On the real homotopy type of generalized complex nilmanifolds

We prove that for any $n\geq 4$ there are infinitely many real homotopy types of $2n$-dimensional nilmanifolds admitting generalized complex structures of every type $k$, for $0 \leq k \leq n$. This is in deep contrast to the $6$-dimensional case.Comment: 11 pages; observation added concerning higher dimensions; change of title and abstrac

A family of complex nilmanifolds with infinitely many real homotopy types

We find a one-parameter family of non-isomorphic nilpotent Lie algebras $\mathfrak{g}_a$, with $a \in [0,\infty)$, of real dimension eight with (strongly non-nilpotent) complex structures. By restricting $a$ to take rational values, we arrive at the existence of infinitely many real homotopy types of $8$-dimensional nilmanifolds admitting a complex structure. Moreover, balanced Hermitian metrics and generalized Gauduchon metrics on such nilmanifolds are constructed.Comment: 15 page

Geometry of nilmanifolds with invariant complex structure

In this thesis we focus our attention on a special class of compact manifolds, known as nilmanifolds, and study their complex geometry up to (real) dimension eight. Our main objectives are to construct all invariant complex structures on such spaces, analyze several cohomological aspects in complex dimension 3, and investigate new geometric structures and Hermitian metrics which arise in complex dimension 4. We next give a short description of each chapter. Chapter 1 is introductory. We review the basic concepts that will be used along this work and fix the notation. In Chapter 2 we investigate cohomological properties of 6-dimensional nilmanifolds with invariant complex structure. First, we study the behaviour under holomorphic deformation of some properties related to the d-dbar-lemma condition that can be defined in terms of the Bott-Chern cohomology groups. Then, we focus on the problem of cohomological decomposition, paying particular attention to the real decomposition at the second stage. Chapter 3 is devoted to the problem of constructing invariant complex structures on nilmanifolds of arbitrary dimension 2n. More concretely, we provide an strategy to find any complex structure J on any 2n-dimensional nilpotent Lie algebra without the need of knowing the involved algebras in advance. Indeed, two methods are introduced according to the degree of nilpotency of the complex structure J to be constructed. The combination of these two approaches allows to construct invariant complex structures on nilmanifolds of any even dimension. As an application, we recover the classification of complex structures on nilpotent Lie algebras of dimensions four and six. We also start the study of dimension eight, which is completed in Chapter 4. As a consequence, we parametrize every 8-dimensional nilmanifold endowed with an invariant complex structure. The previous classification result is used in Chapter 5 with the aim of analyzing some geometric structures that do not appear in dimensions 4 and 6. On the one hand, we concentrate on Hermitian metrics, paying attention to the similarities and differences among SKT, astheno-Kähler, and generalized Gauduchon metrics. On the other hand, we study holomorphic symplectic and pseudo-Kähler structures.En esta tesis centramos nuestra atención en una clase especial de variedades compactas, conocidas como nilvariedades, y estudiar su geometría compleja hasta (real) dimensión ocho. Nuestros principales objetivos son la construcción de todas las estructuras complejas invariantes en tales espacios, analizar varios aspectos cohomológicos en dimensión compleja 3 e investigar nuevas estructuras geométricas y las métricas hermitianos que surgen en la dimensión compleja 4. A continuación damos una breve descripción de cada capítulo. El capítulo 1 es introductorio. Se revisan los conceptos básicos que se utilizarán a lo largo de este trabajo y fijan la notación. En el capítulo 2 se investigan las propiedades de cohomológicas nilvariedades 6 dimensiones con estructura compleja invariante. En primer lugar, se estudia el comportamiento bajo deformación olomorfa de algunas propiedades relacionadas con la condición d-dbar-lema que se puede definir en términos de los grupos de cohomología Bott-Chern. A continuación, nos centramos en el problema de la descomposición cohomológica, prestando especial atención a la descomposición real en la segunda etapa. El capítulo 3 está dedicado al problema de construir estructuras complejas invariantes en nilvariedades de 2ª dimensión arbitraria. Más concretamente, proporcionamos una estrategia para encontrar cualquier complejo J estructura en cualquier álgebra de Lie nilpotente 2n dimensiones sin la necesidad de conocer las álgebras involucradas con antelación. De hecho, para ser construida, se introducen dos métodos de acuerdo con el grado de nilpotencia de la compleja estructura J. La combinación de estos dos enfoques permite construir estructuras complejas invariantes en nilvariedades de cualquier dimensión. Como una aplicación, recuperamos la clasificación de las estructuras complejas de álgebras de Lie nilpotente de dimensiones cuatro y seis. También comenzamos el estudio de la dimensión ocho, que se completa en el capítulo 4. Como consecuencia de ello, parametrizamos cada nilmanifold 8-dimensional dotado de una estructura compleja invariante. El resultado de la clasificación anterior se utiliza en el capítulo 5, con el objetivo de analizar algunas estructuras geométricas que no aparecen en las dimensiones 4 y 6. Por un lado, nos concentramos en las métricas hermitianas, prestando atención a las similitudes y diferencias entre SKT, astheno- Kähler, y la métrica Gauduchon generalizadas. Por otro lado, se estudian las estructuras simplécticas y pseudo-Kähler holomorfas

On generalized gauduchon nilmanifolds

We construct invariant generalized Gauduchon metrics on the product of two complex nilmanifolds that do not necessarily admit this kind of metrics. In particular, we prove that the product of a locally conformal Kähler nilmanifold and a balanced nilmanifold admits a generalized Gauduchon metric. In complex dimension 4, generalized Gauduchon nilmanifolds with (the highest possible) nilpotency step are given, as well as 3-step and 4-step examples for which the center of their underlying Lie algebras does not contain any non-trivial J-invariant ideal. These examples show strong differences between the SKT and the generalized Gauduchon geometries of nilmanifolds

Septic shock in pregnancy due to pyogenic sacroiliitis: a case report

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Licens

Víctimas de trata para delinquir: entre la protección y el castigo

En el informe se analiza cómo, por primera vez, la jurisprudencia penal ha fundamentado una sentencia absolutoria en el principio de no punición a las víctimas de trata por los delitos cometidos como consecuencia del proceso de trata y explotación sufrida (art. 177 bis 11 CP), y lo ha hecho en un supuesto que escapa a los estereotipos: la trata para la realización de actividades delictivas. Es el caso de una mujer joven captada, a través del abuso de su situación de necesidad y de vulnerabilidad, para hacer de “mula” e introducir cocaína en España portándola en su aparato digestivo. Estas sentencias están recurridas en casación, por lo que será la primera vez que el Tribunal Supremo se pronuncie sobre el alcance del principio de no punición, que es clave en la protección a las víctimas de trata. El objetivo del informe, promovido desde el Proyecto I+D+i iusmigrante, es dar a conocer estas decisiones judiciales pioneras, así como impulsar el uso del principio de no punición a las víctimas, para que el castigo penal, en muchos casos a prisión, no se sume al daño inferido por tratantes y explotadores

Complex structures on nilpotent Lie algebras with one-dimensional center

We classify the nilpotent Lie algebras of real dimension eight and minimal center that admit a complex structure. Furthermore, for every such nilpotent Lie algebra , we describe the space of complex structures on up to isomorphism. As an application, the nilpotent Lie algebras having a non-trivial abelian J-invariant ideal are classified up to eight dimensions