Isomorphisms of Nonnoetherian Down-Up Algebras

We solve the isomorphism problem for nonnoetherian down-up algebras A(α, 0, γ) by lifting isomorphisms between some of their noncommutative quotients. The quotients we consider are either quantum polynomial algebras in two variables for γ = 0 or quantum versions of the Weyl algebra A1 for nonzero γ. In particular we obtain that no other down-up algebra is isomorphic to the monomial algebra A(0, 0, 0). We prove in the second part of the article that this is the only monomial algebra within the family of down-up algebras. Our method uses homological invariants that determine the shape of the possible quivers and we apply the abelianization functor to complete the proof.Fil: Chouhy, Sergio Nicolás. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Solotar, Andrea Leonor. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentin

Hochschild homology and cohomology of down–up algebras

We present a detailed computation of the cyclic and the Hochschild homology and cohomology of generic and 3-Calabi–Yau homogeneous down–up algebras. This family was defined by Benkart and Roby in [3] in their study of differential posets. Our calculations are completely explicit, by making use of the Koszul bimodule resolution and some arguments similar to those used in [13] to compute the Hochschild cohomology of Yang–Mills algebras.Fil: Chouhy, Sergio Nicolás. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Herscovich Ramoneda, Estanislao Benito. Universite Grenoble Alpes; Francia. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; ArgentinaFil: Solotar, Andrea Leonor. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló"; Argentin

Theory of ambiguities for projective resolutions of associative algebras

En esta tesis estudiamos el problema de calcular resoluciones proyectivas de álgebras asociativas. Nuestro punto de partida es la resolución de Bardzell para álgebras monomiales. Dada un álgebra asociativa, utilizamos el principio de sistemas de reducción de Bergman para asociarle álgebras monomiales. Mostramos que los diferenciales de la resolución de Bardzell de estas álgebras pueden modificarse para obtener resoluciones proyectivas del álgebra de partida. Mas aún, damos un criterio para que un complejo proveniente de una modificación de la resolución de Bardzell de un álgebra monomial asociada sea exacto. Aplicamos nuestro método a tres familias de álgebras: las intersecciones completas cuánticas, las álgebras de Weyl generalizadas cuánticas y las álgebras down-up. En el caso de las álgebras down-up, utilizamos la resolución obtenida para calcular invariantes homológicos de estas álgebras. De esta manera probamos propiedades de regularidad y damos una solución al problema de isomorfismo para las álgebras down-up no noetherianas. Palabras clave: álgebras asociativas, cohomología de Hochschild, resoluciones proyectivas.This thesis is concerned with the problem of computing projective resolutions of associative algebras. Our starting point is Bardzell’s resolution for monomial algebras. Given an associatve algebra, we use Bergman’s principle of reduction systems to associate monomial algebras to it. We prove that the differentials in Bardzell’s resolution of these monomial algebras can be modified to obtain projective resolutions of the original algebra. We also give sufficient conditions for a complex coming from a modification of Bardzell’s resolution of an associated monomial algebra to be exact. We apply our method to three families of algebras: Quantum complete intersections, Quantum generalized Weyl algebras and down-up algebras. In the case of down-up algebras, we use the resolution obtained to compute homological invariants of these algebras. This way we prove regularity properties and we solve the isomorphism problem for non-noetherian down-up algebras. Keywords: associative algebras, Hochschild cohomology, projective resolutions.Fil:Chouhy, Sergio Nicolás. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina

Projective resolutions of associative algebras and ambiguities

The aim of this article is to give a method to construct bimodule resolutions of associative algebras, generalizing Bardzell's well-known resolution of monomial algebras. We stress that this method leads to concrete computations, providing thus a useful tool for computing invariants associated to the considered algebras. We illustrate how to use it by giving several examples in the last section of the article. In particular we give necessary and sufficient conditions for noetherian down–up algebras to be 3-Calabi–Yau.Fil: Chouhy, Sergio Nicolás. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santalo". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santalo"; ArgentinaFil: Solotar, Andrea Leonor. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santalo". Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santalo"; Argentin