The Kato Square Root Problem for Mixed Boundary Conditions

We consider the negative Laplacian subject to mixed boundary conditions on a bounded domain. We prove under very general geometric assumptions that slightly above the critical exponent $\frac{1}{2}$ its fractional power domains still coincide with suitable Sobolev spaces of optimal regularity. In combination with a reduction theorem recently obtained by the authors, this solves the Kato Square Root Problem for elliptic second order operators and systems in divergence form under the same geometric assumptions.Comment: Inconsistencies in Section 6 remove

Flow and transport in fractured geothermal reservoirs on different scales: Linking experiments and numerical models

Die Erdwärme stellt eine wichtige erneuerbare Energiequelle der Zukunft dar, um den Grundbedarf der Menschen an Wärme und Strom zu decken und die Abhängigkeit von fossilen Brennstoffen wie Erdöl und Kohle zu verringern. Die Internationale Energiebehörde schätzt, dass bis zum Jahr 2050 3,5% der weltweiten Energieversorgung durch Geothermie erfolgen können. Die Vorteile der Geothermie liegen dabei in der guten bedarfsabhängigen Regulierbarkeit sowie der uneingeschränkten weltweiten Verfügbarkeit bei gleichzeitig geringem Flächenbedarf. Darüber hinaus ist die Geothermie als eine der wenigen erneuerbaren Energien vollständig grundlastfähig und damit unabhängig von stark wechselnden Umwelteinflüssen, wie Windstärke oder Sonneneinstrahlung. Die größte Herausforderung bei der Geothermie liegt in der Erschließung von Niederenthalpie-Lagerstätten, die in Tiefen von einigen Kilometern liegen. Eine Möglichkeit hierzu stellt die Technologie des Enhanced Geothermal Systems (EGS) dar, die geringdurchlässige Gesteinsschichten eines Reservoirs wirtschaftlich nutzbar macht. Bei EGS werden durch hydraulische Stimulation bestehende natürliche Kluftsysteme erweitert und neue Klüfte geschaffen und so ein effektiver Wärmeaustausch zwischen dem geklüfteten Reservoirgestein und zirkulierenden Fluiden ermöglicht. Bisher gibt es allerdings nur wenige Pilotanlagen, wie z.B. in Soultz-sous-Forêts, Frankreich. Der Nachteil dieser Technologie ist, dass die so entstandenen Klüfte nur einen sehr kleinen Teil des Reservoirvolumens darstellen und sich alle an der Fluidzirkulation beteiligten natürlichen und induzierten Prozesse auf engstem Raum abspielen. Das grundlegende Verständnis der hochlokalisierten physikalischen Prozesse und Wechselwirkungen stellt somit den Schlüsselfaktor für einen erfolgreichen, umweltverträglichen und sicheren Betrieb von EGS dar. Ein besonderes Augenmerk muss auf die gegenseitigen Wechselwirkungen zwischen der Kluft und dem zirkulierenden Fluid sowie dem damit verbundenen Transport von Wärme und gelösten Stoffen gelegt werden. Die Kluftöffnung wird oft vereinfacht als der Abstand zwischen zwei parallelen Platten dargestellt. In Wirklichkeit bestehen die Verbindungen zwischen zwei Bohrungen jedoch aus einem kleinräumigen Netzwerk einzelner Klüfte, die wiederum ein stark veränderliches inneres Porenvolumen aufweisen. Die vorliegende Arbeit trägt zu einem besseren Verständnis der Entstehung und geometrischen Beschaffenheit von bevorzugten Fluidwegsamkeiten in geklüfteten Reservoiren sowie der damit verbundenen Transportprozesse bei. Das übergeordnete Ziel der einzelnen Studien ist eine Verknüpfung experimenteller Untersuchungen mit numerischen Modellen, um die relevanten, teilweise skalenabhängigen physikalischen Prozesse in Klüften zu identifizieren und quantifizieren. In den ersten beiden Studien (Kapitel 4 und 5) werden eine Vielzahl von stochastisch einzigartigen granitähnlichen Kluftgeometrien erstellt. Anschließend werden numerische Modelle entwickelt, um die präferentiellen Fluidpfade und deren Eigenschaften im Klufhohlraum unter geothermie-typischen Strömungsbedingungen und unter Verwendung der komplexen Navier-Stokes-Gleichungen zu quantifizieren. Das Ziel der ersten Studie ist die Quantifizierung von räumlichen Unterschieden zwischen den dreidimensionalen und den vereinfachten zweidimensionalen Kluftmodellen. Ein Vergleich zwischen äquivalenten Modellierungen mittels der Navier-Stokes-Gleichungen und dem lokalen kubischen Gesetz erlaubt eine Vorhersage über die Gültigkeit dieser Vereinfachungen. In Abhängigkeit von Fließund Scherrichtung sowie dem angelegten Druckgradienten bilden sich in allen Klüften Kanäle aus, die einen großen Teil des Volumenstroms umfassen, während im Rest der Kluft nur geringe Anteile an Fluidbewegung zu beobachten sind. Innerhalb dieser Kanäle zeigen beide Fließgesetze eine gute Übereinstimmung sowohl für rein laminare als auch turbulente Strömungen (mit Reynolds-Zahlen deutlich über 1). Außerhalb von Kanälen ergibt sich unabhängig vom Fließregime für die zweidimensionale Vereinfachung eine deutliche Überschätzung des zu erwartenden Volumenstroms. In der zweiten Studie werden die einzelnen Kanäle innerhalb der dreidimensionalen Kluft hinsichtlich ihrer Geometrie sowie Transporteigenschaften quantifiziert. Die Ergebnisse zeigen eine starke Anisotropie hinsichtlich der Fließ- und Scherrichtung. Obwohl eine senkrechte Ausrichtung von Strömung und Scherung zu einem deutlich verbesserten Durchfluss führt, haben die gut ausgebildeten und geraden Kanäle nur eine begrenzte Kontaktfläche mit dem umgebenden Gestein und behindern somit einen effizienten Wärmeaustausch. Anders ist dies bei einer parallelen Ausrichtung von Scherung und Strömung. In diesem Fall sind die Kanäle deutlich weniger ausgeprägt und haben zudem einen stark verlängerten absoluten Fließweg und damit verbundene höhere Kontaktfläche. Die dritte Studie (Kapitel 6) umfasst die Verknüpfung von Triaxialexperimenten, durchgeführt an zwei Sandsteinenderivaten mit steigenden Temperaturund Druckbedingungen, mit numerischen Modellen. Ziel ist eine Vorhersage der hydraulischen und mechanischen Gesteinseigenschaften eines potentiellen Reservoirgesteins. Die Ergebnisse zeigen eine poroelastische Kompaktion des Gesteins sowie anschließende nichtlineare Deformation, welche beide mit numerischen Modellen vorhergesagt werden können. Das Drucker-Prager-Kriterium ermöglicht die Bewertung der kritischen Scherspannung unter Berücksichtigung der drei Hauptspannungen. Die Studie zeigt, dass kleinstskalige Veränderungen, wie die mineralogische Zusammensetzung, zwar die Materialeigenschaften des Gesteins beeinflussen, numerische und analytische Modelle dessen Verhalten dennoch beschreiben können. In der vierten und fünften Studie (Kapitel 7 und 8) werden die kleinskalig gewonnen Erkenntnisse sowie weiterführende Felduntersuchungen dazu genutzt, um ein Modell des großräumigen Strömungsregimes im geklüfteten Reservoir von Soultz-sous-Forêts zu entwickeln. In der vierten Studie wird ein Strukturmodell des Soultz-Reservoirs entwickelt und das Strömungsregime entlang von Klüften zwischen den einzelnen Bohrungen mittels numerischer Modelle bestimmt. Durch die Verknüpfung mit den experimentellen Daten mehrerer Zirkulations- sowie Tracerversuche kann das Strömungsregime in bohrlochfernen Bereichen des Reservoirs quantifiziert werden. Darüber hinaus kann eine geologische Struktur identifiziert werden, die die Bohrungen GPK3 und GPK4 zwar hydraulisch separiert, allerdings störungsparallel eine Anbindung an das Fließregime des Oberrheingrabens herstellt. In der fünften Studie wird auf Grundlage des zuvor entwickelten hydraulischen Modells die Sensitivität der Produktionstemperatur hinsichtlich verschiedener operativer Rahmenbedingungen (Injektionstemperatur und Fließraten) untersucht

The Kato Square Root Problem follows from an extrapolation property of the Laplacian

On a domain Ω ⊆ _ Rd we consider second-order elliptic systems in divergence-form with bounded complex coefficients, realized via a sesquilinear form with domain H1/0 (Ω) ⊆ V ⊆ H1 (Ω). Under very mild assumptions on Ω and V we show that the solution to the Kato Square Root Problem for such systems can be deduced from a regularity result for the fractional powers of the negative Laplacian in the same geometric setting. This extends earlier results of McIntosh [25] and Axelsson-Keith-McIntosh [6] to non-smooth coefficients and domains

Implications on large-scale flow of the fractured EGS reservoir Soultz inferred from hydraulic data and tracer experiments

The Enhanced Geothermal System in Soultz-sous-Forêts, located in the geothermal favorable Upper Rhine Graben, is a fracture-controlled reservoir that was highly investigated in the last decades generating a huge geoscientific database. Numerical reservoir models use this database to simulate the operation of the subsurface heat exchanger, yet suffer from simplifications regarding the transfer of experimental into model data, dimensional extension, and computational power and efficiency. The new extensive transient 3D simulations, based on geophysical, geological and hydraulic data, highlight the hydraulic and transport feedback of the Soultz EGS due to convective and advective fluid flow. Developed with the goal of simulating the vast tracer test data during the reservoir-testing phase in 2005, the finite element model is focusing on the main fractured zones, which connect the wells in the deep reservoir. It comprises 13 major hydraulically active faults and fractures in a 13×11 x 5 km extending model domain, as well as open-hole sections of the wells GPK1 to GPK4 and their casing leakages. The simulation of the tracer experiment confirms the strong heterogeneity of the reservoir and highlights the importance of a potential fractured zone, hydraulically separating the reservoir in a northern (GPK1 to 3) and southern section (GPK4). This zone tends to connect the reservoir to the main fault system by hydraulically separating GPK4 from the other wells. The calibration and sensitivity analyses provide a unique, broad understanding of the reservoir flow zones providing information on the extension of the Soultz reservoir in the future and on the fluid pathways in the deep subsurface of the Upper Rhine Graben

Stochastic 3D Navier‐Stokes Flow in Self‐Affine Fracture Geometries Controlled by Anisotropy and Channeling

This study presents a probabilistic analysis of 3D Navier‐Stokes (NS) fluid flow through 30 randomly generated sheared fractures with equal roughness properties (Hurst exponent = 0.8). The results of numerous 3D NS realizations are compared with the highly simplified local cubic law (LCL) solutions regarding flow orientations and regimes. The transition between linear and nonlinear flow conditions cannot be described with a generally valid critical Reynolds number urn:x-wiley:00948276:media:grl62319:grl62319-math-0001, but rather depends on the individual fracture\u27s void geometry. Over 10% reduction in flow is observed for increased global Re (>100) due to the increasing impact of nonlinear conditions. Furthermore, the fracture geometry promotes flow anisotropy and the formation of channels. Flow perpendicular to the shearing leads to increased channeling and fluid flow (∼40% higher) compared to flow parallel to the shearing. In the latter case, dispersed flow and irregular flow paths cause a reduction of LCL validity

Stochastic 3D Navier‐Stokes Flow in Self‐Affine Fracture Geometries Controlled by Anisotropy and Channeling

This study presents a probabilistic analysis of 3D Navier‐Stokes (NS) fluid flow through 30 randomly generated sheared fractures with equal roughness properties (Hurst exponent = 0.8). The results of numerous 3D NS realizations are compared with the highly simplified local cubic law (LCL) solutions regarding flow orientations and regimes. The transition between linear and nonlinear flow conditions cannot be described with a generally valid critical Reynolds number urn:x-wiley:00948276:media:grl62319:grl62319-math-0001, but rather depends on the individual fracture\u27s void geometry. Over 10% reduction in flow is observed for increased global Re (>100) due to the increasing impact of nonlinear conditions. Furthermore, the fracture geometry promotes flow anisotropy and the formation of channels. Flow perpendicular to the shearing leads to increased channeling and fluid flow (∼40% higher) compared to flow parallel to the shearing. In the latter case, dispersed flow and irregular flow paths cause a reduction of LCL validity

Spatial Characterization of Channeling in Sheared Rough‐Walled Fractures in the Transition to Nonlinear Fluid Flow

Accurate quantification of spatially resolved fluid flow within fractures is crucial for successful reservoir development, such as Enhanced Geothermal Systems. This study presents an innovative workflow designed to model and characterize preferential flow paths (channels) within rough-walled shear fractures. A set of 30 rough-walled self-affine fractures, all possessing identical roughness characteristics, is stochastically generated. By solving the nonlinear Navier-Stokes equations in 420 individual realizations, the transition from linear to nonlinear flow regimes and the two extreme flow directions perpendicular and parallel to the shearing are numerically captured. A distinguishing feature of this approach is its comprehensive statistical analysis, which encompasses both the geometric and transport properties of flow paths in the non-simplified three-dimensional fractured void space under typical geothermal flow conditions. In a perpendicular orientation of flow and shearing, fluid flow exhibits pronounced localization, with more than one-third of the volumetric flow concentrated within 15% of the fracture volume. In contrast, parallel to the shearing, a complex pattern of individual tortuous channels emerges, with flow occurring in 22% of the void space. Nonlinear effects primarily manifest outside these channels, suggesting that complex flow phenomena may dominate irregular fracture structures, such as contact zones or asperities. In the parallel case, increased flow rates lead to an amplification of channeling processes resulting in less affected volume and diminished tortuosity of the main flow path, while in perpendicular orientation nonlinear effects are only of minor importance. The small-scale flow regime of both extreme cases tends to converge with increasing flow rates