Note on the method of matched-asymptotic expansions for determining the force acting on a particle

This paper is an addendum to the article by Candelier, Mehaddi & Vauquelin (2013) where the motion of a particle in a stratified fluid is investigated theoretically, at small Reynolds and P\'eclet numbers. We review briefly the method of matched asymptotic expansions which is generally used in order to determine the force acting on a particle embedded in a given flow, in order to account for small, but finite, inertia effects. As part of this method, we present an alternative matching procedure, which is based on a series expansion of the far-field solution of the problem, performed in the sense of generalized functions. The way to perform such a series is presented succinctly and a simple example is provided.Comment: 8 page

The history force on a small particle in a linearly stratified fluid

The hydrodynamic force experienced by a small spherical particle undergoing an arbitrary time-dependent motion in a density-stratified fluid is investigated theoretically. The study is carried out under the Oberbeck-Boussinesq approximation, and in the limit of small Reynolds and small P\'eclet numbers. The force acting on the particle is obtained by using matched asymptotic expansions in which the small parameter is given by a/l where a is the particle radius and l is the stratification length defined by Ardekani & Stocker (2010), which depends on the Brunt-Vaisala frequency, on the fluid kinematic viscosity and on the thermal or the concentration diffusivity (depending on the case considered). The matching procedure used here, which is based on series expansions of generalized functions, slightly differs from that generally used in similar problems. In addition to the classical Stokes drag, it is found the particle experiences a memory force given by two convolution products, one of which involves, as usual, the particle acceleration and the other one, the particle velocity. Owing to the stratification, the transient behaviour of this memory force, in response to an abrupt motion, consists of an initial fast decrease followed by a damped oscillation with an angular-frequency corresponding to the Brunt-Vaisala frequency. The perturbation force eventually tends to a constant which provides us with correction terms that should be added to the Stokes drag to accurately predict the settling time of a particle in a diffusive stratified-fluid.Comment: 16 page

Etude expérimentale d'un jet laminaire impactant une plaque plane chauffée

International audienceCe travail, de nature expérimentale, est consacré à l'étude d'un jet laminaire axisymétrique impactant une plaque plane horizontale chauffée et dont la température est maintenue fixe à l'aide d'un système d'asservissement. En particulier, nous nous intéressons au lieu de décollement de la couche limite cinématique et thermique du fluide et dont la distance à l'axe du jet traduit la compétition entre les effets d'inertie qui, dans les régimes d'écoulement considérés ici, sont stabilisateurs, puisqu'ils ont tendance à plaquer le fluide sur la paroi, et les effets de flottabilité, qui inversement ont tendance à déstabiliser l'écoulemen

Hauteur de fontaine retombantes

Une fontaine est un jet dont la flottabilité agit dans le sens inverse de sa quantité de mouvement. Ce type d’écoulement se rencontre dans divers processus industriels (dispersion atmosphérique, rejets de polluant dans la mer, etc) et environnementaux (cumulonimbus, fumeur noir, éruptions volcaniques, etc). La configuration à laquelle nous nous intéressons est celle d’un rejet lourd vertical dans un milieu de masse volumique homogène. La hauteur du rejet évolue durant sa phase transitoire d’une hauteur maximale vers une hauteur stabilisée atteinte en régime établi. Turner (JFM 1966) a montré que pour de grandes valeurs du nombre de Froude à l’injection, le rapport entre la hauteur finale et la hauteur stabilisée est constant et vaut lambda = 1,43. Des travaux récents contredisent cette valeur pour de faibles nombres de Froude. Dans ce travail, nous établissons à partir du ”confined top-hat model” de Carazzo, Kaminski et Tait (JFM 2010) une équation différentielle régissant la hauteur stabilisée de la fontaine. Une solution rapprochée de cette équation est proposée et permet d’obtenir la dépendance du rapport avec le nombre de Froude. Enfin, une comparaison est faite avec les résultats expérimentaux de Burridge et Hunt (JFM 2012). Un bon accord est constaté, en tout cas pour Fr > 1

Étude du mouvement libre d'une particule dans un fluide en rotation solide à faibles nombres de Reynolds : mise en évidence des forces d'histoire et d'inertie

The motion of a spherical inclusion released in a vertical solid-body rotation flow is investigated theoretically and experimentally. Solid spheres, bubbles and drop are considered. The particle Reynolds number and the Taylor number nimber are smaller than unity. The motion equations of the inclusion are obtained by revisiting the hydrodynamic equations. The axial (vertical) motion and the horizontal motion are uncoupled, even though they are sensitive to the rotation rate of the flow. Analytical solutions of the particle motin equation are compared to experimental results obtained by releasing a particle in a rotating tank filled-up with silicone oil. For solid spheres and bubbles, both the terminal velocity and the particle ejection rate (or trapping rate) predicted by the theory agree with experiments, without any empirical adjustment. ln particular, the experimental device enables to check the validity of various theories involving solid or fluid inclusions with or without inertia or history effects. ln agreement with Miyazaki's theory (1995), the mobility tensor of Herron, Davis and Bretherton (1975), obtained by writing the fluid motion equations in the rotating frame, accurately predicts the horizontal particle trajectory, like the Boussinesq-Basset equation obtained by writing the fluid motion equations in the non-rotating frame and neglecting the horizontal contribution of inertia effects.Ce travail est consacré à une étude théorique et expérimentale du mouvement d'une particule sphérique solide, fluide ou gazeuse relâchée dans un fluide en rotation solide verticale et à faibles nombres de Reynolds et de Taylor. A cet effet, nous avons conçu un dispositif expérimental constitué d'un cylindre tournant, rempli d'huile de silicone et dans lequel sont relâchées nos particules. Au cours de nos expériences ces dernières sont filmées avec une caméra rapide, ce qui nous permet de mesurer avec précision l'évolution temporelle de leurs coordonnées spatiales. L'analyse théorique, qui s'inscrit dans une thématique de recherche relativement ancienne, corrobore l'étude de Herron, Davis et Bretherton (1975) en ce qui concerne les particules solides, et généralise leurs résultats au cas des inclusions fluide et gazeuse: bien que les vitesses de sédimentation des particules et les vitesses de migration dans le plan horizontal soient découplées, celles-ci sont affectées par la vitesse de rotation imposée au cylindre. Par ailleurs, et conformément à l'analyse théorique de Miyazaki (1995), nous observons que le mouvement horizontal de nos particules est correctement décrit par l'équation de mouvement de Boussinesq-Basset obtenue après analyse de l'écoulement de perturbation dans un référentiel non tournant et après avoir négligé, bien que cela ne soit pas tout à fait légitime, la contribution horizontal des effets d'inertie