Shifted convolution and the Titchmarsh divisor problem over F_q[t]

In this paper we solve a function field analogue of classical problems in analytic number theory, concerning the auto-correlations of divisor functions, in the limit of a large finite field.Comment: 22 pages, updated versio

Some Additive Combinatorics Problems in Matrix Rings

We study the distribution of singular and unimodular matrices in sumsets in matrix rings over finite fields. We apply these results to estimate the largest prime divisor of the determinants in sumsets in matrix rings over the integers

Détermination par analyse thermique des seuils d'amorçage des fissures sous chargement de Fretting

La sollicitation de Fretting est un phénomène associé à des micro-déplacements de faibles amplitudes entre deux solides en contact inférieur à la dimension de contact. L’endommagement généré par le Fretting sur la surface de contact est contrôlé par l’amplitude de glissement et dans le cas du glissement partiel l’endommagement prépondérant est la fissuration. La détermination des conditions d’amorçages passe par des méthodes expérimentales destructives très couteuses en temps et matériaux. Le but de notre étude est de développer une nouvelle méthode expérimentale basée sur la réponse thermique des matériaux, à l’image de celles s’appuyant sur les courbes d’auto-échauffement en fatigue. L’étude présentée ici a été réalisé sur un acier et nous nous sommes placés dans la configuration Cylindre/Plan. Un essai de Fretting consiste à appliquée une force normale constante sur le Plan. Un déplacement cyclique relatif est imposé, donnant naissance à une force tangentielle macroscopique. Une caméra thermique maintenue fixe et perpendiculaire à la surface latérale de l’échantillon lors des essais est utilisée. Les mesures thermiques ont été couplées à une méthode de suivi des marqueurs afin d’éliminer les mouvements de solide rigide. Une méthode de lissage local de la température est utilisée. Lors d’un test de Fretting à paramètres de chargement constants, l’évolution de la température moyennée sur une zone d’intérêt(ZI) peut être décomposée en trois parties, une dérive thermique globale, un signal périodique de même fréquence que la sollicitation et un signal périodique à deux fois cette fréquence. La dérive et les amplitudes des signaux périodiques atteignent rapidement une valeur stabilisée. Les résultats montrent que la valeur stabilisée de la dérive et les amplitudes des signaux périodiques de la température moyenne sur la ZI peuvent être empiriquement lié au seuil d’amorçage des fissures déterminée par les méthodes destructives. Les différences entre les deux méthodes restent inférieures à 10%

On the Distribution of Pseudopowers

An $x$-pseudopower to base $g$ is a positive integer which is not a power of $g$ yet is so modulo $p$ for all primes $p\le x$. We improve an upper bound for the least such number due to E. Bach, R. Lukes, J. Shallit, and H. C. Williams. The method is based on a combination of some bounds of exponential sums with new results about the average behaviour of the multiplicative order of $g$ modulo prime numbers

Class Field Theory and the First Case of Fermat’s Last Theorem

Wetensch. publicatieFaculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappe

From Quantum Systems to L-Functions: Pair Correlation Statistics and Beyond

The discovery of connections between the distribution of energy levels of heavy nuclei and spacings between prime numbers has been one of the most surprising and fruitful observations in the twentieth century. The connection between the two areas was first observed through Montgomery's work on the pair correlation of zeros of the Riemann zeta function. As its generalizations and consequences have motivated much of the following work, and to this day remains one of the most important outstanding conjectures in the field, it occupies a central role in our discussion below. We describe some of the many techniques and results from the past sixty years, especially the important roles played by numerical and experimental investigations, that led to the discovery of the connections and progress towards understanding the behaviors. In our survey of these two areas, we describe the common mathematics that explains the remarkable universality. We conclude with some thoughts on what might lie ahead in the pair correlation of zeros of the zeta function, and other similar quantities.Comment: Version 1.1, 50 pages, 6 figures. To appear in "Open Problems in Mathematics", Editors John Nash and Michael Th. Rassias. arXiv admin note: text overlap with arXiv:0909.491

The subconvexity problem for \GL_{2}

Generalizing and unifying prior results, we solve the subconvexity problem for the $L$-functions of \GL_{1} and \GL_{2} automorphic representations over a fixed number field, uniformly in all aspects. A novel feature of the present method is the softness of our arguments; this is largely due to a consistent use of canonically normalized period relations, such as those supplied by the work of Waldspurger and Ichino--Ikeda.Comment: Almost final version to appear in Publ. Math IHES. References updated