Gluck twist on a certain family of 2-knots

We show that by performing the Gluck twist along the 2-knot $K^2_{pq}$ derived from two ribbon presentations of the ribbon 1-knot $K(p,q)$ we get the standard 4-sphere $S^4$. In the proof we apply Kirby calculus.Comment: 11 pages, 12 figure

Sima sokaságok topológiai tulajdonságainak vizsgálata = Topological properties of smooth manifolds

(1) Megvizsgáltuk, hogy egy 2k dimenziós sokaságnak a (2k+1) dimenziós euklideszi térbe mutató generikus immerziójánál milyen Euler karakterisztikájú többszöröspont sokaságok keletkeznek. Eredményünk lezárt egy kb. 10 éve megjelent cikkben megkezdett kutatást. Egy T. Ekholmmal közös cikkben kiszámítottuk egzotikus n-dimenziós homotopikus gömbök adott euklideszi térbe mutató immerzióinak csoportját. Ezen eredmény megmagyaráz egy jelenséget Brieskorn egy klasszikus konstrukciójában. Végül egy eljárást találtunk olyan másodlagos obstrukciók vizsgálatára, melyek leképezések bizonyos szingularitásainak eltüntethetőségét akadályozzák meg. (2) Eredményeket értünk el alacsony dimenziós sokaságok topológiájának vizsgálatában. Nevezetesen megvizsgáltuk, hogy milyen differenciáltopológiai tulajdonságok ismerhetők meg a sokaság mérceelméleti invariánsainak ismeretében, illetve hogy adott esetekben ezek az invariánsok hogyan számolhatók ki. E vizsgálatok során (a) egzotikus differenciálható struktúrákat találtunk kis Euler karakterisztikájú négysokaságokon, (b) Ozsváth-Szabó invariánsok segítségével feszes kontakt struktúrákat találtunk olyan háromsokaságokon, melyeken korábban ilyen struktúrák nem voltak ismeretesek. A beszámolási időszakban több nemzetközi konferenciát, workshopot szerveztünk a Rényi Intézetben: 2003-ban ez a Humbolt alapítvány, 2004-ben a Clay Mathematical Institute, 2005-ben az EU TOK támogatását használtuk ezen rendezvények finanszírozására. | (1) We have studied the Euler characteristic of the multiple point manifold of a generic immersion of a 2k dimensional manifold into the (2k+1) dimensional Euclidean space. This result concluded a research initiated about 10 years ago. In a paper with T. Ekholm we computed the immersion groups of exotic n-dimensional spheres into Euclidean spaces. This result provided an explanation for a phenomenon noticed in a classical construction by Brieskorn. Finally, we have developed a method for examining secondary obstructions which obstruct eliminations of certain singularities of maps. (2) We got results in the study of topological properties of low dimensional manifolds. More precisely, we have examined what differential topological consequences can one prove from the knowledge of the gauge theoretic invariants of the manifold, and how to determine these invariants. Throughout these studies (a) we have found exotic smooth structures on 4-manifolds with small Euler characteristic, (b) using contact Ozsváth-Szabó invariants we found tight contact structures on 3-manifolds on which tight structures were unknown. We have organized a number of conferences/workshops/Summer Schools throughout the research period in the Rényi Institute: in 2003 the Humboldt Foundation, in 2004 the Clay Mathematical Institute and in 2005 the EU TOK project provided the necessary financial background for helding these international events

Algebrai szingularitások topológiai tulajdonságai = Topological properties of algebraic singularities

A Rácspont Kohomológia normál felület szingularitások rezoluciós gráfjainak rácspontszerkezetéhez rendelt modulus. Tovább fejlesztettük a Rácspont Kohomológia elméletet olyan egzakt sorok bizonyításával amelyek a Heegaard Floer elméletben jelennek meg. Komplex szingularitások vizsgálatában természetesen vetődik fel az a kérdés, hogy a szingularitások milyen simitásokkal bírnak. Topológiai szempontból különösen érdekesek a racionális homológia diszk (QHD) simitásokkal rendelkező szingularitások. Ezeket osztályoztuk Mohan Bhupallal közös dolgozatunkban abban az esetben ha a szingularitás súlyozott homogén (es igy a rezoluciós gráf csillag alakú). Hasonló, szimplektikus geometriai és kombinatorikus ötletek felhasználásával a simitások egyértelműségét (szimplektikus deformáció erejéig) illetve az ezekből a simitásokból származtatható műtéti eljárás gyakori szimplektikus voltát láttuk be. Továbbá, Popescu Pampu-val bebizonyítottuk Lisca Sejtését ami szerint a ciklikus szingularitasok simitásainak Milnor fibrumai megegyeznek a csomó (lencse tér) Stein betöltéseivel. Ezt az eredményt részlegesen a szendvics szingularitásokra is kiterjesztettük. Az Iguza-Denef-Loeser féle Monodrómia Sejtés a szingularitás elmélet egyik legmisztikusabb sejtése. Veys-szel közösen belláttuk egy kiterjesztett változatát síkgörbék esetére, és normál felületeken értelmezett föggvénycsirákra (amelyek kielégítik a Neumann-Wahl általánosított felcsoport feltételt). | We developed further the theory of Lattice Cohomology associated with the lattice of the resolution graph of normal surface singularities. We prove similar exact sequences which were already established by the modules of Heegaard Floer Theory. It is important to study the smoothings of complex surface singularities. Singularities admitting rational homology disk smoothings are of particular interest. We classified such singularities with Bhupal, provided the singularity is weighted homogeneous (and so its resolution graph is star-shaped). Applying similar ides of symplectic geometry and combinatorics we verified the uniqueness of the smoothings (up to symplectic deformation) and showed that the surgery constructions originated from the existence of these smoothing in many case falls into the symplectic category. Furthermore, with Popescu Pampu, we proved Lisca's Conjecture: the set of different Milnor fibers associated with all the smoothing components of a cyclic quotient singularity coincides with the set of all Stein fillings of the link. This is partially generalized to sandwiched singularities as well. The Monodormy Conjecture of Igusa-Denef-Loeser is one of the most mysterious conjectures of singularity theory. In collaboration with Veys we proved its extended version for plane curves and germs defined on normal surface singularities which satisfy (the generalized) Neumann-Wahl semigroup condition

On the μ invariant of rational surface singularities

We show that for rational surface singularities with odd deter- minant the μ invariant defined by W. Neumann is an obstruction for the link of the singularity to bound a rational homology 4–ball. We identify the μ invariant with the corresponding correction term in Heegaard Floer theory