Effect of magnetic field on electron spectrum in spherical nano-structures

The effect of a magnetic field on the energy spectrum and on the wave functions of an electron in spherical nano-structures such as single quantum dot and spherical layer is investigated. It is shown that the magnetic field removes the spectrum degeneration with respect to the magnetic quantum number. An increasing magnetic field induction entails a monotonous character of electron energy for the states with $m \geqslant 0$ and a non-monotonous one for the states with $m<0$. The electron wave functions of the ground state and several excited states are studied considering the effect of the magnetic field. It is shown that $1s$ and $1p$ states are degenerated in the spherical layer driven by a strong magnetic field. In the limit case, a series of size-quantized levels produce the Landau levels which are typical of bulk crystals.Comment: 8 pages, 4 figure

Khintchine-type theorems on manifolds: the convergence case for standard and multiplicative versions

An analogue of the convergence part of the Khintchine-Groshev theorem, as well as its multiplicative version, is proved for nondegenerate smooth submanifolds in $\mathbb{R}^n$. The proof combines methods from metric number theory with a new approach involving the geometry of lattices in Euclidean spaces.Comment: 27 page

Lower bounds for the number of integer polynomials with given order of discriminants.

In the paper we obtain the lower bound for the number of polynomials with the absolute value of their discriminants less than arbitrary chosen value

Вплив магнітного поля на енергетичний спектр та локалізацію електрона у багатошарових сферичних наноструктурах

The effect of magnetic field on electron energy spectrum, wave functions and probability densities in multilayered spherical quantum-dot-quantum-well (QDQW) CdSe/ZnS/CdSe/ZnS is studied in order to clear the question if the quasi-particle can tunnel through potential barrier under the influence of the external field. Computations are performed in the framework of the effective mass approximation and rectangular potential barriers model. It is used the method of the wave functions expansion over the complete basis of functions obtained as an exact solutions of the Schrodinger equation for the electron in QDQW without the magnetic field. It is shown that magnetic field takes off the spectrum degeneration with respect to the magnetic quantum number and deforms electron wave functions. The field stronger effects on the spherically-symmetric states, especially if the electron is localized in outer potential well. It is theoretically confirmed that under the influence of magnetic field the quasi-particle can essentially change its location tunneling through nanoscale potential barrier. That phenomenon would appear in optical properties of nanostructure.Досліджено вплив магнітного поля на енергетичний спектр та локалізацію електрона в багатошаровій сферичній квантовій точці на прикладі наносистеми CdSe/ZnS/CdSe/ZnS. Розрахунки виконані в рамках наближення ефективних мас та моделі прямокутних потенціальних бар’єрів методом розкладу хвильових функцій квазічастинки за повним набором хвильових функцій, отриманих як точний розв’язок рівняння Шредінгера для електрона в наносистемі за відсутності магнітного поля. Показано, що магнітне поле знімає виродження енергетичного спектра за магнітним квантовим числом та деформує хвильові функції електрона. Причому, вплив на сферично-симетричні стани квазічастинки найбільший, особливо якщо електрон локалізований у зовнішній потенціальній ямі. Показано, що під впливом магнітного поля, квазічастинка може суттєво змінювати свою локалізацію внаслідок тунелювання крізь малопотужний потенціальний бар’єр, що розділяє потенціальні ями

РЕГУЛЯНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ В КРУГАХ МАЛОГО РАДИУСА

For any sufficiently large positive integer Q≥Q0(n)we prove that there exist complex circles K1, K2 є C of radii r1 and r2, max(r1, r2)&lt;c1(n)Q -1/4 , c1&gt;c01(n), containing no algebraic numbers αєK1, βєK2 with heights bounded by Q, max(H(α), H(β))≤Q. We also show that if the radii of the circles K1 and K2 obey the condition min(r1, r2) &gt;c2 (n)Q -1/4, c2&gt;c02(n), then the number of algebraic numbers lying in these circles is bounded from below by c3(n)Q5r12r22.Полученные в сообщении результаты связаны с распределением алгебраических чисел большой высоты QєN в кругах малых радиусов ri=Q−γ , γ≥0 В работе доказано, что при любом Q≥Q0(n) в C существуют круги K1и K2 радиусов r1 и r2, max(r1, r2)&lt;c1(n)Q -1/4 , c1&gt;c01(n), в которых нет алгебраических чисел αєK1, βєK2, max(H(α), H(β))≤Q. Если же радиусы кругов удовлетворяют условию min(r1, r2) &gt;c2 (n)Q -1/4, c2&gt;c02(n), то количество алгебраических чисел в кругах K1 и K2 не менее, чем c3(n)Q5r12r22