque a problematização como uma boa estratégia de ensino para o desenvolvimento de determinadas competências pessoais, o material Caderno do Aluno apresenta poucos problemas e, consequentemente, oferece poucas oportunidades que de fato possibilitem o desenvolvimento da capacidade de inquirir e de perguntar.El objetivo de este trabajo es analizar y discutir cuál es el tratamiento dado a la resolución de problemas en el Currículo de Matemáticas del Estado de São Paulo y en el material Caderno do Aluno, para la Enseñanza Media. Para el análisis del Currículo se utilizó la Análisis Documental y para el análisis del Caderno do Aluno se realizó un levantamiento de los problemas que componen el material y luego utilizamos la Matriz de Evaluación Procesal para establecer un análisis cualitativo sobre el abordaje dado a la resolución de problemas en este material. Los datos obtenidos muestran que aunque el Currículo enfatiza el desarrollo de la capacidad de resolver problemas y destaque la problematización como una buena estrategia de enseñanza para el desarrollo de determinadas competencias personales, el material Caderno do Aluno presenta pocos problemas y, por consiguiente, ofrece pocas oportunidades que de hecho posibiliten el desarrollo de la capacidad de preguntar y de preguntar

Percepções de professores do Ensino Médio sobre mudanças de suas práticas de ensino de Probabilidade

Apresentamos neste artigo os resultados da aplicação de uma proposta didático‐pedagógica para o Ensino Médio,  que teve como ponto de partida para a construção dos conceitos básicos de probabilidade uma situação de jogo  associada à resolução de problemas. Trata‐se de uma pesquisa de intervenção na prática escolar com base na pesquisaação colaborativa. A proposta de ensino foi aplicada por três professoras em quatro salas do segundo ano do Ensino  Médio de uma escola pública de uma cidade do interior do Estado de São Paulo, Brasil. O objetivo da pesquisa foi  investigar as percepções das professoras de Ensino Médio, sobre mudanças ocorridas em suas práticas na sala de aula  e também discutir o ensino e a aprendizagem de Probabilidade a partir do uso de jogos e resolução de problemas