Non-Local Matrix Generalizations of W-Algebras

There is a standard way to define two symplectic (hamiltonian) structures, the first and second Gelfand-Dikii brackets, on the space of ordinary linear differential operators of order $m$, $L = -d^m + U_1 d^{m-1} + U_2 d^{m-2} + \ldots + U_m$. In this paper, I consider in detail the case where the $U_k$ are $n\times n$-matrix-valued functions, with particular emphasis on the (more interesting) second Gelfand-Dikii bracket. Of particular interest is the reduction to the symplectic submanifold $U_1=0$. This reduction gives rise to matrix generalizations of (the classical version of) the {\it non-linear} $W_m$-algebras, called $V_{m,n}$-algebras. The non-commutativity of the matrices leads to {\it non-local} terms in these $V_{m,n}$-algebras. I show that these algebras contain a conformal Virasoro subalgebra and that combinations $W_k$ of the $U_k$ can be formed that are $n\times n$-matrices of conformally primary fields of spin $k$, in analogy with the scalar case $n=1$. In general however, the $V_{m,n}$-algebras have a much richer structure than the $W_m$-algebras as can be seen on the examples of the {\it non-linear} and {\it non-local} Poisson brackets of any two matrix elements of $U_2$ or $W_3$ which I work out explicitly for all $m$ and $n$. A matrix Miura transformation is derived, mapping these complicated second Gelfand-Dikii brackets of the $U_k$ to a set of much simpler Poisson brackets, providing the analogue of the free-field realization of the $W_m$-algebras.Comment: 43 pages, a reference and a remark on the conformal properties for $U_1\ne 0$ adde

Large time behavior and asymptotic stability of the two-dimensional Euler and linearized Euler equations

We study the asymptotic behavior and the asymptotic stability of the two-dimensional Euler equations and of the two-dimensional linearized Euler equations close to parallel flows. We focus on spectrally stable jet profiles $U(y)$ with stationary streamlines $y_{0}$ such that $U'(y_{0})=0$, a case that has not been studied previously. We describe a new dynamical phenomenon: the depletion of the vorticity at the stationary streamlines. An unexpected consequence, is that the velocity decays for large times with power laws, similarly to what happens in the case of the Orr mechanism for base flows without stationary streamlines. The asymptotic behaviors of velocity and the asymptotic profiles of vorticity are theoretically predicted and compared with direct numerical simulations. We argue on the asymptotic stability of these flow velocities even in the absence of any dissipative mechanisms.Comment: To be published in Physica D, nonlinear phenomena (accepted January 2010

Robin conditions on the Euclidean ball

Techniques are presented for calculating directly the scalar functional determinant on the Euclidean d-ball. General formulae are given for Dirichlet and Robin boundary conditions. The method involves a large mass asymptotic limit which is carried out in detail for d=2 and d=4 incidentally producing some specific summations and identities. Extensive use is made of the Watson-Kober summation formula.Comment: 36p,JyTex, misprints corrected and a section on the massive case adde

ЭЭГ-корреляты юмора и инсайта

Introduction. Recently, considerable attention has been paid to studying the EEG correlates of humor and insight. The novelty of the study lies in exploring the similarities and differences in the EEG correlates of original humorous insight and non-insight solutions. Very few publications are available in the literature that address to the psychophysiological study of humor creating. Materials and Methods. EEG recordings of 78 right-handed students were evaluated. The average age of respondents was 23 years. EEG registration was carried out when the research participants answered the question “What’s in the picture?” The original stimulus material consisted of simple abstract drawings (droodles), which enabled the respondents to give various interpretations. These interpretations were original and also original and humorous. The study analyzed the strength and distribution of EEG coherence in the theta, alpha, beta, and gamma frequency bands. Results. The comparative analysis revealed EEG coherence when finding original and humorous insight and non-insight solutions. This was intra- and interhemispheric coherence in the anterior, mainly prefrontal, and posterior, mainly occipital, cortex. Coherence in the right prefrontal cortex, interhemispheric coherence in the occipital cortex (low frequencies), and also intrahemispheric coherence in the posterior cortex in all the investigated frequency ranges were prominent when finding insight original and humorous solutions. Discussion. The study (a) revealed the role of frequency bands in cognitive and, above all, in creative activity, (b) compared the obtained results with findings of other researchers of the EEG correlates of creative thinking, and (c) described brain correlates of insight problem solving. Conclusion. The EEG correlates of humor and insight are similar.Введение. В статье обоснована актуальность изучения ЭЭГ-коррелятов юмора и инсайта. Новизна исследования заключается в изучении сходства и различий ЭЭГ-коррелятов создания оригинальных и юмористических идей инсайтным и неинсайтным способами. Отмечается очевидный дефицит психофизиологических исследований процесса создания юмора. Материалы и методы. Описана методика проведения исследования, в котором приняли участие 78 праворуких студентов, средний возраст 23 года. Применен метод ЭЭГ (электроэнцефалография). Во время регистрации ЭЭГ участникам исследования предлагалось ответить на вопрос: «Что может быть изображено на рисунке?». Предложен оригинальный стимульный материал – «друдлы» – рисунки, состоящие из простых геометрических форм, что создает возможность многозначной трактовки каждого рисунка. Участникам исследования предлагалось найти как оригинальное, так и оригинальное и, вместе с тем, смешное решение. Анализировались сила и характер распределения когерентных связей ЭЭГ в тета-, альфа-, бета- и гамма-диапазонах частот. Результаты. На основе проведенного сравнительного анализа выделены когерентные связи, выраженные при нахождении оригинального и юмористического решений инсайтным и неинсайтным способами. Это внутри- и межполушарные когерентные связи в передних, преимущественно префронтальных, и в задних, преимущественно окципитальных, отделах коры головного мозга. Показано, что когерентные связи в префронтальной области коры правого полушария и межполушарные связи в затылочных областях коры мозга в низкочастотных диапазонах, а также внутриполушарные связи в задних отделах коры во всех исследуемых частотных диапазонах выражены при инсайтном оригинальном и юмористическом решении. Обсуждение результатов. Авторы рассматривают роль частотных диапазонов в организации когнитивной и, прежде всего, творческой деятельности. Проводится сопоставление полученных результатов с данными других исследователей относительно ЭЭГ-коррелятов творческого мышления. Уделено внимание мозговым коррелятам нахождения решения путем инсайта. Выводы. Сделано заключение о сходстве ЭЭГ-коррелятов юмора и инсайта