Una generalizzazione dei gruppi quasi hamiltoniani

Lo scopo di questa tesi e' studiare gruppi finiti che soddisfano condizioni sul numero di sottogruppi non permutabili.openCorso di Laurea in Matematic

Una generalizzazione dei gruppi quasi hamiltoniani

Lo scopo di questa tesi e' studiare gruppi finiti che soddisfano condizioni sul numero di sottogruppi non permutabili

Monotone 2-Groups

The generation problems are very interesting in the theory of finite groups. These problems can often be reduced to problems on the generators of p-groups. This has led to an increasing interest on the problems of generation in p-groups and on the study of classes of p-groups in which generators satisfy some precise conditions. In particular, it is very interesting the class of finite p-groups G with the property that the rank of G is equal to the number of generators of G (i.e. the number of generators of every subgroup of G is smaller than or equal to the number of generators of G). For instance, the abelian, the modular and the powerful p-groups belong to this class. Also the monotone p-groups lie in this class. We recall here the definition of monotone p-groups. Definition: Let G be a group. We denote with d(G) the number of generators of G. A p-group G is monotone if for every H and K subgroups of G with H contained in K, we have that d(H) is smaller than or equal to d(K). The class of monotone p-groups was introduced by A. Mann during the 1985 Saint Andrews Conference. In the paper " The number of generators of finite p-groups" published in 2005, Mann studies the monotone p-groups and classifies the monotone p-groups for p odd. When p=2, Mann does not classify the monotone 2-groups, but he gives some remarkable properties. For instance, he proves that a 2-group G is monotone if and only if the 2-generated subgroups of G are metacyclic. In this thesis, the monotone 2-groups are studied and completely determined.I problemi di generazione sono problemi estremamente interessanti nella teoria dei gruppi finiti. Tali problemi spesso si riducono a problemi sui generatori di p-gruppi. Questo ha portato ad un sempre maggiore interesse per i problemi di generazione nei p-gruppi e allo studio di classi di p-gruppi finiti in cui i generatori del gruppo e dei sottogruppi soddisfano alcune precise condizioni. Di particolare interesse é la classe dei p-gruppi finiti G tali che il numero di generatori di ogni sottogruppo H di G è minore o uguale del numero di generatori di G. Esempi di p-gruppi appartenenti a questa classe sono i p-gruppi abeliani, i p-gruppi modulari e i p-gruppi powerful. Soddisfano tale proprietà anche i p-gruppi monotoni. Per questi ultimi ricordiamo la definizione. Definizione. Dato G un gruppo, sia d(G) il numero di generatori di G. Un p-gruppo G si dice monotono se per ogni H e K sottogruppi di G con H contenuto in K, si ha che d(H) è minore o uguale a d(K). I p-gruppi monotoni sono stati introdotti da A. Mann durante una conferenza tenutasi a Saint Andrews nel 1985. Lo stesso autore, in "The number of generators of finite p-groups", lavoro pubblicato nel 2005, studia i p-gruppi monotoni e li classifica per p dispari. Del caso p=2, non viene data alcuna classificazione ma vengono date alcune proprietà interessanti. Ad esempio, Mann dimostra che un 2-gruppo G è monotono se e solo se i sottogruppi 2-generati di G sono metaciclici. In questa tesi vengono studiati e classificati completamente i 2-gruppi monotoni

Sets of Elements that Pairwise Generate a Matrix Ring

In this article, we investigate the relationship between the minimum number of proper subgroups of GL(n, q) whose union is the whole GL(n, q) and the maximum number of elements that pairwise generate GL(n, q). We show that the minimum number of proper subrings of M_n(q) whose union is the whole M_n(q) is exactly the maximum number of elements that pairwise generate M_n(q)

On 3-Generated 2-Groups Whose Maximal Subgroups are 2-Generated

Berkovich and Janko showed that a p-group not 2-generated and all of whose maximal subgroups are 2-generated has nilpotency class at most 2, when p is odd. In this article, we show that when p = 2, the nilpotency class of 2-groups not 2-generated and all of whose maximal subgroups are 2-generated is not bounded