Un estudio sobre algunas caracterizaciones algebraicas del teorema de ceros de Hilbert para anillos no conmutativos de tipo polinomial

In this paper we present a survey of some algebraic characterizations of Hilbert’s Nullstellensatz for non-commutative rings of polynomial type. Using several results established in the literature, we obtain a version of this theorem for the skew Poincaré-Birkhoff-Witt extensions. Once this is done, we illustrate the Nullstellensatz with examples appearing in noncommutative ring theory and non-commutative algebraic geometry.En este artículo presentamos un estudio sobre algunas caracterizaciones algebraicas del teorema de Nullstellensatz de Hilbert para anillos no conmutativos de tipo polinomial. Utilizando varios resultados establecidos en la literatura, obtuvimos una versión de este teorema para las extensiones de Poincaré-Birkhoff-Witt. Una vez hecho esto, ilustramos el Nullstellensatz con ejemplos que aparecen en la teoría de los anillos no conmutativa y en la geometría algebraica no conmutativa

PBWPBW-deformations of graded rings

We prove in a very general framework several versions of the classical Poincar\'e-Birkhoff-Witt Theorem, which extend results from [BeGi, BrGa, CS, HvOZ, WW]. Applications and examples are discussed in the last part of the paper

Some special types of determinants in graded skew P BW extensions.

In this paper, we prove that the Nakayama automorphism of a graded skew PBW extension over a finitely presented Koszul Auslanderregular algebra has trivial homological determinant. For A = σ(R)<x1, x2> a graded skew PBW extension over a connected algebra R, we compute its Pdeterminant and the inverse of σ. In the particular case of quasi-commutative skew PBW extensions over Koszul Artin-Schelter regular algebras, we show explicitly the connection between the Nakayama automorphism of the ring of coefficients and the extension. Finally, we give conditions to guarantee that A is Calabi-Yau. We provide illustrative examples of the theory concerning algebras of interest in noncommutative algebraic geometry and noncommutative differential geometryEn este artículo, demostramos que el automorfismo de Nakayama de una extensión PBW torcida graduada sobre un álgebra de Koszul finitamente presentada y Auslander-regular tiene determinante homológico trivial. Para A = σ(R)<x1, x2> una extensión PBW torcida graduada sobre un álgebra conexa R, calculamos su P-determinante y el inverso de σ. En el caso particular de extensiones PBW torcidas cuasi-conmutativas sobre álgebras de Koszul Artin-Schelter regulares, mostramos explícitamente la relación entre el automorfismo de Nakayama del anillo de coeficientes y la extensión. Finalmente, damos condiciones para garantizar que A sea Calabi-Yau. Proporcionamos ejemplos ilustrativos de la teoría con álgebras de interés en geometría algebraica no conmutativa y geometría diferencial no conmutativa

The Hilbert's Nullstellensatz over skew Poincaré-Birkhoff-Witt extensions

In this work we study several versions of the Hilbert's Nullstellensatz. We begin with a commutative review of its geometric interpretation following the study of affine and projective case. Later, we consider its algebraic interpretation. Next, we present several treatments to the non-commutative interpretation. Therefore, we begin with Ore extensions, their properties and obstructions with classical methods. We consider a relationship between the Hilbert's Nullstellensatz and the notion of generic flatness. Subsequently we use the filtration-graduation technique over almost normalizing extensions (also called almost commutative algebras) with the aim of state a theorem that helps us to guarantee conditions such that the Hilbert's Nullstellensatz holds. Finally, we study skew Poincaré-Birkhoff-Witt extensions together with some of their homological and ring-theoretical properties in order to extend Hilbert's Nullstellensatz to such extensions.Resumen: En este trabajo estudiaremos algunas versiones del teorema de ceros de Hilbert (Nullstellensatz). Empezaremos con una revisión conmutativa de la interpretación geo-\linebreak métrica con el estudio del caso afín y proyectivo. Luego, consideramos su versión algebraica. Después, presentaremos varios desarrollos en el caso no conmutativo. De esta forma, empezamos con las extensiones de Ore, sus propiedades y obstrucciones con los métodos clásicos. Consideraremos una relación entre el teorema de ceros de Hilbert y la noción de plenitud genérica. Posteriormente usaremos la técnica de filtración graduación sobre las extensiones casi normalizadoras (tambien llamadas algebras casi conmutativas) con el objetivo de establecer un teorema que nos ayude a garantizar condiciones para que el teorema de ceros de Hilbert se cumpla. Por último, estudiaremos las extensiones de Poincaré-Birkhoff-With torcidas junto con algunas de sus propiedades homológicas y de teoría de anillos para poder extender el teorema de ceros de Hilbert sobre estas extensiones.Maestrí

El automorfismo de Nakayama de algunas extensiones PBW torcidas

Let R be an Artin-Schelter regular algebra and A = σ(R)⟨x1,...,xn⟩ a graded quasi-commutative skew PBW extension over R. In this paper we describe the Nakayama automorphism of A using the Nakayama automor- phism of the ring of coefficients R. We calculate explicitly the Nakayama automorphism of some skew PBW extensions.Sean R un álgebra Artin-Schelter regular y A = σ(R)⟨x1,...,xn⟩   una extensión PBW torcida cuasi-conmutativa graduada sobre R. En este artículo se describe el automorfismo de Nakayama de A usando el automorfismo deNakayama del anillo de coeficientes R. También se calcula explícitamente el automorfismo de Nakayama de algunas extensiones PBW torcidas.&nbsp

N-Koszul algebras, Calabi-Yau algebras and skew PBW extensions

Abstract. In the schematic approach to non-commutative algebraic geometry arises some important classes of non-commutative algebras like Koszul algebras, Artin-Schelter regular algebras, Calabi-Yau algebras, and closely related with them, the skew PBW extensions. There exist some relations between these algebras and the skew PBW extensions. We give conditions to guarantee that skew PBW extensions over fields are nonhomogeneous Koszul or Koszul algebras. We also show that a constant skew PBW extension of a field is a PBW deformation of its homogeneous version. We define graded skew PBW extensions, study some properties of these algebras and showed that if R is a PBW algebra then a graded skew PBW extension of R is a PBW algebra, and therefore, a Koszul algebra. As a generalization of the above results, we prove that every graded skew PBW extension of a finitely presented Koszul algebra is Koszul. Artin-Schelter regularity and the skew Calabi-Yau condition are studied for graded skew PBW extensions. We prove that every graded quasi-commutative skew PBW extension of an Artin-Schelter regular algebra is an Artin-Schelter regular algebra and, more general, graded skew PBW extensions of a finitely presented Auslander-regular algebra, are Artin-Schelter regular algebras. As a consequence, every graded quasi-commutative skew PBW extension of a finitely presented skew Calabi-Yau algebra is skew Calabi-Yau, and graded skew PBW extensions of a finitely presented Auslander-regular algebra are skew Calabi-Yau. Since graded quasi-commutative skew PBW extensions with coefficients in a finitely presented skew Calabi-Yau algebra are skew Calabi-Yau, the Nakayama automorphism exists for these extensions. With this in mind, we give a description of Nakayama automorphism for these non-commutative algebras using the Nakayama automorphism of the ring of the coefficients.En el enfoque esquemático de la geometría algebraica no conmutativa surgen algunas clases importantes de álgebras no conmutativas como álgebras de Koszul, álgebras Artin-Schelter regulares, álgebras Calabi-Yau y, estrechamente relacionadas con estas, las extensiones PBW torcidas. Existen algunas relaciones entre estas álgebras y las extensiones PBW torcidas. Nosotros damos condiciones para garantizar cuáles extensiones PBW torcidas de un cuerpo son álgebras no homogéneas de Koszul o álgebras de Koszul. También, mostramos que una extensión PBW torcida constante de un cuerpo es una deformación PBW de su versión homogénea. Definimos las extensiones PBW torcidas graduadas, estudiamos algunas propiedades de estas álgebras y mostramos que si R es un álgebra PBW, entonces cada extensión PBW torcida graduada de R es un álgebra PBW, y por lo tanto un álgebra de Koszul. Como una generalización de los resultados anteriores, se demuestra que cada extensión PBW torcida graduada de un álgebra de Koszul finitamente presentada, es un álgebra de Koszul. La regularidad de Artin-Schelter y la condición de Calabi-Yau torcida se estudian para las extensiones PBW torcidas graduadas. Se demuestra que cada extensión PBW torcida cuasi-conmutativa graduada de un álgebra Artin-Schelter regular es un álgebra Artin-Schelter regular, y más general, extensiones PBW torcidas graduadas de un álgebra finitamente presentada Auslander-regular, son álgebras Artin-Schelter regulares. Como consecuencia, cada extensión PBW torcida cuasi-conmutativa graduada de un álgebra Calabi-Yau torcida finitamente presentada, es Calabi-Yau torcida, y las extensiones PBW torcidas graduadas de un álgebra Auslander-regular finitamente presentada son álgebras Calabi-Yau torcidas. Dado que las extensiones PBW torcidas cuasi-conmutativas graduadas con coeficientes en un álgebra Calabi-Yau torcida finitamente presentada, son Calabi-Yau torcidas, existe el automorfismo de Nakayama para estas extensiones. Con esto en mente, damos una descripción del automorphism de Nakayama para estas álgebras no conmutativas, usando el automorphism de Nakayama del anillo de coeficientes.Doctorad