Une fontaine est un jet dont la flottabilité agit dans le sens inverse de sa quantité de mouvement. Ce type d’écoulement se rencontre dans divers processus industriels (dispersion atmosphérique, rejets de polluant dans la mer, etc) et environnementaux (cumulonimbus, fumeur noir, éruptions volcaniques, etc). La configuration à laquelle nous nous intéressons est celle d’un rejet lourd vertical dans un milieu de masse volumique homogène. La hauteur du rejet évolue durant sa phase transitoire d’une hauteur maximale vers une hauteur stabilisée atteinte en régime établi. Turner (JFM 1966) a montré que pour de grandes valeurs du nombre de Froude à l’injection, le rapport entre la hauteur finale et la hauteur stabilisée est constant et vaut lambda = 1,43. Des travaux récents contredisent cette valeur pour de faibles nombres de Froude. Dans ce travail, nous établissons à partir du ”confined top-hat model” de Carazzo, Kaminski et Tait (JFM 2010) une équation différentielle régissant la hauteur stabilisée de la fontaine. Une solution rapprochée de cette équation est proposée et permet d’obtenir la dépendance du rapport avec le nombre de Froude. Enfin, une comparaison est faite avec les résultats expérimentaux de Burridge et Hunt (JFM 2012). Un bon accord est constaté, en tout cas pour Fr > 1

CANDELIER, Fabien

MEHADDI, Rabah

VAUQUELIN, Olivier

VAUX, Samuel

I-Revues

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ème
Congrès Français de Méanique Bordeaux, 26 au 30 août 2013
Hauteur de Fontaines Retombantes
R. Mehaddi
a
, S. Vaux
b
, O. Vauquelin
a
, F. Candelier
a
a. Aix-Marseille Université, Laboratoire IUSTI
b. Institut de Radioprotetion et de Sureté Nuléaire
Résumé :
Dans e papier nous traitons des fontaines turbulentes Boussinesq en régime permanent. Des simula-
tions numériques de type LES (Large Eddy Simulations) sur le ode ISIS développé par l'IRSN sont
utilisées an d'extraire l'évolution des paramètres qui ontrlent la dynamique de l'éoulement. Sur la
base de es observations, un modèle analytique simple basé sur le "Conned Top-Hat Model" est établi
et intégré analytiquement. La omparaison entre les résultats théoriques et les expérienes trouvées dans
la littérature montre un très bon aord pour un nombre de Froude initial supérieur à 1.
Abstrat :
The paper deals with steady state turbulent Boussinesq fountains. Numerial simulations of the ISIS ode
developed by IRSN are used to extrat the evolution of the variables whih ontrol the ow dynamis.
On the basis of these observations, a simple analytial model based on the "Conned Top Hat Model" is
established and solved analytially. The omparison between theoretial and experimental results found
in the literature shows a good agreement for an initial Froude number greater than 1.
Mots lefs : Fontaine ; Froude ; Hauteur
1 Introdution
On appelle jet à ottabilité négative, ou plus ommunément fontaine, l'éoulement résultant de l'émis-
sion vertiale d'un uide lourd dans un milieu plus léger au repos. Lors de sa phase d'établissement, du
fait de sa quantité de mouvement à la soure, la fontaine s'étend d'abord vertialement dans le milieu
ambiant à la manière d'un jet. Cependant, à ause de la fore de ottabilité, la fontaine s'arrête à une
ertaine hauteur (que l'on notera plus tard Hi pour hauteur initiale) avant de s'eondrer sur elle-même
pour former un panahe annulaire desendant qui vient entourer l'éoulement asendant. Il en résulte
qu'en régime établi, la fontaine se stabilise à une ertaine hauteur (que l'on notera plus tard Hf pour
hauteur nale) plus faible que elle atteinte juste avant l'eondrement.
De nombreux auteurs se sont intéressés à la détermination de la hauteur initiale Hi en adaptant le
formalisme développé par Morton et al. [1℄ pour les panahes turbulents [2, 3, 4, 5, 6℄.
La détermination de la hauteur nale Hf est, d'un point de vue théorique, beauoup plus omplexe
puisqu'elle résulte de l'interation entre deux éoulements que le formalisme préédemment ité n'est
pas apable d'appréhender.
Certains auteurs ont néanmoins proposé des tentatives de modélisation plus ou moins abouties. M-
Dougall [7℄ ou Bloomeld & Kerr [5℄ ont proposé des modèles à deux zones (la zone asendante et la
zone desendante) mais faisant apparaître un nombre important de variables, néessitant une résolution
numérique et ne permettant pas, par ailleurs, de ouvrir tous les régimes d'éoulement.
Plus réemment, Carazzo, Kaminski & Tait [8℄ ont établi un modèle ne traitant que la partie asendante
mais intégrant néanmoins les eets du panahe annulaire desendant au travers de onditions aux
limites plus physiques.
1
21
ème
Congrès Français de Méanique Bordeaux, 26 au 30 août 2013
En s'inspirant de e travail, nous proposons ii, une approhe théorique semblable mais s'appuyant
sur des modèles de fermeture diérents, alés sur des simulations numériques réalisées ave le ode à
hamp ISIS développé par l'IRSN. Cette approhe nous permet également d'obtenir des expressions
analytiques pour la hauteur de la fontaine en régime établi.
2 Modélisation de l'éoulement
A partir des équations de Navier-Stokes érites dans le adre de l'approximation de Boussinesq et
après appliation d'une déomposition de Reynolds, nous obtenons à l'ordre prinipal les équations
suivantes :
∂rwu
∂r
+
∂rw2
∂z
= −rgη −
∂rw′u′
∂r
, (1)
∂ru
∂r
+
∂rw
∂z
= 0 , (2)
∂ruη
∂r
+
∂rwη
∂z
= 0 . (3)
Les équations (1), (2) et (3) représentent respetivement la onservation de la quantité de mouvement,
du volume et du déit de masse volumique. Les variables z, r, w et u sont respetivement les oor-
données vertiale et radiale et les vitesses assoiées, w′u′ est une tension de Reynolds, ρ est la masse
volumique à l'intérieur de la fontaine et ρ0 est la masse volumique du milieu ambiant. Pour des raisons
de larté, on introduit de plus la variable η = (ρ(z, r)−ρ0)/ρ0 qui orrespond au déit loal de densité.
A partir de es trois équations fondamentales et après quelques manipulations mathématiques inspirées
de Carazzo et al. [8℄, il est possible d'obtenir le modèle i-dessous :
d(b2wm)
dz
= 2bwm (α− βRi) ,
d(b2w2m)
dz
= −gηmb
2
(
γ −
Cd
Ri
)
,
d(b2wmηm)
dz
= bwmηm (k2 − k1Ri) , (4)
où wm et ηm sont, respetivement, la vitesse du uide et le déit de densité sur l'axe de la fontaine. Le
rayon b est déni omme le lieu où s'annule la vitesse radiale (isaillement entre les parties asendante
et desendante de la fontaine). Ri = gηmb/w
2
m est le nombre de Rihardson.
Les onstantes du modèle peuvent être dénies par les prols de vitesse, de masse volumique et d'une
tension de Reynolds et seront par onséquent évaluées à l'aide de simulations numériques. Notons que
dans le travail de Carrazzo et al. [8℄, les valeurs des onstantes γ, k2 et Cd sont imposées arbitrairement
et valent respetivement 1, 0 et 0.
3 Résolution analytique du modèle
Dans ette setion, nous nous proposons de herher une expression analytique de la hauteur nale de
la fontaine à partir du système d'équations (4). En eet, les variables primaires de la fontaine peuvent
être exprimées omme suit :
dwm
dz
= −
wm
b
((γ − 2β)Ri+ 2α− Cd) , (5)
db
dz
=
1
2
((γ − 4β)Ri+ 4α− Cd) , (6)
dηm
dz
= −
ηm
b
((K1 − 2β)Ri + 2α−K2) , (7)
dRi
dz
=
Ri
b
((
5
2
γ − 4β −K1
)
Ri+ 4α+K2 −
5
2
Cd
)
. (8)
An de simplier les expressions, nous introduisons les onstantes suivantes :
φ =
5
2
γ − 4β −K1 , ψ = 4α +K2 −
5
2
Cd , A = −(γ − 4β) ;B = 4α− Cd ,
2
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Congrès Français de Méanique Bordeaux, 26 au 30 août 2013
ainsi que la fontion fontaine Γ = (φ/ψ)Ri.
Ce qui nous permet d'érire les équations d'évolution du rayon b et de la fontion Γ sous la forme
dΓ
dz
=
ψΓ
b
(Γ + 1) ,
db
dz
=
1
2
(
−A
ψ
φ
Γ +B
)
.
En ombinant les deux dernières expressions nous pouvons exprimer b en fontion de Γ
b
bi
=
(
Γ
Γi
)B/(2ψ) (Γi + 1
Γ + 1
)1/2(A/φ+B/ψ)
D'une façon analogue, la vitesse et le déit de densité peuvent être exprimés en fontion de Γ. Cei
onduit à
wm
wmi
=
(
Γ
Γi
)(Cd−2α)/ψ (Γi + 1
Γ + 1
)(2β−γ)/φ+(2α−Cd)/ψ
,
ηm
ηmi
=
(
Γ
Γi
)(Cd−2α)/ψ (Γi + 1
Γ + 1
)(2α−K2)/ψ+(2β−K1)/φ
,
où l'indie i indique les valeurs initiales des diérentes grandeurs.
En remplaçant l'expression de b dans l'équation donnant l'évolution de Γ en fontion de z, l'équation
d'évolution d'une fontaine turbulente peut être obtenue
dΓ
dz
=
ψΓω1i
bi (Γi + 1)
ω2 Γ
1−ω1 (Γ + 1)ω2+1 , (9)
ave ω1 = B/(2ψ) et ω2 =
1
2 (A/φ+B/ψ). Préisons que l'évaluation de Γ en fontion de z permet
d'obtenir l'évolution en fontion de z de l'ensemble des variables primaires du probléme.
A l'aide de l'équation (9) il est possible d'exprimer la hauteur de la fontaine sous forme intégrale :
Hf
bi
=
(Γi + 1)
ω2
ψΓω1i
∫
∞
Γi
Γω1−1 (Γ + 1)−ω2−1 dΓ . (10)
Dans ertains as (asymptotiques) l'équation (10) peut être simpliée pour donner des expressions
analytiques de la hauteur Hf . Pour une fontaine faible (Γi ≫ 1), nous obtenons en première approxi-
mation
Hf
bi
=
(Γi + 1)
ω2
ψΓω1i
∫
∞
Γi
Γω1−ω2−2 dΓ =
1
ψ (ω2 − ω1 + 1) Γi
.
Notons que ette solution peut être portée á un ordre de préision plus important en utilisant le
formalisme des développements asymptotiques raordés [9℄ qui permet ii d'érire la solution
Hf
bi
=
(Γi + 1)
ω2
ψΓω1i
(
Γi −
1+ω2
ω1−ω2−2
)
−(ω2−ω1+1)
(ω2 − ω1 + 1)
.
De façon analogue, nous obtenons pour les fontaines forées (Γi ≪ 1) la relation i-dessous :
Hf
bi
=
(Γi + 1)
ω2
ψΓω1i
(
β[1 + ω2 − ω1 ;ω1]−
1
ω1
Γω1i
)
ave β[x, y] =
∫ 1
0
(1− z)x−1 zy−1 dz .
4 Simulations numériques
Ayant obtenu les relations donnant la hauteur de la fontaine en fontion du nombre de Froude (ou
de Γi), il faut maintenant estimer les valeurs des onstantes qui interviennent dans le modèle. Dans
ette optique des simulations numériques de fontaines turbulentes ont été eetuées ave le ode ISIS
développé par l'IRSN.
3
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10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
PSfrag replaements
M/Mi
Q/Qi
B/Bi
z/bi
Figure 1  Évolutions vertiales de la quantité de mouvement (M = w2mb
2
), du débit volumique
(Q = wmb
2
) et du débit de ottabilité (B = wmb
2η2m) de la partie asendante pour Fr = 23.7.
ISIS est un ode de alul numérique dédié à la simulation 3D des éoulements turbulents et réatifs
faiblement ompressibles. Les équations de onservations sont dérites dans le temps en utilisant la
méthode des pas frationnaires. La disrétisation spatiale est basée sur la méthode des éléments nis
pour les équations hydrodynamiques et la méthode des volumes nis pour les équations de transport.
Le tableau 1 montre les aratéristiques d'injetion des fontaines qui ont été simulées. Nous pouvons
remarquer en partiulier que les régimes des fontaines forées et faibles ont tous été testés. Cela nous
permettra d'observer la sensibilité au hangement de régime d'éoulement, des onstantes du modèle.
Fr wi (m/s) bi (m) ηi Re
0.8 0.1931 0.116 0.0526 4025
1.2 0.2530 0.0881 0.0526 3996
1.6 0.3070 0.073 0.0526 4017
3.2 0.4865 0.0458 0.0526 3994
11.9 1.1749 0.019 0.0526 4002
23.7 1.8593 0.0119 0.0526 3966
Table 1  Détails des simulations sur ISIS (la vitesse débitante est donnée par wi = (72/91)wm ).
Nous observons sur la gure (1) que la quantité de mouvement, le débit volumique et le débit de
ottabilité passent par un maximum dans leurs évolutions vertiale. L'augmentation du débit volumique
Q est dû à un aroissement de l'entraînement lié à une intensiation des transferts turbulents entre
les parties asendante et desendante de la fontaine [10℄. Cet aroissement de débit volumique Q induit
une augmentation de la quantité de mouvement M de la partie asendante de la fontaine. De surroît
la stratiation imposée par la partie desendante de la fontaine sur la partie asendante, atténue la
rédution de la vitesse due prinipalement à la fore de ottabilité. L'addition de es deux phénomènes
explique l'augmentation de la quantité de mouvement M dans la zone prohe de la soure (z ≪ Hf ).
On remarque aussi que le débit de ottabilité B et la quantité de mouvement M atteignent leur valeur
maximale à la même altitude. Cei est dû au fait que le terme (K2 −K1Ri) devient négatif à la même
altitude que le terme
(
γ − CdRi
)
. Nous en déduisons que l'inuene de la partie desendante sur la
4
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100 101 102 103
10−1
100
101
102
103
 
 
PSfrag replaements
Fr
H
f
/b
i
Expérienes de Kaye & Hunt [11℄
Fontaine forée (présente étude)
Fontaine faible (présente étude)
Figure 2  Comparaison des orrélations théoriques obtenues dans la présente étude ave les données
expérimentales existantes dans la littérature.
stratiation se manifeste au travers du nombre K2 et Cd. Quant à la déroissane du débit volumique
Q, elle est prinipalement due au paramètre β qui montre que le partie asendante est entraînée par
la partie desendante. Le fait que tous es paramètres soient fontions du nombre de Rihardson loal
(qui tend vers l'inni au sommet de la fontaine) montre pourquoi la déroissane de la quantité de
mouvement est rapide et don donne lieu à une hauteur de fontaine plus faible que la hauteur initiale
de la fontaine.
Notons enn que les paramètres du modèle théorique sont onsidérés onstants, mais les simulations
numériques montrent qu'ils varient fortement au voisinage de la soure et au sommet de la fontaine.
Ils sont ependant approximativement onstants dans la région entrale de la fontaine où les prols
sont auto-similaires. Ces observations permettent de onlure qu'en première approximation, le modèle
reproduit de manière satisfaisante les phénomènes mis en jeu et explique pourquoi la hauteur nale
d'une fontaine est plus faible que sa hauteur initiale. Des onlusions analogues peuvent être tirées
pour les fontaines faibles (Fr < 3), pour lesquelles les valeurs des onstantes du modèle théorique sont
plus faibles.
En faisant la moyenne des valeurs des onstantes du modèle dans la région entrale de la fontaine où
les prols sont auto-similaires, nous obtenons les valeurs indiquées dans le tableau 2.
α β γ Cd K1 K2
Fontaine forée 0.27 1.31 3.3 0.267 2.88 0.4
Fontaine faible 0.2 0.3 1.2 0.1 1.1 0.2
Table 2  Valeurs moyennes des onstantes du modèle.
Finalement, en remplaçant es onstantes dans les expressions obtenues dans la setion 2, on peut
5
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ème
Congrès Français de Méanique Bordeaux, 26 au 30 août 2013
d'exprimer la hauteur nale de la fontaine en fontion du nombre de Froude omme suit :
Hf
bi
=
(
2.42−
1.53
Fr2
)(
0.33
Fr2
+ 1
)2.64
Fr Fontaines Forées (11)
Hf
bi
=
27.55
(
29 + 50Fr2
) 7
15(
58 + 73Fr2
) Fr2 Fontaines Faibles (12)
ave le nombre de Froude densimétrique :
Fr =
√
w2i
gηibi
où wi est la vitesse débitante à la soure basée sur un prol de vitesse turbulent, bi le rayon de la soure
et ηi le déit de densité à la soure. On peut onstater sur la gure (2) qui présente la omparaison
des relations théoriques ave les données expérimentales de Baines & Turner [4℄ et numérique de Lin
& Armeld [3℄ rapporté par Kaye & Hunt [11℄ un aord satisfaisant.
5 Disussion et Conlusion
Nous avons étudié théoriquement et numériquement les fontaines turbulentes en régime établi. Le mod-
èle théorique présenté ii explique omment la partie desendante de la fontaine réduit la hauteur nale
de la fontaine. En eet, outre le paramètre de stratiation mis en évidene par Carazzo, Kaminski &
Tait [8℄, deux paramètres supplémentaires ont été introduit dans l'équation de quantité de mouvement.
Ces derniers traduisent l'eet des fores volumiques induites par la partie desendante de la fontaine
sur la partie asendante.
Le modèle théorique reproduit aussi de façon aeptable le omportement moyen du débit volumique,
de la quantité de mouvement et du débit de ottabilité. La limitation vient du fait qu'il dépend de
six paramètres traduisant haun un eet sur l'évolution de es ux. Ces paramètres ont été estimés à
partir de simulations numériques eetuées sur le logiiel ISIS développé par l'IRSN. Finalement, des
relations nouvelles pour la hauteur de la fontaine retombante ont été obtenues.
Référenes
[1℄ Morton, B. R., Taylor, G. I. and Turner, J. S. 1956 Turbulent gravitational onvetion from main-
tained and instantaneous soures. Pro. R. So. Lond. A 234, 1-23.
[2℄ Turner, J. S. 1966 Jets and plumes with negative or reversing buoyany. J. Fluid Meh. 26, 779-792.
[3℄ Lin, W. & Armeld, S. W. 2000 Diret simulation of of weak axisymmetri fountains in a homoge-
neous uid. J. Fluid Meh. 403, 67-88.
[4℄ Baines, W. D., Turner, J. S. & Campbell I. H. 1990 Turbulent fountains in an open hamber. J.
Fluid Meh. 212, 557-592.
[5℄ Bloomeld, L. J. & Kerr, R. C. 2000 A theoritial model of a turbulent fountain. J. Fluid Meh.
424, 197-216.
[6℄ Mehaddi, R., Vauquelin, O. & Candelier F. 2012 Analytial solutions for Boussinesq fountains in a
linearly stratied environment. J. Fluid Meh. 691, 487-497.
[7℄ MDougall, T. J. 1981Negatively buoyant vertial jets. Tellus 33, 313 ?320.
[8℄ Carazzo, G.,Kaminski, E. & Tait, S. 2010 The rise and fall of turbulent fountains : a new model
for improved quantitative preditions. J. Fluid Meh. 657, 265-284.
[9℄ Candelier, F., & Vauquelin, O. 2012 Mathed asymptoti solutions for turbulent plumes.J. Fluid
Meh. 699, pp 489-499
[10℄ Kaminski, E., Tait, S. & Carazzo, G. 2005 Turbulent entrainment in jets with arbitrary buoyany.
J. Fluid Meh. 526, 361-376.
[11℄ Kaye, N. B. & Hunt, G. R. 2006 Weak fountains. J. Fluid Meh. 558, 319-328.
6


Hauteur de fontaine retombantes

Abstract

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