Tree-Structured Problems and Parallel Computation

Turing-Maschinen sind das klassische Beschreibungsmittel für Wortsprachen und werden daher auch benützt, um Komplexitätsklassen zu definieren. Dies geschieht zum Beispiel durch das Einschränken des Platz- oder Zeitaufwandes der Berechnung zur Lösung eines Problems. Für sehr niedrige Komplexität wie etwa sublineare Laufzeit, werden Schaltkreise verwendet. Schaltkreise können auf natürliche Art Komplexitäten wie etwa logarithmische Laufzeit modellieren. Ebenso können sie als eine Art paralleles Rechenmodell gesehen werden. Eine wichtige parallele Komplexitätsklasse ist NC1. Sie wird beschrieben durch Boolesche Schaltkreise logarithmischer Tiefe und beschränktem Eingangsgrad der Gatter. Eine initiale Beobachtung, die die vorliegende Arbeit motiviert, ist, dass viele schwere Probleme in NC1 eine ähnliche Struktur haben und auf ähnliche Art und Weise gelöst werden. Das Auswertungsproblem für Boolesche Formeln ist eines der repräsentativsten Probleme aus dieser Klasse: Gegeben ist hier eine aussagenlogische Formel samt Belegung für die Variablen; gefragt ist, ob sie zu wahr oder zu falsch auswertet. Dieses Problem wird in NC1 gelöst durch den Algorithmus von Buss. Auf ähnliche Art können arithmetische Formeln in #NC1 ausgewertet oder das Wortproblem für Visibly-Pushdown-Sprachen gelöst werden. Zu besagter Klasse an Problemen gehört auch Courcelles Theorem, welches Berechnungen in Baumautomaten involviert. Zu bemerken ist, dass alle angesprochenen Probleme gemeinsam haben, dass sie aus Instanzen bestehen, die baumartig sind. Formeln sind Bäume, Visibly-Pushdown-Sprachen enthalten als Wörter kodierte Bäume und Courcelles Theorem betrachtet Graphen mit beschränkter Baumweite, d.h. Graphen, die sich als Baum darstellen lassen. Insbesondere Letzteres ist ein Schema, das häufiger auftritt. Zum Beispiel gibt es NP-vollständige Graphprobleme wie das Finden von Hamilton-Kreisen, welches unter beschränkter Baumweite in P fällt. Neuere Analysen konnten diese Schranke weiter zu SAC1 verbessern, was eine parallele Komplexitätsklasse ist. Die angesprochenen Probleme kommen aus unterschiedlichen Bereichen und haben individuelle Lösungen. Hauptthese dieser Arbeit ist, dass sich diese Vielfalt vereinheitlichen lässt. Es wird ein generisches Lösungskonzept vorgestellt, welches darauf beruht, dass sich die Probleme auf ein Termevaluierungsproblem reduzieren lassen. Kernstück ist daher ein Termevaluierungsalgorithmus, der unabhängig von der Algebra, über welche der Term evaluiert werden soll, ist. Resultat ist, dass eine Vielzahl, darunter die oben angesprochenen Probleme, sich auf analoge Art lösen lassen, und dass sich ebenso leicht neue Resultate zeigen lassen. Diese Menge an Resultaten hätte sich ohne den vereinheitlichten Lösungsansatz nicht innerhalb des Rahmens einer Arbeit wie der vorliegenden zeigen lassen. Der entwickelte Lösungsansatz führt stets zu Schaltkreisfamilien polylogarithmischer Tiefe. Es wird jedoch auch die Frage behandelt, wie mächtig Schaltkreisfamilien konstanter Tiefe noch bezüglich Termevaluierung sind. Die Klasse AC0 ist hierfür ein natürlicher Kandidat; sie entspricht der Menge der Sprachen, die durch Logik erster Ordung beschreibbar sind. Um dieses Problem anzugehen, wird zunächst das Termevaluierungsproblem über endlichen Algebren betrachtet. Dieses wiederum lässt sich in das Wortproblem von Visibly-Pushdown-Sprachen einbetten. Daher handelt dieser Teil der Arbeit vornehmlich von der Beschreibbarkeit von Visibly-Pushdown-Sprachen in Logik erster Ordnung. Hierbei treten ungelöste Probleme zu Tage, welche ein Indiz dafür sind, wie schlecht die Komplexität konstanter Tiefe bisher noch verstanden ist, und das, trotz des Resultats von Furst, Saxe und Sipser, bzw. Håstads. Die bis jetzt beschrieben Inhalte sind Teil einer kontinuierlichen Entwicklung. Es gibt jedoch ein Thema in dieser Arbeit, das orthogonal dazu ist: Automaten und im speziellen Cost-Register-Automaten. Zum einen sind, wie oben angedeutet, Automaten Beispiele für Anwendungen des hier entwickelten generischen Lösungsansatzes. Zum anderen können sie selbst zur Beschreibung von Termevaluierungsproblemen dienen; so können Visibly-Pushdown-Automaten Termevaluierung über endlichen Algebren ausführen. Um über endliche Algebren hinauszugehen, benötigen die Automaten mehr Speicher. Visibly-Pushdown-Automaten haben einen Keller, der genau dafür geeignet ist, die Baumstruktur einer Eingabeformel zu verifizieren. Für nichtendliche Algebren eignet sich ein Modell, welches hier vorgestellt werden soll. Es kombiniert Visibly-Pushdown-Automaten mit Cost-Register-Automaten. Ein Cost-Register-Automat ist ein endlicher Automat, welcher mit zusätzlichen Registern ausgestattet ist. Die Register können Werte einer Algebra speichern und werden in jedem Schritt in Abhängigkeit des Eingabezeichens und des Zustandes aktualisiert. Dieser Einwegdatenfluss von Zuständen zu Registern sorgt dafür, dass dieses Modell nicht nur entscheidbar bleibt, sondern, in Abhängigkeit der Algebra, auch niedrige Komplexität hat. Das neue Modell der Cost-Register-Visibly-Pushdown-Automaten kann nun Terme evaluieren. Es werden grundlegende Eigenschaften gezeigt, einschließlich Komplexitätsaussagen

Visibly Counter Languages and Constant Depth Circuits

We examine visibly counter languages, which are languages recognized by visibly counter automata (a.k.a. input driven counter automata). We are able to effectively characterize the visibly counter languages in AC^0 and show that they are contained in FO[+]

On the Complexity of the Equivalence Problem for Probabilistic Automata

Checking two probabilistic automata for equivalence has been shown to be a key problem for efficiently establishing various behavioural and anonymity properties of probabilistic systems. In recent experiments a randomised equivalence test based on polynomial identity testing outperformed deterministic algorithms. In this paper we show that polynomial identity testing yields efficient algorithms for various generalisations of the equivalence problem. First, we provide a randomized NC procedure that also outputs a counterexample trace in case of inequivalence. Second, we show how to check for equivalence two probabilistic automata with (cumulative) rewards. Our algorithm runs in deterministic polynomial time, if the number of reward counters is fixed. Finally we show that the equivalence problem for probabilistic visibly pushdown automata is logspace equivalent to the Arithmetic Circuit Identity Testing problem, which is to decide whether a polynomial represented by an arithmetic circuit is identically zero.Comment: technical report for a FoSSaCS'12 pape

Synchronization of Deterministic Visibly Push-Down Automata

We generalize the concept of synchronizing words for finite automata, which map all states of the automata to the same state, to deterministic visibly push-down automata. Here, a synchronizing word w does not only map all states to the same state but also fulfills some conditions on the stack content of each run after reading w. We consider three types of these stack constraints: after reading w, the stack (1) is empty in each run, (2) contains the same sequence of stack symbols in each run, or (3) contains an arbitrary sequence which is independent of the other runs. We show that in contrast to general deterministic push-down automata, it is decidable for deterministic visibly push-down automata whether there exists a synchronizing word with each of these stack constraints, more precisely, the problems are in EXPTIME. Under the constraint (1), the problem is even in P. For the sub-classes of deterministic very visibly push-down automata, the problem is in P for all three types of constraints. We further study variants of the synchronization problem where the number of turns in the stack height behavior caused by a synchronizing word is restricted, as well as the problem of synchronizing a variant of a sequential transducer, which shows some visibly behavior, by a word that synchronizes the states and produces the same output on all runs

The AC0\mathsf{AC}^0-Complexity Of Visibly Pushdown Languages

We study the question of which visibly pushdown languages (VPLs) are in the complexity class $\mathsf{AC}^0$ and how to effectively decide this question. Our contribution is to introduce a particular subclass of one-turn VPLs, called intermediate VPLs, for which the raised question is entirely unclear: to the best of our knowledge our research community is unaware of containment or non-containment in $\mathsf{AC}^0$ for any intermediate VPL. Our main result states that there is an algorithm that, given a visibly pushdown automaton, correctly outputs either that its language is in $\mathsf{AC}^0$, outputs some $m\geq 2$ such that $\mathsf{MOD}_m$ is constant-depth reducible to $L$ (implying that $L$ is not in $\mathsf{AC}^0$), or outputs a finite disjoint union of intermediate VPLs that $L$ is constant-depth equivalent to. In the latter case one can moreover effectively compute $k,l\in\mathbb{N}_{>0}$ with $k\not=l$ such that the concrete intermediate VPL $L(S\rightarrow\varepsilon\mid a c^{k-1} S b_1\mid ac^{l-1}Sb_2)$ is constant-depth reducible to the language $L$. Due to their particular nature we conjecture that either all intermediate VPLs are in $\mathsf{AC}^0$ or all are not. As a corollary of our main result we obtain that in case the input language is a visibly counter language our algorithm can effectively determine if it is in $\mathsf{AC}^0$ -- hence our main result generalizes a result by Krebs et al. stating that it is decidable if a given visibly counter language is in $\mathsf{AC}^0$ (when restricted to well-matched words). For our proofs we revisit so-called Ext-algebras (introduced by Czarnetzki et al.), which are closely related to forest algebras (introduced by Boja\'nczyk and Walukiewicz), and use Green's relations.Comment: 81 page

Leaf languages and string compression

AbstractTight connections between leaf languages and strings compressed by straight-line programs (SLPs) are established. It is shown that the compressed membership problem for a language L is complete for the leaf language class defined by L via logspace machines. A more difficult variant of the compressed membership problem for L is shown to be complete for the leaf language class defined by L via polynomial time machines. As a corollary, it is shown that there exists a fixed linear visibly pushdown language for which the compressed membership problem is PSPACE-complete. For XML languages, it is shown that the compressed membership problem is coNP-complete.Furthermore it is shown that the embedding problem for SLP-compressed strings is hard for PP (probabilistic polynomial time)

Logic and Automata

Mathematical logic and automata theory are two scientific disciplines with a fundamentally close relationship. The authors of Logic and Automata take the occasion of the sixtieth birthday of Wolfgang Thomas to present a tour d'horizon of automata theory and logic. The twenty papers in this volume cover many different facets of logic and automata theory, emphasizing the connections to other disciplines such as games, algorithms, and semigroup theory, as well as discussing current challenges in the field

Devising Solo Performance: A Practitioner’s Enquiry

This research explores the validity and value of ‘solo devising’ as a means for specifying a category of theatre-making that has been little discussed, compared to group devising, in existing literature on devising and postdramatic theatre. Primary source material was obtained through carrying out extended interviews with five experienced British theatre practitioners who have made work that could be described as solo devised performance: Tim Etchells, Bobby Baker, Mike Pearson, Nigel Charnock and Wendy Houstoun. In analysing these interviews, referred to in detail but not reproduced in full, the enquiry draws on a range of writings, including Oddey, Heddon, Harvie, Alexander and George, on devising and making performance and in particular on Melrose’s concept of practitioner-centred expert knowledge, Lehmann’s notion of the postdramatic and Sennett’s specification of expertise in craftsmanship. Chapter One considers solo practice in relation to the idea of a solo devising economy, the interviewees’ professional work and other experimental solo practices within theatre, performance, dance and art. Chapter Two explores how the interviewees create multiple performance personae, doing and undoing notions of individuality and autobiography through strategies of working ‘about’, ‘from’ and ‘beyond’ the self. Chapter Three explores solo devising processes, involving research, generation of material, composition, performance and ‘orchestration’. Chapter Four scrutinises different kinds of collaboration, including ‘audiencing’, as both enabling and productively confounding activities occurring within solo devising. Chapter five specifies some findings about solo devising: that it both involves expert, crafted, individual working, requiring orchestration of a high number of activities and skills, and, simultaneously, practices of negotiated authorship with other artists and audiences, enabling a potentially political reading of its distinctly ambiguous working. An additional finding is that close attention to what expert practitioners say about their work can yield rich information about a specific practice.Dartington College of Art