On some apllications of Lie Algebroids in Geometry and Physics

El objetivo de esta tesis es el estudio de algunas aplicaciones de la teoría de algebroides de Lie, un concepto que generaliza tanto al de álgebra de Lie como al de fibrado vectorial, en problemas matemáticos y físicos concretos. La estructura de algebroide de Lie ha sido ya utilizada en distintos campos como mecánica, topología algebraica, geometría algebraica y geometría diferencial. En el primer capítulo hemos introducido esta noción, presentado unos ejemplos de ello y unas de sus propiedades que van a ser útiles en los siguientes capítulos. Un concepto fundamental para la parte matemática de nuestro trabajo es el del campo de Jacobi, que en la geometría Riemanniana puede ser interpretado como el campo vectorial variacional asociado a una familia 1-paramétrica de geodésicas. En esta parte, uno de nuestros resultados principales es la generalización de dicha noción a la de sección de Jacobi asociada a una ecuación diferencial de segundo orden (denominada sode) definida en un algebroide de Lie, que está acompañada de la generalización de la ecuación de Jacobi que la satisfacen estas secciones de Jacobi. Para ello hemos introducido el concepto de derivada dinámica covariante y el del endomorfismo de Jacobi asociados a una sode en este caso general. Una referencia importante relacionada con estos asuntos es. A continuación hemos considerado el caso de un algebroide de Lie Riemanniano. Hemos recordado brevemente la noción de la conexión Levi-Civita asociada a la métrica de Riemann, su correspondiente spray geodésico y hemos hallado las fórmulas de variación de la funcional de energía. Hemos utilizado nuestra teoría por el caso de una sode definida en un algebroide de Lie Riemanniano, donde el sode es el spray geodésico asociado a la conexión de Levi-Civita. En este caso, hemos mostrado que la derivada covariante asociada a la conexión Levi-Civita es la derivada covariante dinámica asociada al spray geodésico correspondiente a esta conexión, y hemos hallado la relación existente entre el endomorfismo Jacobi asociado a este spray y el tensor de la curvatura de la conexión Levi-Civita. Con estas observaciones, a través de la forma que lleva la segunda variación calculada anteriormente, se ha reencontrado, tal como en el caso de la Geometría Riemnniana, la relación que hay entre las secciones de Jacobi y los problemas de minimización de la energía. En final, hemos definido el concepto de puntos conjugados y hemos demostrado que si a largo de una curva integral del spray geodésico no hay puntos conjugados, entonces esta minimiza la funcional energía del sistema cuyas soluciones son dadas de este mismo spray. En la parte relativa a las aplicaciones físicas nos hemos centrado nuestra atención sobre el teorema de virial, mostrando que admite una generalización al marco de algebroides de Lie. El teorema de virial para una función virial,-una función acotada en un intervalo de tiempo-, afirma que su promedio sobre un tal intervalo es cero. En casos particulares, como consecuencia, en el teorema de virial aparecen relaciones entre los promedios temporales de cantidades, como, por ejemplo, de la energía cinética del sistema con la de la energía potencial del sistema. Originalmente introducido de Clausius en el campo de la mecánica clásica estadística, el teorema de virial se ha mostrado de gran utilidad también en otras distintas ramas de la física. Tiene una amplia aplicabilidad en sistemas dinámicos y termodinámicos, sistemas con velocidad dependiente de fuerzas y en sistemas viscosos. Aunque el teorema de virial ofrece menos información que las propias soluciones de las ecuaciones de movimiento, es mas simple de aplicar y puede ofrecer información sobre sistemas cuyo análisis completo puede ser complicado. Se ha probado recientemente que los teoremas de tipo virial son válidos también para espacios de configuración distintos al espacio real n-dimensional. Fue estudiado haciendo uso del formalismo simpléctico tanto en el caso Hamiltoniano como en el Lagrangiano. En la parte de aplicaciones en física, hemos comenzado con el formalismo Lagrangiano, y escrito intrínsecamente y en coordinadas locales el teorema de virial para un sistema Lagrangiano de tipo mecánico en una variedad de Riemann. Casos particulares importantes estudiados son el de una función virial afin asociada con un campo vectorial en la variedad de configuración, los de funciones viriales asociadas con campos Killing, homotéticos, y conformes Killing. Los campos vectoriales conformes de Killing y en particular los campos vectoriales homoteticos han sido relevantes en muchos problemas en física y particularmente en la geometría espacio-tiempo. Cada uno de estos casos particulares ha sido ilustrado por medio de un ejemplo. Después hemos estudiado en el marco geométrico del teorema de virial en términos de cuasi velocidades en el caso Lagrangiano dando así una interpretación geométrica del formalismo de Boltzmann del teorema de virial, trasladable en cuasi-momenta al caso Hamiltoniano, dando así una interpretación geométrica del teorema de virial en el formalismo de Poincaré. Esto nos ha preparado el camino para proponer una generalización del teorema de virial para sistemas mecánicos en Lie algebroides, usando los métodos geométricos de la mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana en la prologación de un algebroide de Lie en el caso Lagrangiano, respectivo de su dual en el caso Hamiltonianao, con respecto al Lie algebroide inicial, dos casos particulares de algebroides de Lie simplécticos. Esta nueva generalización del teorema del virial y en particular el caso de la formulación en términos de cuasi-velocidades nos permite utilizarlo para sistemas mecánicos con ligaduras no holónomas. El oscilador armónico noholonómico, el trineo de Chapygin, y el sistema de Suslov, son ejemplos que hemos usado para ilustrar la teoría de los sistemas no holónomos.The main purpose of our work is to present applications of the Lie algebroid structure in both mathematical and physical context. In the first chapter we have introduced the notion of Lie algebroid, presenting a number of examples, and we have presented some useful properties that we used later on. One of our principal results in the mathematical part was to give a generalization of the notion of Jacobi fields corresponding to sode on manifolds and on Lie algebroids. We have done that considering a new take on a first order variational equation on a manifold. We also generalized the Jacobi equation for this generalized cases of Jacobi fields associated to sode. For that we had to generalize the non-linear connection and the Jacobi endomorphism to the context of Lie algebroid. We used this theory in the particular instance of a geodesic spray on a Riemannian Lie algebroid. For this case we have shown that an integral curve of it has no conjugate points along it if and only if it minimizes the energy functional of the system whose solution are given by the geodesic spray. To exemplify the theorem we considered the space of skew-symmetric matrices of dimension 3 who has a Lie algebroid structure. In Chapter 4, for the physical counterpart, we analyzed the virial theorem in the first place for mechanical systems and nonholonomic systems on the tangent bundle, and afterwards, for unconstrained and nonholonomic systems on Lie algebroids. We could prove that a virial like theorem holds for systems on Lie algebroids, fact that will allow us to obtain information about the time average of the action of the dynamical section upon the virial function for more systems than before due to the wide range of systems that can be described with the help of a Lie algebroid structure. Also in this chapter we have presented in detail instances of this theorem through some examples. We find interesting for further investigation to see if the minimizing theorem presented here takes place for any Lagrangian, not necessarily a Riemannian one and for the other topology. Precisely see in what conditions the result holds when we look for the geodesic to be a strong minimum for the energy functional

Superintegrable systems on 3-dimensional curved spaces: Eisenhart formalism and separability

Producción CientíficaThe Eisenhart geometric formalism, which transforms an Euclidean natural Hamiltonian H = T +V into a geodesic Hamiltonian T with one additional degree of freedom, is applied to the four families of quadratically superintegrable systems with multiple separability in the Euclidean plane. Firstly, the separability and superintegrability of such four geodesic Hamiltonians T_r (r = a, b, c, d) in a three-dimensional curved space are studied and then these four systems are modified with the addition of a potential Ur leading to H_r = T_r +U_r. Secondly, we study the superintegrability of the four Hamiltonians tilde{H}_r = H_r/μ_r, where μ_r is a certain position-dependent mass, that enjoys the same separability as the original system H_r. All the Hamiltonians here studied describe superintegrable systems on non-Euclidean three-dimensional manifolds with a broken spherically symmetry

Sistemas cuánticos abiertos: descripción geométrica, dinámica y control

El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones.El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas.Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada.Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición.El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física.A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad.Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas distribuciones y analiza su límite termodinámico.<br /

A new look at the Feynman ‘hodograph’ approach to the Kepler first law

Producción CientíficaHodographs for the Kepler problem are circles. This fact, known for almost two centuries, still provides the simplest path to derive the Kepler first law. Through Feynman's 'lost lecture', this derivation has now reached a wider audience. Here we look again at Feynman's approach to this problem, as well as the recently suggested modification by van Haandel and Heckman (vHH), with two aims in mind, both of which extend the scope of the approach. First we review the geometric constructions of the Feynman and vHH approaches (that prove the existence of elliptic orbits without making use of integral calculus or differential equations) and then extend the geometric approach to also cover the hyperbolic orbits (corresponding to $E\gt 0$). In the second part we analyse the properties of the director circles of the conics, which are used to simplify the approach, and we relate with the properties of the hodographs and Laplace–Runge–Lenz vector the constant of motion specific to the Kepler problem. Finally, we briefly discuss the generalisation of the geometric method to the Kepler problem in configuration spaces of constant curvature, i.e. in the sphere and the hyperbolic plane.Física Teórica, Atómica y ÓpticaMinisterio de Educación, Cultura y Deporte (project MTM-2012–33575)Gobierno de Aragón (project DGA E24/1)Ministerio de Economía, Industria y Competitividad (project MTM2014–57129

Formalismo Geométrico de la Mecánica Cuántica. Integradores Unitarios.

En este trabajo formulamos geométricamente la mecánica cuántica en términos de variedades de Kähler. Esto nos ayuda a identificar el grupo de transformaciones de la mecánica cuántica con el grupo unitario. A partir de este grupo de Lie, deducimos de manera natural la evolución dinámica de un sistema cuántica, y estudiamos integradores numéricos que preservan la estructura del grupo unitario. Por último, mostramos las ventajas usar estos métodos unitarios aplicándolos a un modelo sencillo de interacción luz-materia

Formulación simpléctica de la Mecánica Cuántica

A pesar de que la mecánica cuántica suele ser formulada de una forma algebraica, una formulación geométrica de la misma ha sido desarrollada desde los años 70. Nuestro objetivo en este trabajo será explicar como realizar esta "geometrización" en términos de los observables y aplicarla a la contracción de la estructuras subyacentes de los sistemas cuánticos abiertos. Por un lado, con el fin de reformular la mecánica cuántica, necesitaremos identificar el aparato matemático mínimo necesario. En nuestro caso, los principales objetos de la formulación serán el espacio de observables y el espacio de estados, vistos como funcionales sobre los anteriores. De este modo, en el primer capítulo identificaremos estos ingredientes, entonces estudiaremos sus estructuras matemáticas subyacentes y finalmente las traduciremos al lenguaje geométrico. Con este fin, definiremos un par de tensores que codifican la estructura de álgebra de Lie y de Jordan, existentes en el espacio de observables. Finalmente, al final del capítulo explicaremos como calcular el campo vectorial asociado con la dinámica sobre el espacio de estados, dado en el caso de sistemas cerrados por la ecuación de von Neumann. Sin embargo, debido a la interacción no despreciable existente entre un sistema cuántico real y su entorno, el sistema perderá algunas de sus características cuánticas, para finalmente mostrar un comportamiento un tanto "clásico", donde los observables que antes no conmutaban empiezan a hacerlo. Este tipo de sistemas, conocidos como sistemas cuánticos abiertos, serán la razón de este trabajo. Por tanto, estudiaremos cómo el álgebra de observables cambia bajo esta evolución. Como dicha evolución no es unitaria, haremos uso del concepto de contracción de álgebras. Además, también nos enfrentaremos con el efecto Zenón cuántico. Este efecto, que ha sido desarrollado en los últimos cuarenta años, podría ser útil en varios campos tales como: el control de la decoherencia en computación cuántica, para reducir la dosis en las tomografías por reducción de neutrones, como preservación eficiente de la polarización de espín en gases etc. Debido a este efecto, uno podría proteger un cierto estado cuántico midiendo el sistema cuántico en estudio de manera continuada. Nuestra sensación, es que este fenómeno puede ser explicado haciendo uso del formalismo geométrico de la mecánica cuántica y de la teoría de contracciones

Hamilton-Jacobi theory and the evolution operator

We present a new setting of the geometric Hamilton-Jacobi theory by using the so-called time-evolution operator K. This new approach unifies both the Lagrangian and the Hamiltonian formulation of the problem developed in [7], and can be applied to the case of singular Lagrangian dynamical systems.Postprint (published version

Aplicaciones de la formulación geométrica de la Mecánica Cuántica. Evolución Markoviana en sistemas cuánticos abiertos

En este trabajo, vamos a desarrollar un caso de dinámica perteneciente a lo que se conoce como sistemas cuánticos Markovianos . Tales sistemas son el resultado de aplicar una cierta hipótesis de simplificación sobre otro tipo de sistemas, los sistemas cuánticos abiertos . Nuestro objetivo será introducir la teoría general que gobierna estos sistemas abiertos, para lo cual recordaremos algunos de los resultados más importantes acerca de los bien conocidos sistemas cerrados. Tras ello introduciremos la definición de sistema cuántico abierto y generalizaremos a ellos tales resultados. Por último, introduciremos la idea de aplicación dinámica universal y la aproximación Markoviana. Traduciremos estos resultados a lenguaje geométrico y realizaremos como aplicación un estudio del sistema de 3 niveles. Finalmente, estudiaremos estudiaremos en este contexto el problema de control cuántico conocido como enfriamiento por láser

Hamilton-Jacobi theory and the evolution operator

We present a new setting of the geometric Hamilton-Jacobi theory by using the so-called time-evolution operator K. This new approach unifies both the Lagrangian and the Hamiltonian formulation of the problem developed in [7], and can be applied to the case of singular Lagrangian dynamical systems

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