Linear Transformations Between Colorings in Chordal Graphs

Let k and d be such that k >= d+2. Consider two k-colorings of a d-degenerate graph G. Can we transform one into the other by recoloring one vertex at each step while maintaining a proper coloring at any step? Cereceda et al. answered that question in the affirmative, and exhibited a recolouring sequence of exponential length. If k=d+2, we know that there exists graphs for which a quadratic number of recolorings is needed. And when k=2d+2, there always exists a linear transformation. In this paper, we prove that, as long as k >= d+4, there exists a transformation of length at most f(Delta) * n between any pair of k-colorings of chordal graphs (where Delta denotes the maximum degree of the graph). The proof is constructive and provides a linear time algorithm that, given two k-colorings c_1,c_2 computes a linear transformation between c_1 and c_2

Recoloring graphs of treewidth 2

Two (proper) colorings of a graph are adjacent if they differ on exactly one vertex. Jerrum proved that any $(d + 2)$-coloring of any d-degenerate graph can be transformed into any other via a sequence of adjacent colorings. A result of Bonamy et al. ensures that a shortest transformation can have a quadratic length even for $d = 1$. Bousquet and Perarnau proved that a linear transformation exists for between $(2d + 2)$-colorings. It is open to determine if this bound can be reduced. In this note, we prove that it can be reduced for graphs of treewidth 2, which are 2-degenerate. There exists a linear transformation between 5-colorings. It completes the picture for graphs of treewidth 2 since there exist graphs of treewidth 2 such a linear transformation between 4-colorings does not exist

Minimal dominating sets enumeration with FPT-delay parameterized by the degeneracy and maximum degree

At STOC 2002, Eiter, Gottlob, and Makino presented a technique called ordered generation that yields an $n^{O(d)}$-delay algorithm listing all minimal transversals of an $n$-vertex hypergraph of degeneracy $d$. Recently at IWOCA 2019, Conte, Kant\'e, Marino, and Uno asked whether this XP-delay algorithm parameterized by $d$ could be made FPT-delay parameterized by $d$ and the maximum degree $\Delta$, i.e., an algorithm with delay $f(d,\Delta)\cdot n^{O(1)}$ for some computable function $f$. Moreover, as a first step toward answering that question, they note that the same delay is open for the intimately related problem of listing all minimal dominating sets in graphs. In this paper, we answer the latter question in the affirmative.Comment: 18 pages, 2 figure

Galactic Token Sliding

International audienc

A note on deterministic zombies

"Zombies and Survivor" is a variant of the well-studied game of "Cops and Robber" where the zombies (cops) can only move closer to the survivor (robber). We consider the deterministic version of the game where a zombie can choose their path if multiple options are available. The zombie number, like the cop number, of a graph is the minimum number of zombies, or cops, required to capture the survivor. In this short note, we solve a question by Fitzpatrick et al., proving that the zombie number of the Cartesian product of two graphs is at most the sum of their zombie numbers. We also give a simple graph family with cop number $2$ and an arbitrarily large zombie number.Comment: 4 page

PACE Solver Description: ?Solver - Heuristic Track

This document describes our heuristic Cluster Editing solver, ?Solver, which got the third place in the 2021 PACE Challenge. We present the local search and kernelization techniques for Cluster Editing that are implemented in the solver

PACE Solver Description: PaSTEC - PAths, Stars and Twins to Edit Towards Clusters

This document describes our exact Cluster Editing solver, PaSTEC, which got the third place in the 2021 PACE Challenge

Combinatorial and Algorithmic aspects of Reconfiguration

Un problème de reconfiguration combinatoire consiste à trouver une transformation étape par étape entre deux solutions réalisables d'un problème d'optimisation, appelé problème source, de telle sorte que toutes les solutions intermédiaires soient également réalisables. Chaque étape de la transformation consiste à appliquer une modification atomique sur la solution courante. Une telle modification est appelée opération de reconfiguration.Le graphe de reconfiguration est le graphe dont les sommets sont les solutions réalisables du problème source, et tel que deux solutions sont adjacentes si et seulement si l'une peut être obtenue à partir de l'autre en appliquant exactement une opération de reconfiguration.Dans cette thèse, nous étudions deux questions fondamentales en reconfiguration. La première est la question de l’accessibilité : étant donné une solution initiale réalisable, une solution cible réalisable, et une opération de reconfiguration, est-il possible de transformer la solution initiale en la solution cible en appliquant successivement l'opération de reconfiguration donnée, et de telle sorte que chaque solution intermédiaire soit également réalisable ? De manière équivalente, existe-t-il un chemin entre la solution initiale et la solution cible dans le graphe de reconfiguration? On dit qu’une telle transformation est valide.La deuxième question que nous étudions concerne le diamètre du graphe de reconfiguration : Supposons que le graphe de reconfiguration soit connecté, en d'autres termes qu'il existe une transformation valide entre deux solutions réalisables quelconques du problème source. Quel est le diamètre du graphe de reconfiguration ? De manière équivalente, quel est le nombre maximum d'opérations de reconfiguration à appliquer pour transformer une solution en une autre ?Dans cette thèse, nous nous concentrons sur les problèmes de reconfiguration sur les graphes. Nous étudions d'abord le problème de recoloration de graphe, dans lequel on considère un graphe et des colorations propres de ce graphe, et où l'opération de reconfiguration consiste à modifier la couleur d'un sommet. Le nombre de couleurs qui peuvent être utilisées dans une transformation est limité. Nous nous concentrons sur la recherche de transformations de taille linéaire en la taille du graphe donné. Nous considérons en particulier les graphes chordaux et les graphes de largeur arborescente deux, et améliorons les meilleures bornes connues sur le nombre de couleurs nécessaires pour obtenir de telles transformations dans ces graphes.Nous considérons ensuite problème de reconfiguration d'ensembles indépendants. Un ensemble indépendant est vu comme un ensemble de jetons qui sont placés sur les sommets de l’indépendant. Nous considérons deux opérations de reconfiguration. La première est l'opération de « token jumping » : un jeton peut être déplacé n'importe où sur le graphe à chaque étape. La seconde est l'opération de « token sliding »: un jeton ne peut se déplacer que vers un voisin du sommet sur lequel il se trouve.Nous nous concentrons sur la complexité du problème d’accessibilité défini par ces opérations. Nous prouvons d'abord que le problème est PSPACE-complet sur les graphes H-free pour les deux opérations, à moins que H n'appartienne à un ensemble fini de graphes mathcal{H} que nous décrivons, et nous étudions la complexité du problème sur les graphes H-free pour un certain H dans mathcal{H}. Nous étudions ensuite l'impact de l’épaisseur des graphes sur la complexité paramétrée du problème pour les deux opérations, et donnons une limite précise entre tractabilité et intractabilité dans les graphes bipartis et des sous-classes de ces graphes. Nous introduisons ensuite un nouveau modèle que nous appelons « galactic token sliding » que nous utilisons pour montrer que le problème d’accessibilité avec token sliding est FPT paramétré par la taille des ensembles indépendants sur les graphes de degré borné.Combinatorial reconfiguration problems consist in finding step-by-step transformations between two feasible solutions of an optimization problem, called the source problem, in such a way that all intermediate solutions are also feasible. Each step of the transformation consists in applying an atomic modification of the current solution. Such a modification is called a reconfiguration operation. Reconfiguration problems model dynamic situations where a given solution already in place has to be modified for a more desirable one while maintaining some particular properties throughout the transformation.Given a source problem and a reconfiguration operation we can define the reconfiguration graph as follows: it is the graph which vertex set is the set of all feasible solutions of the source problem, and such that two solutions are adjacent if and only if one can be obtained from the other by applying exactly one reconfiguration operation.In this thesis, we study two fundamental questions in reconfiguration. The first one is the reachability question: given an initial feasible solution of a problem, a target feasible solution of the same problem, and a reconfiguration operation, is it possible to transform the initial one into the target one by successively applying the given reconfiguration operation, and such that each intermediate solution is also feasible? Equivalently speaking, is there a path between the initial solution and the target solution in the corresponding reconfiguration graph? Such a transformation is called a valid transformation.The second question we study concerns the diameter of the reconfiguration graph: Suppose that the reconfiguration graph is connected, in other words that there exists a valid transformation between any two feasible solutions of the source problem. What is the diameter of the reconfiguration graph? Equivalently speaking, what is the maximum number of reconfiguration operation to apply to transform any solution into any other? In this thesis, we focus on reconfiguration problems on graphs. We first investigate the graph recoloring problem. In this problem, we consider a graph and proper colorings of this graph, and the reconfiguration operation consists in modifying the color of one vertex. The number of colors that can be used in a transformation is limited. We focus on the question of finding transformations of linear size in the order of the input graph. We consider in particular chordal graphs and graphs of tree width two, and improve the best known bounds on the number of colors needed to obtain such transformations.The second part of this thesis is devoted to the independent set reconfiguration problem. We see an independent set as a number of tokens that are placed on the vertices of the independent set. We consider two reconfiguration operations. First, the token jumping operation: a token can be moved anywhere on the graph at each step. The second one is the sliding operation: a token can only move to a neighbor of the vertex it lies on.We focus on the complexity of the reachability problem defined by these operations. We first prove that the problem is PSPACE-complete on H-free graphs for both operations, unless H belongs to a finite set of graphs mathcal{H} that we describe, and investigate the complexity of the problem on H-free graph for some H in mathcal{H}. We then study the impact of girth on the parameterized complexity of the problem for both operations, and give a precise limit between tractability and intractability in classes related to bipartite graph for the token sliding operation. We then introduce a new model of independent set reconfiguration which we call galactic token sliding as a tool for parameterized reductions and use it to show that the token sliding reachability problem is fixed-parameter tractable when parameterized by the size of the independent sets on graphs of bounded-degree

Aspects combinatoires et algorithmiques de la Reconfiguration

Combinatorial reconfiguration problems consist in finding step-by-step transformations between two feasible solutions of an optimization problem, called the source problem, in such a way that all intermediate solutions are also feasible. Each step of the transformation consists in applying an atomic modification of the current solution. Such a modification is called a reconfiguration operation. Reconfiguration problems model dynamic situations where a given solution already in place has to be modified for a more desirable one while maintaining some particular properties throughout the transformation.Given a source problem and a reconfiguration operation we can define the reconfiguration graph as follows: it is the graph which vertex set is the set of all feasible solutions of the source problem, and such that two solutions are adjacent if and only if one can be obtained from the other by applying exactly one reconfiguration operation.In this thesis, we study two fundamental questions in reconfiguration. The first one is the reachability question: given an initial feasible solution of a problem, a target feasible solution of the same problem, and a reconfiguration operation, is it possible to transform the initial one into the target one by successively applying the given reconfiguration operation, and such that each intermediate solution is also feasible? Equivalently speaking, is there a path between the initial solution and the target solution in the corresponding reconfiguration graph? Such a transformation is called a valid transformation.The second question we study concerns the diameter of the reconfiguration graph: Suppose that the reconfiguration graph is connected, in other words that there exists a valid transformation between any two feasible solutions of the source problem. What is the diameter of the reconfiguration graph? Equivalently speaking, what is the maximum number of reconfiguration operation to apply to transform any solution into any other? In this thesis, we focus on reconfiguration problems on graphs. We first investigate the graph recoloring problem. In this problem, we consider a graph and proper colorings of this graph, and the reconfiguration operation consists in modifying the color of one vertex. The number of colors that can be used in a transformation is limited. We focus on the question of finding transformations of linear size in the order of the input graph. We consider in particular chordal graphs and graphs of tree width two, and improve the best known bounds on the number of colors needed to obtain such transformations.The second part of this thesis is devoted to the independent set reconfiguration problem. We see an independent set as a number of tokens that are placed on the vertices of the independent set. We consider two reconfiguration operations. First, the token jumping operation: a token can be moved anywhere on the graph at each step. The second one is the sliding operation: a token can only move to a neighbor of the vertex it lies on.We focus on the complexity of the reachability problem defined by these operations. We first prove that the problem is PSPACE-complete on H-free graphs for both operations, unless H belongs to a finite set of graphs mathcal{H} that we describe, and investigate the complexity of the problem on H-free graph for some H in mathcal{H}. We then study the impact of girth on the parameterized complexity of the problem for both operations, and give a precise limit between tractability and intractability in classes related to bipartite graph for the token sliding operation. We then introduce a new model of independent set reconfiguration which we call galactic token sliding as a tool for parameterized reductions and use it to show that the token sliding reachability problem is fixed-parameter tractable when parameterized by the size of the independent sets on graphs of bounded-degree.Un problème de reconfiguration combinatoire consiste à trouver une transformation étape par étape entre deux solutions réalisables d'un problème d'optimisation, appelé problème source, de telle sorte que toutes les solutions intermédiaires soient également réalisables. Chaque étape de la transformation consiste à appliquer une modification atomique sur la solution courante. Une telle modification est appelée opération de reconfiguration.Le graphe de reconfiguration est le graphe dont les sommets sont les solutions réalisables du problème source, et tel que deux solutions sont adjacentes si et seulement si l'une peut être obtenue à partir de l'autre en appliquant exactement une opération de reconfiguration.Dans cette thèse, nous étudions deux questions fondamentales en reconfiguration. La première est la question de l’accessibilité : étant donné une solution initiale réalisable, une solution cible réalisable, et une opération de reconfiguration, est-il possible de transformer la solution initiale en la solution cible en appliquant successivement l'opération de reconfiguration donnée, et de telle sorte que chaque solution intermédiaire soit également réalisable ? De manière équivalente, existe-t-il un chemin entre la solution initiale et la solution cible dans le graphe de reconfiguration? On dit qu’une telle transformation est valide.La deuxième question que nous étudions concerne le diamètre du graphe de reconfiguration : Supposons que le graphe de reconfiguration soit connecté, en d'autres termes qu'il existe une transformation valide entre deux solutions réalisables quelconques du problème source. Quel est le diamètre du graphe de reconfiguration ? De manière équivalente, quel est le nombre maximum d'opérations de reconfiguration à appliquer pour transformer une solution en une autre ?Dans cette thèse, nous nous concentrons sur les problèmes de reconfiguration sur les graphes. Nous étudions d'abord le problème de recoloration de graphe, dans lequel on considère un graphe et des colorations propres de ce graphe, et où l'opération de reconfiguration consiste à modifier la couleur d'un sommet. Le nombre de couleurs qui peuvent être utilisées dans une transformation est limité. Nous nous concentrons sur la recherche de transformations de taille linéaire en la taille du graphe donné. Nous considérons en particulier les graphes chordaux et les graphes de largeur arborescente deux, et améliorons les meilleures bornes connues sur le nombre de couleurs nécessaires pour obtenir de telles transformations dans ces graphes.Nous considérons ensuite problème de reconfiguration d'ensembles indépendants. Un ensemble indépendant est vu comme un ensemble de jetons qui sont placés sur les sommets de l’indépendant. Nous considérons deux opérations de reconfiguration. La première est l'opération de « token jumping » : un jeton peut être déplacé n'importe où sur le graphe à chaque étape. La seconde est l'opération de « token sliding »: un jeton ne peut se déplacer que vers un voisin du sommet sur lequel il se trouve.Nous nous concentrons sur la complexité du problème d’accessibilité défini par ces opérations. Nous prouvons d'abord que le problème est PSPACE-complet sur les graphes H-free pour les deux opérations, à moins que H n'appartienne à un ensemble fini de graphes mathcal{H} que nous décrivons, et nous étudions la complexité du problème sur les graphes H-free pour un certain H dans mathcal{H}. Nous étudions ensuite l'impact de l’épaisseur des graphes sur la complexité paramétrée du problème pour les deux opérations, et donnons une limite précise entre tractabilité et intractabilité dans les graphes bipartis et des sous-classes de ces graphes. Nous introduisons ensuite un nouveau modèle que nous appelons « galactic token sliding » que nous utilisons pour montrer que le problème d’accessibilité avec token sliding est FPT paramétré par la taille des ensembles indépendants sur les graphes de degré borné

Aspects combinatoires et algorithmiques de la Reconfiguration

Combinatorial reconfiguration problems consist in finding step-by-step transformations between two feasible solutions of an optimization problem, called the source problem, in such a way that all intermediate solutions are also feasible. Each step of the transformation consists in applying an atomic modification of the current solution. Such a modification is called a reconfiguration operation. Reconfiguration problems model dynamic situations where a given solution already in place has to be modified for a more desirable one while maintaining some particular properties throughout the transformation.Given a source problem and a reconfiguration operation we can define the reconfiguration graph as follows: it is the graph which vertex set is the set of all feasible solutions of the source problem, and such that two solutions are adjacent if and only if one can be obtained from the other by applying exactly one reconfiguration operation.In this thesis, we study two fundamental questions in reconfiguration. The first one is the reachability question: given an initial feasible solution of a problem, a target feasible solution of the same problem, and a reconfiguration operation, is it possible to transform the initial one into the target one by successively applying the given reconfiguration operation, and such that each intermediate solution is also feasible? Equivalently speaking, is there a path between the initial solution and the target solution in the corresponding reconfiguration graph? Such a transformation is called a valid transformation.The second question we study concerns the diameter of the reconfiguration graph: Suppose that the reconfiguration graph is connected, in other words that there exists a valid transformation between any two feasible solutions of the source problem. What is the diameter of the reconfiguration graph? Equivalently speaking, what is the maximum number of reconfiguration operation to apply to transform any solution into any other? In this thesis, we focus on reconfiguration problems on graphs. We first investigate the graph recoloring problem. In this problem, we consider a graph and proper colorings of this graph, and the reconfiguration operation consists in modifying the color of one vertex. The number of colors that can be used in a transformation is limited. We focus on the question of finding transformations of linear size in the order of the input graph. We consider in particular chordal graphs and graphs of tree width two, and improve the best known bounds on the number of colors needed to obtain such transformations.The second part of this thesis is devoted to the independent set reconfiguration problem. We see an independent set as a number of tokens that are placed on the vertices of the independent set. We consider two reconfiguration operations. First, the token jumping operation: a token can be moved anywhere on the graph at each step. The second one is the sliding operation: a token can only move to a neighbor of the vertex it lies on.We focus on the complexity of the reachability problem defined by these operations. We first prove that the problem is PSPACE-complete on H-free graphs for both operations, unless H belongs to a finite set of graphs mathcal{H} that we describe, and investigate the complexity of the problem on H-free graph for some H in mathcal{H}. We then study the impact of girth on the parameterized complexity of the problem for both operations, and give a precise limit between tractability and intractability in classes related to bipartite graph for the token sliding operation. We then introduce a new model of independent set reconfiguration which we call galactic token sliding as a tool for parameterized reductions and use it to show that the token sliding reachability problem is fixed-parameter tractable when parameterized by the size of the independent sets on graphs of bounded-degree.Un problème de reconfiguration combinatoire consiste à trouver une transformation étape par étape entre deux solutions réalisables d'un problème d'optimisation, appelé problème source, de telle sorte que toutes les solutions intermédiaires soient également réalisables. Chaque étape de la transformation consiste à appliquer une modification atomique sur la solution courante. Une telle modification est appelée opération de reconfiguration.Le graphe de reconfiguration est le graphe dont les sommets sont les solutions réalisables du problème source, et tel que deux solutions sont adjacentes si et seulement si l'une peut être obtenue à partir de l'autre en appliquant exactement une opération de reconfiguration.Dans cette thèse, nous étudions deux questions fondamentales en reconfiguration. La première est la question de l’accessibilité : étant donné une solution initiale réalisable, une solution cible réalisable, et une opération de reconfiguration, est-il possible de transformer la solution initiale en la solution cible en appliquant successivement l'opération de reconfiguration donnée, et de telle sorte que chaque solution intermédiaire soit également réalisable ? De manière équivalente, existe-t-il un chemin entre la solution initiale et la solution cible dans le graphe de reconfiguration? On dit qu’une telle transformation est valide.La deuxième question que nous étudions concerne le diamètre du graphe de reconfiguration : Supposons que le graphe de reconfiguration soit connecté, en d'autres termes qu'il existe une transformation valide entre deux solutions réalisables quelconques du problème source. Quel est le diamètre du graphe de reconfiguration ? De manière équivalente, quel est le nombre maximum d'opérations de reconfiguration à appliquer pour transformer une solution en une autre ?Dans cette thèse, nous nous concentrons sur les problèmes de reconfiguration sur les graphes. Nous étudions d'abord le problème de recoloration de graphe, dans lequel on considère un graphe et des colorations propres de ce graphe, et où l'opération de reconfiguration consiste à modifier la couleur d'un sommet. Le nombre de couleurs qui peuvent être utilisées dans une transformation est limité. Nous nous concentrons sur la recherche de transformations de taille linéaire en la taille du graphe donné. Nous considérons en particulier les graphes chordaux et les graphes de largeur arborescente deux, et améliorons les meilleures bornes connues sur le nombre de couleurs nécessaires pour obtenir de telles transformations dans ces graphes.Nous considérons ensuite problème de reconfiguration d'ensembles indépendants. Un ensemble indépendant est vu comme un ensemble de jetons qui sont placés sur les sommets de l’indépendant. Nous considérons deux opérations de reconfiguration. La première est l'opération de « token jumping » : un jeton peut être déplacé n'importe où sur le graphe à chaque étape. La seconde est l'opération de « token sliding »: un jeton ne peut se déplacer que vers un voisin du sommet sur lequel il se trouve.Nous nous concentrons sur la complexité du problème d’accessibilité défini par ces opérations. Nous prouvons d'abord que le problème est PSPACE-complet sur les graphes H-free pour les deux opérations, à moins que H n'appartienne à un ensemble fini de graphes mathcal{H} que nous décrivons, et nous étudions la complexité du problème sur les graphes H-free pour un certain H dans mathcal{H}. Nous étudions ensuite l'impact de l’épaisseur des graphes sur la complexité paramétrée du problème pour les deux opérations, et donnons une limite précise entre tractabilité et intractabilité dans les graphes bipartis et des sous-classes de ces graphes. Nous introduisons ensuite un nouveau modèle que nous appelons « galactic token sliding » que nous utilisons pour montrer que le problème d’accessibilité avec token sliding est FPT paramétré par la taille des ensembles indépendants sur les graphes de degré borné