A Katznelson-Tzafriri type theorem for Cesàro bounded operators

We extend the well-known Katznelson-Tzafriri theorem, originally posed for power-bounded operators, to the case of Cesàro bounded operators of any order alpha > 0. For this purpose, we use a functional calculus between a new class of fractional Wiener algebras and the algebra of bounded linear operators, defined for operators with the corresponding Cesàro boundedness. Finally, we apply the main theorem to get ergodicity results for the Cesàro means of bounded operators

Non-local fractional derivatives. Discrete and continuous

We prove maximum and comparison principles for fractional discrete derivatives in the integers. Regularity results when the space is a mesh of length $h$, and approximation theorems to the continuous fractional derivatives are shown. When the functions are good enough, these approximation procedures give a measure of the order of approximation. These results also allows us to prove the coincidence, for good enough functions, of the Marchaud and Gr\"unwald-Letnikov derivatives in every point and the speed of convergence to the Gr\"unwald-Letnikov derivative. The fractional discrete derivative will be also described as a Neumann-Dirichlet operator defined by a semi-discrete extension problem. Some operators related to the Harmonic Analysis associated to the discrete derivative will be also considered, in particular their behavior in the Lebesgue spaces $\ell^p(\mathbb{Z}).

Uniform stability for fractional Cauchy problems and applications

In this paper we give uniform stable spatial bounds for the resolvent operator fami- lies of the abstract fractional Cauchy problem on R+. Such bounds allow to prove existence and uniqueness of µ-pseudo almost automorphic e-mild regular solutions to the nonlinear fractional Cauchy problem in the whole real line. Finally, we apply our main results to the fractional heat equation with critical nonlinearities

Ecuación de Moore-Gibson-Thompson

Recientemente se ha sustituido la ley de Fourier por Ley de Maxwell-Cattaneo en versiones acústicas de la ecuación de onda. La ley de Maxwell-Cattaneo añade a la Ley de Fourier una relajación en la velocidad de propagación del flujo del calor. Juntando las leyes anteriores y linealizando se obtiene la ecuación en derivadas parciales lineal de Moore-Gibson-Thompson, a la que llamaremos en adelante ecuación MGT

Regularity properties of mild solutions for a class of Volterra equation with critical nonlinearities

We study a class of abstract nonlinear integral equations of convolution type defined on a Banach space. We prove the existence of a unique, locally mild solution and an extension property when the nonlinear term satisfies a local Lipschitz condition. Moreover, we guarantee the existence of the global mild solution and blow up profiles for a large class of kernels and nonlinearities. If the nonlinearity has critical growth, we prove the existence of the local ¿-mild solution. Our results improve and extend recent results for special classes of kernels corresponding to nonlocal in time equations. We give an example to illustrate the application of the theorems so obtained

La desigualdad de Hardy

El objetivo de este trabajo es revisitar la demostración de la desigualdad de Hardy en el caso discretoy continuo desde un contexto histórico, pasando por diversas pruebas del resultado, así como resultadosrelacionados, y demostrar generalizaciones con pesos en ambos casos.<br /

Ondículas

En esta memoria estudiaremos la Teoría de Ondículas. Estas aparecen debido a la necesidad de estudiar ondas cuya frecuencia es variable con el tiempo. Para su estudio usaremos el Análisis de Multiresolución, para ver como a partir de este podemos construir ondículas ortonormales. Finalmente, veremos alguna pequeña aplicación, los algoritmos de composición y reconstrucción, que los aplicaremos a la ondícula de Haar.<br /

Medidas reales y complejas

En este trabajo se generaliza el concepto de medida a toda la recta real y al plano complejo, estudiando todas las nuevas propiedades que ello implica. Varios resultados importantes de medidas positivas, como el teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym, obtendrán su correspondiente extrapolación al caso de medidas complejas. El objetivo final es la demostración de resultados tan fuertes como el teorema fundamental del cálculo o la regla de Barrow en el contexto de la integración de Lebesgue.<br /

Espacios de Hardy y Bergman en el disco.

El presente trabajo es un estudio sobre los espacios de Hilbert de núcleo reproductivo (RKHS) y dos de los espacios de funciones analíticas más importantes, que a su vez también son RKHS, los espacios de Hardy y los espacios de Bergman. En ambos casos, dicho estudio va a realizarse en el disco unidad D.En el primer capítulo del trabajo, se va a realizar una introducción, a base de definiciones, lemas, proposiciones y teoremas que debemos conocer para después introducir los RKHS y sus núcleos reproductivos. También se presentan una serie de ejemplos básicos y ejemplos de teoría de funciones, el espacio de Hardy y el de Bergman. El segundo capítulo se divide en dos secciones. La primera de ellas, es una colección de propiedades de los RKHS. Se introduce el concepto de marco de Parseval, que extiende el de base ortonormal y se demuestra un resultado muy importante, el teorema de Papadakis. La segunda sección es una caracterización de los núcleos reproductivos, se introduce la función núcleo y se prueba un resultadofundamental, el teorema de Moore.El último capítulo se centra en el espacio de Hardy en el disco unidad. Primero, se estudian los operadoresde composición en el espacio de Hardy, para una aplicación ϕ que deberá cumplir algunascondiciones, y a través del teorema del Principio de Subordinación de Littlewood se ve que, con ciertas restricciones, preservan el espacio de Hardy continuamente. Para finalizar, se estudia el adjunto de un operador de composición y las condiciones bajo las cuales son operadores de composición en el espacio de Hardy.<br /

El Teorema del Punto Fijo de Brouwer y algunas aplicaciones a la Teoría de Juegos

El Teorema del Punto Fijo de Brouwer dice que una función continua de la bola unidad cerrada de un espacio euclídeo de dimensión finita en sí misma tiene al menos un punto fijo. En este trabajo se aborda la demostración de dicho teorema y, posteriormente, extensiones del mismo a conjuntos más generales como una bola cerrada centrada en el origen de radio arbitrario o un conjunto compacto y convexo.Más adelante, se muestran algunas aplicaciones del teorema a la Teoría de Juegos. La noción de punto de equilibrio de Nash es el ingrediente básico de esta teoría. Gracias al Teorema del Punto Fijo de Brouwer se puede demostrar que un juego finito no cooperativo siempre tiene al menos un punto de equilibrio de Nash.Por último, se introduce el juego de mesa Hex. El juego no admite la posibilidad de acabar en tablas una partida. Gracias a este hecho se da una demostración alternativa al Teorema del Punto Fijo de Brouwer en su caso 2-dimensional.<br /