Toucher la corde sensible

National audienceContrairement aux apparences, le piano est un système acoustique et mécanique sophistiqué dont la facture demeure à ce jour très largement empirique. Les connaissances, très précises, des concepteurs et fabricants de pianos sont issues de siècles d'expérimentations, d'échecs, de succès... Et intriguent beaucoup les chercheurs en acoustique musicale. En utilisant des méthodes scientifiques pour modéliser le fonctionnement d'un piano et de ses différents éléments, il est possible de confirmer ou non ces connaissances et d'aller plus loin dans la compréhension des phénomènes mis en jeu

Simuler le son d'un piano

National audienceLa conception et la fabrication du piano sont très largement basées sur un savoir empirique issu de plusieurs siècles d'expérimentations, d'échecs, de succès... Les facteurs de piano ont acquis un ensemble de connaissances extrêmement précises mais cherchent désormais à rationaliser leur approche en utilisant des méthodes scientifiques, afin de donner raison ou tort à certaines affirmations, et à aller plus loin dans la compréhension des phénomènes mis en jeu

Energy preserving schemes for nonlinear Hamiltonian systems of wave equations: Application to the vibrating piano string

International audienceThis paper considers a general class of nonlinear systems, "nonlinear Hamiltonian systems of wave equations". The first part of our work focuses on the mathematical study of these systems, showing central properties (energy preservation, stability, hyperbolicity, finite propagation velocity, etc.). Space discretization is made in a classical way (variational formulation) and time discretization aims at numerical stability using an energy technique. A definition of "preserving schemes" is introduced, and we show that explicit schemes or partially implicit schemes which are preserving according to this definition cannot be built unless the model is trivial. A general energy preserving second order accurate fully implicit scheme is built for any continuous system that fits the nonlinear Hamiltonian systems of wave equations class. The problem of the vibration of a piano string is taken as an example. Nonlinear coupling between longitudinal and transversal modes is modeled in the "geometrically exact model", or approximations of this model. Numerical results are presented

Energy preserving scheme for non linear systems of wave equations. Application to piano strings.

International audienceThe linear wave equation does not describe the com- plexity of the piano strings vibration enough for physics based sound synthesis. The nonlinear cou- pling between transversal and longitudinal modes has to be taken into account, as does the "geometrically exact" model. This system of equations can be clas- sified among a general energy preserving class of sys- tems. We present an implicit, centered, second order accurate, numerical scheme that preserves a discrete energy, leading to unconditional stability of the nu- merical scheme. The complete model takes into ac- count the bridge coupling the strings, and the ham- mer non linear attack on the strings

A comparison of a one-dimensional finite element method and the transfer matrix method for the computation of wind music instrument impedance

International audienceThis work presents a computation tool for the calculation of wind instrument input impedance in the context of linear planar wave propagation with visco-thermal losses. The originality of the approach lies in the usage of a specific and simple 1D finite element method (FEM). The popular Transfer Matrix Method (TMM) is also recalled and a seamless formulation is proposed which unifies the cases cylinders vs. cones. Visco-thermal losses, which are natural dissipation in the system, are not exactly taken into account by this method when arbitrary shapes are considered. The introduction of an equivalent radius leads to an approximation that we quantify using the FEM method. The equation actually solved by the TMM in this case is exhibited. The accuracy of the two methods (FEM and TMM) and the associated computation times are assessed and compared. Although the TMM is more efficient in lossless cases and for lossy cylinders, the FEM is shown to be more efficient when targeting a specific precision in the realistic case of a lossy trumpet. Some additional features also exhibit the robustness and flexibility of the FEM over the TMM. All the results of this article are computed using the open-source python toolbox OpenWind

Modeling and numerical simulation of a grand piano.

International audienceWe consider a complete model of a piano which accounts for the acoustical behavior of the instrument from excitation to soundand, and we propose a numerical discretisation. The model is described as well as the numerical methods used for its discretisation. Nonlinearities and couplings are treated in such a way that energy techniques ensure numerical stability. Numerical results are presented and compared to measurements

Résolution de l'équation de Galbrun avec un flot quelconque. Application à l'hélioséismologie

In this report, we are concerned with the solution of Galbrun’s equations in timeharmonicdomain for an arbitrary flow with high order finite element methods. Several equivalentformulations of Galbrun’s equations are proposed and discretized with Discontinuous Galerkinmethod. They are compared with a formulation adapted for continuous Galerkin discretization.Numerically, it has been observed that the tested discretization methods converge correctly foran uniform flow, but no longer for a non-uniform flow. Two kinds of stabilization are proposedin order to restore a nice convergence though original equations are modified. Finally, simplifiedGalbrun’s equations are proposed to coincide with original Galbrun’s equations when the flow isnull. Numerical illustrations are presented in the context of helioseismology.Dans ce document, nous nous intéressons à la résolution des équations de Galbrunen régime harmonique pour un écoulement quelconque par des méthodes d’éléments finis d’ordreélevé. Nous proposons plusieurs formulations équivalentes des équations de Galbrun discrétiséespar une méthode de Galerkin discontinue, que nous comparons à une formulation adaptée auxéléments finis continus. Nous observons numériquement que les différentes méthodes de discrétisationtestées convergent correctement pour un écoulement uniforme, mais ne convergent paspour un écoulement non-uniforme. Nous proposons deux types de stabilisation qui bien quemodifiant les équations initiales permettent de retrouver une convergence satisfaisante. Nousproposons aussi des équations de Galbrun simplifiées qui coïncident avec les équations de Galbrunoriginales lorsque l’écoulement est nul. Nous montrons des illustrations dans le contexte del’héliosismologie

Derivation of high order absorbing boundary conditions for the Helmholtz equation in 2D

We present high order absorbing boundary conditions (ABC)for the Helmholtz equation in 2D, that can adapt to any regular shapedsurfaces. The new ABCs are derived by using the technique ofmicro-diagonalisation to approximate the Dirichlet-to-Neumann map.Numerical results on different shapes illustrate the behavior of thenew ABCs along with high-order finite elements

Viscothermal models for wind musical instruments

This work focuses on thermal and viscous effects on linear wave propagation inside a pipe. It aims at understanding the ground on which are built many dissipative propagating wave models found in the musical acoustics literature, in order to quantify, as much as possible, the underlying assumptions and model errors which are performed. The Navier-Stokes (NS) equations, which are nonlinear and expressed in the 3 dimensions of space, are the starting point of all models. Thermoviscous (or viscothermal) equations are derived from NS equations mainly after linearization and assumptions on the gas state equation. Analytical or numerical solutions to these equations can be proposed, after modifying more of less the original system. These derived models are summed-up in a global sketch of the underlying hypotheses. What is observed is that the thermal and viscous effects are mainly confined near the boundaries of the pipe, in regions called "boundary layers", whose lengths depend on the physical coefficients and the harmonic regime. These thermal and viscous effects can therefore be neglected far from the boundaries (where a standard 3D Helmholtz wave equation holds). These procedures can lead to 3D models, describing the propagation of the pressure field in all the domain or only a part of it, or 1D models, describing the propagation of the mean pressure across a pipe section. Some other 1D models are obtained from derived 3D models, and describe the propagation of the pressure near the boundary layer. The time dependancy of these derived models can be very intricate because the model derivation is done in the harmonic regime, and nonlocal operators can arise. An additional modelling step can lead to local time-domain 1D models. An assessment of some of these 3D and 1D models is proposed, aiming at a quantitative estimation of the model errors with respect to their domains of validity, and at a comparison between some models for simple geometries.Ce travail porte sur les effets visqueux et thermiques se manifestant lors de la propagation d'ondes linéaires dans un tuyau. Il vise à comprendre le fondement sur lequel s'appuient de nombreux modèles d'ondes dissipatives courants en acoustique musicale, afin de quantifier autant que possible, les hypothèses sous jacentes et les erreurs de modèle effectuées. Les équations de Navier-Stokes (NS), qui sont non linéaires et formulées dans les trois dimensions de l'espace, forment le point de départ de tous les modèles. Les équations thermovisqueuses (ou viscothermiques) sont dérivées des équations de NS essentiellement après une étape de linéarisation et certaines hypothèses sur l'équation d'état du gaz. Des solutions analytiques ou numériques peuvent être proposées, après des modifications plus ou moins profondes du système original. Ces modèles dérivés sont résumés dans un schéma global précisant les hypothèses effectuées. Ce que l'on peut observer est que les effets thermiques et visqueux sont essentiellement confinés à proximité des bords du tuyau, dans une région abritant les "couches limites", dont la taille caractéristique dépend des coefficients physiques et du régime harmonique. Ces effets thermiques et visqueux peuvent donc être négligés loin des bords (où une équation de Helmholtz 3D standard est valide). Ces procédures peuvent mener à l'établissement de modèles 3D qui décrivent la propagation du champ de pression dans tout le domaine ou seulement une sous partie, ou de modèles 1D qui décrivent la propagation de la pression moyenne sur une section du tuyau. D'autres modèles 1D peuvent découler des modèles 3D, et décrivent la propagation de la pression au voisinage des couches limites. La dépendance en temps de ces modèles dérivés est parfois très délicate car leur dérivation est faite dans le régime harmonique, faisant apparaitre des opérateurs non locaux. Une étape supplémentaire de modélisation peut aboutir à des modèles 1D locaux en temps. Ce travail propose une évaluation de certains de ces modèles (3D et 1D), à travers une estimation quantitative des erreurs de modèles en lien avec leurs domaines de validité, ainsi qu'une comparaison entre les modèles pour des géométries simples

Introduction and study of fourth order theta schemes for linear wave equations

International audienceA new class of high order, implicit, three time step schemes for semi-discretized wave equations is introduced and studied. These schemes are constructed using the modified equation approach, generalizing the $\theta$-scheme. Their stability properties are investigated via an energy analysis, which enables us to design super convergent schemes and also optimal stable schemes in terms of consistency errors. Specific numerical algorithms for the fully discrete problem are tested and discussed, showing the efficiency of our approach compared to second order $\theta$-schemes.Nous introduisons et étudions une nouvelle classe de schémas d'ordre élevé, implicites et à trois pas de temps pour les équations d'ondes semi-discrètes. Ces schémas sont construits sur le principe de l'équation modifiée et généralisent le theta-schéma. Nous étudions leurs propriétés de stabilité via des techniques d'énergie, ce qui nous permet de concevoir des schémas super convergents ainsi que des schémas optimaux en terme d'erreur de consistance. Des algorithmes numériques de résolution pour le problème totalement discrétisé sont testés et critiqués, montrant la supériorité de notre approche comparée aux theta shémas classiques du second ordre