La Derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje en profesores de matemática de Colombia : la derivada, un concepto a caballo entre la matemática y la física /

Consultable des del TDXTítol obtingut de la portada digitalitzadaEl objetivo de esta investigación ha sido identificar y describir la relación e integración entre el conocimiento del contenido matemático y el conocimiento didáctico del contenido con relación al concepto de derivada de profesores de matemática en ejercicio. En efecto, nos interesa describir la naturaleza y estructura de las formas de conocer el concepto de derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje, en el nivel de bachillerato del sistema educativo colombiano, así como las formas como los profesores interpretan y justifican las situaciones concretas de enseñanza en las que deben actuar, como un punto de partida para entender la práctica profesional del profesor y la generación del conocimiento profesional que nos permita incidir en la formación permanente e inicial del profesorado. En nuestro propósito hemos adaptado las categorías teóricas y analíticas que proporcionan el marco de la Teoría APOE y de los Organizadores del currículo para el estudio de las componentes del conocimiento profesional del profesor de matemática, llegando a la construcción de la descomposición genética del concepto de derivada y a la definición de los niveles de comprensión del esquema de la derivada en las dos dimensiones definidas: gráfica y analítica. Igualmente, partiendo de la necesidad de estructurar y describir la naturaleza situada del conocimiento profesional del profesor y las formas de usarlo en la estructuración de la agenda de enseñanza, nos hemos centrado en la caracterización de las tareas que propone el profesor para introducir y evaluar dicho concepto. El tipo de investigación que se diseñó para tal fin es un estudio de cinco casos. En nuestro propósito de integrar en el análisis del conocimiento del profesor, las dimensiones institucionales y cognitivas, hemos dado un papel importante a la delimitación del contexto. Teniendo en cuenta lo anterior, definimos dos niveles de análisis: análisis macro y análisis micro. El análisis macro de las restricciones institucionales nos permitió describir e interpretar cómo vive el objeto «derivada» en tres de las instituciones que influyen y condicionan, directa o indirectamente, la práctica del profesor: el conocimiento matemático, aspectos de la formación inicial y el diseño curricular. En lo que respecta al análisis micro, que versa sobre la descripción e interpretación de las formas de conocer que tienen los profesores sobre el concepto de derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje, nos ayudó a la detección de un fenómeno didáctico, un problema que se presenta con regularidad y generalidad en el análisis de la derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza aprendizaje en el sistema educativo colombiano. Este fenómeno se produce en la enseñanza del concepto de derivada en Colombia, y se puede definir como la confusión o la no diferenciación entre los macro objetos f '(a) y f '(x) y la falta del tratamiento adecuado de las relaciones y diferencias entre estos. Esto se constata con mayor o menor grado, en todos los libros de textos de matemática de 11º que usan los profesores, puesto que optan por introducir el cociente incremental _y/_x para definir los macro objetos f '(a) y f '(x) dejando de lado la complejidad semiótica importante que implica el paso de estos macro objetos. Igualmente, este fenómeno se evidencia en el conocimiento de los profesores al reproducir los errores y dificultades en la comprensión de estos macro objetos cuando se enfrentan a la resolución y al diseño de tareas matemáticas. Con base en los resultados de los análisis macro, micro y la integración de los dos, propusimos algunas sugerencias para la formación permanente del profesorado que apunten a la solución del fenómeno detectado.The objective of this research has been to identify and describe the relation and integration between the knowledge of the mathematical content and pedagogical content knowledge, with respect to the concept of derivative from in-service teachers of mathematics. We are interested in describing the nature and structure of the ways of knowing the concept of derivative as a mathematical object and as a teaching and learning object, at secondary school level in Colombia, and also the ways teachers interpret and justify the concrete teaching situations in which they have to act. This study will be an starting point to understand the professional practice of teachers and how professional knowledge is generated, which both influence in pre and in- service teachers' education. In this work we have adapted the theoretical and analytical categories from the framework of the APOE theory and the Curriculum Organizers for the study of the components of the professional knowledge of teachers of maths. We have build the genetic decomposition of the concept of derivative and the definition of their levels of comprehension with respect to the two dimensions defined: graphical and analytical. In the same way, beginning with the necessity of structuring and describing the situated nature of teachers' professional knowledge and the ways they used it in the organisation of their teaching, we have focused in the characterisation of the tasks proposed by teachers to introduce and evaluate the derivative concept. The research undertaken to accomplish the mentioned objectives was case studies, fifth in total. Being our purpose to integrate in the analysis of teachers' knowledge the institutional and cognitive dimensions, we have given great importance to delimitate the context. Taking this into account, we define two levels of analysis: macro and micro analysis. The macro analysis of the institutional constraints allowed us to describe and interpret how the concept of derivative lives in three of the institutions that influence and condition, directly or indirectly, teachers' practice: the mathematical knowledge, features of teachers pre-service education and curriculum design. In relation with the Micro analysis, which is about the description and interpretation of the ways of knowing that teachers have with respect to the concept of derivative as a mathematical object and as a teaching and learning object, it helped us to detect a didactical phenomenon, a problem which appears often when analysing the derivative as a mathematical and teaching and learning objective in the Colombian educational system. It can be described as the confusion or no differentiation between the macro objects f '(a) and f '(x), and the lack of adequate treatment of the relations and differences between them. This is shown with more or less relevance in all textbooks of mathematics of 11th grade used by teachers, which choose to introduce _y/_x for defining the macro objects f '(a) y f '(x), avoiding the important semiotic complexity of these macro objects. This phenomenon is also evidenced in the knowledge of teachers, which reproduce the mistakes and difficulties in the comprehension of these macro objects when dealing with the solution and design of mathematical tasks. Based on the results of the macro and micro analysis, and the integration of both, we have elaborated some suggestions for teachers in-service training addressed to the solution of these problematic phenomenon detected

Resolución de problemas : cómo planificar, gestionar y evaluar competencialmente

Este artículo tiene como objetivo mostrar una propuesta para trabajar la resolución de problemas en el aula de primaria desde una perspectiva competencial. La propuesta se estructura en diferentes momentos clave a fin de proporcionar al maestro herramientas y recursos que lo lleven a planificar, gestionar y evaluar competencialmente la resolución de problemas. Se trata de anticipar y desarrollar una actividad matemática que promueva la construcción de significados matemáticos

El cuento para desarrollar procesos matemáticos

Esta experiencia promueve el establecimiento de conexiones para la construcción de conocimiento en el aula de primaria. Las actividades se diseñan a partir de la lectura y la comprensión del cuento El reino de la geometría a fin de desarrollar procesos matemáticos de manera conectada con el desarrollo de competencias artísticas y lingüísticas

Análisis de los niveles de comprensión de los objetos f'(a) y f'(x) en profesores de matemáticas

En este artículo describimos los niveles de comprensión de la relación entre f'(a) y f'(x) de cinco profesores de matemáticas que desarrollaban la asignatura de Matemáticas con alumnos de 16-18 años en diferentes centros educativos de Colombia. La teoría APOE, ampliada con aportaciones semióticas, se utiliza como marco teórico fundamental. Los cinco profesores contestaron a un cuestionario indirecto sobre la comprensión de f'(a) y f'(x) y, posteriormente, fueron entrevistados con viñetas. Los resultados muestran que la comprensión de estos dos macroobjetos, f'(a) y f'(x) puede estar relacionada con la estructura de los esquemas gráfico y algebraico de los mismos, y con los conflictos semióticos asociados.This paper describes the level of understanding of the relation between f'(a) and f'(x) among five Mathematics teachers who were teaching classes to 16-18 year olds in different schools in Colombia. The analysis is based on the APOS framework, in this case with the addition of certain semiotic aspects. The five teachers responded to an indirect questionnaire about their understanding of f'(a) and f'(x), and were subsequently interviewed in relation to a series of vignettes. Results illustrate how the comprehension of these two macro-objects, f'(a) and f'(x), can be related to the structure of both graphic and algebraic schemes and the associated semiotic conflicts

De la realidad al juego simbólico, y del juego simbólico a las matemáticas

Esta experiencia tiene como objetivo principal usar el sistema monetario (el euro) en una situación contextualizada (la tienda escolar). Las actividades que se presentan siguen un ciclo de aprendizaje que permite relacionar la realidad con las matemáticas, utilizando el juego simbólico como herramienta de aprendizaje. La secuencia se enmarca dentro de la semana cultural de la escuela, a lo largo de la cual se proponen diferentes talleres que aprovecharemos para la secuencia

Meaning and Structure of Mathematical Connections in the Classroom

Altres ajuts: acords transformatius de la UABThe making of mathematical connections in the classroom plays a dual role. While many studies highlight the importance of connections for the learning of mathematics, others inform of students' difficulties associated with the making of connections. This study aims to characterise the mathematical connections that arise in habitual classroom practice, using an inductive approach, in the context of introducing integers with pupils aged 12-13. Results show that connections emerge as networks of links resulting from interactions between the teacher and the students. We present a definition of connection, a detailed characterisation of their internal structure as networks of links and a global characterisation which takes into account the role of the connection in the context in which it takes place. The complementarity of the two characterizations allows us to coordinate, from a classroom perspective, existing specific classification proposals for connections with a broader notion of connection used by relevant curricular guidelines. Factors that may determine the complexity of connections and may be related with students' difficulties when dealing with connections in the classroom are also discussed

Mathematical Connections and the Mathematics Teacher's Specialised Knowledge

Altres ajuts: ANID-Chile/2018-72190032This study seeks to explore the relationship between recent findings on mathematical connections and the Mathematics Teacher's Specialised knowledge model. From a qualitative approach, we seek to explore the specialised knowledge mobilised during the establishment of mathematical connections in different contexts. The study takes into consideration the results from previous studies that were conducted with both prospective and in service teachers. The results suggest the need to include the notion of complexity in the mathematical connections defined by the Mathematics Teacher's Specialised knowledge model. Similarly, they suggest that it is possible to find some ambiguities in the use of the model, so it would be enriching to consider the current classification of mathematical connections in order to improve the model as an analytical tool. Finally, the results suggest the need to include mathematical connections as part of the pedagogical content knowledge domain, since the knowledge of this domain could be mobilised during the establishment of mathematical connections

Visualización gráfica y análisis comparativo de la práctica matemática en el aula

El problema de investigación que se aborda en este artículo es la visualización de la práctica del aula de manera que queden resaltados los elementos esenciales de la actividad matemática en el desarrollo temporal de una clase (definiciones, propiedades, procesos matemáticos, etc.). Aportamos un instrumento para este fin, que aplicamos al estudio de los elementos comunes y las diferencias en tres clases realizadas por diferente profesorado en una misma institución, año y nivel escolar cuando enseñan la mediatriz. Los resultados de este estudio permiten inferir, además, aspectos del conocimiento matemático activado por el profesorado participante en su práctica profesional.The research problem addressed in this paper is the visualization of the essential elements of the mathematical activity arising during classroom practice (definitions, properties, mathematical processes, etc.). We provide a tool for this purpose that displays these elements in the form of a graphic, and apply it to the study of the commonalities and differences in three different classes by different teachers in the same institution, year and school level when they teach the bisector. The results permit to infer further aspects of mathematical knowledge in the teaching practice

The understanding of the derivative concept in higher education

The aim of this work was to identify and characterize the levels of development of derivative schema. In order to do so, a questionnaire to 103 university students with previous instruction in Differential Calculus was applied. The questionnaire was composed of three tasks. For the identification of the levels of development of schema and their subsequent characterization, we consider the framework proposed by the APOS theory. In particular, this framework was operationalized through the establishment of 27 variables that allowed for the breakdown of the resolution protocols from the questionnaire into discrete elements. In this way, we obtained a vector associated with each of these variables. The identification of students assigned to each level of development of schema was carried out by a cluster analysis. Subsequently, we performed a statistical analysis of frequencies and implicative, with the 27 variables, which allowed to characterize the levels of development identifie