4 research outputs found
Cyclability: Combinatorial Properties, Algorithms and Complexity
Ένα γράφημα G καλείται k-κυκλώσιμο, αν για κάθε k από τις κορυφές του υπάρχει ένας κύκλος στο G που τις περιέχει. Η κυκλωσιμότητα ενός γραφήματος G είναι ο μέγιστος ακέραιος k για τον οποίο το G είναι k-κυκλώσιμο και είναι μία παράμετρος που σχετίζεται με τη συνεκτικότητα. Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή μελετάμε, κυρίως από τη σκοπιά της Παραμετρικής Πολυπλοκότητας, το πρόβλημα ΚΥΚΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑ: Δεδομένου ενός γραφήματος G = (V,E) και ενός μη αρνητικού ακεραίου k (η παράμετρος), να αποφασιστεί αν η κυκλωσιμότητα του G είναι ίση με k.
Το πρώτο μας αποτέλεσμα είναι αρνητικό και δείχνει ότι η ύπαρξη ενός FPT-αλγορίθμου για την επίλυση του προβλήματος ΚΥΚΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑ είναι απίθανη (εκτός αν FPT = co-
W[1], το οποίο θεωρείται απίθανο). Πιο συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι το πρόβλημα ΚΥΚΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑ είναι co-W[1]-δύσκολο, ακόμα και αν περιορίσουμε την είσοδο στο να είναι χωριζόμενο γράφημα.
Από την άλλη, δίνουμε έναν FPT-αλγόριθμο για το ίδιο πρόβλημα περιορισμένο στην κλάση των επίπεδων γραφημάτων. Για να το πετύχουμε αυτό αποδεικνύουμε μια σειρά από συνδυαστικά αποτελέσματα σχετικά με την κυκλωσιμότητα και εφαρμόζουμε μια εκδοχή δύο βημάτων της περίφημης τεχνικής της άσχετης κορυφής, που εισήχθη από τους Robertson και Seymour στη σειρά εργασιών τους για Ελλάσονα Γραφήματα, ως ένα κρίσιμο συστατικό του αλγορίθμου τους για την επίλυση του προβλήματος των ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ. Για να αποδείξουμε την ορθότητα του αλγορίθμου μας εισάγουμε έννοιες, όπως αυτή των ζωτικών κυκλικών συνδέσμων, και αποδεικνύουμε αποτελέσματα με ανεξάρτητου γραφοθεωρητικού ενδιαφέροντος.
Κλείνουμε τη μελέτη μας με ένα δεύτερο αρνητικό αποτέλεσμα: Αποδεικνύουμε ότι για το πρόβλημα της ΚΥΚΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ δεν υπάρχουν πολυωνυμικοί πυρήνες, ακόμα και αν περιοριστούμε σε κυβικά επίπεδα γραφήματα, εκτός και αν δεν ισχύει μια υπόθεση της κλασσικής Θεωρίας Πολυπλοκότητας (ότι NP υποσύνολο του co-NP/poly).A graph G is called k-cyclable, if for every k of its vertices there exists a cycle in G that contains them. The cyclability of G is the maximum integer k for which G is k-cyclable and it is a connectivity related graph parameter. In this doctoral thesis we study, mainly from the Parameterized Complexity point of view, the Cyclability problem: Given a graph G = (V,E) and an integer k (the parameter), decide whether the cyclability of G is equal to k.
Our first result is a negative one and shows that the existence of an FPT-algorithm for solving Cyclability is unlikely (unless FPT = co-W[1], which is considered unlikely). More specifically, we prove that Cyclability is co-W[1]-hard, even if we restrict the input to be a split graph.
On the other hand, we give an FPT-algorithm for the same problem when restricted to the class of planar graphs. To do this, we prove a series of combinatorial results regarding cyclability and apply a two-step version of the so called irrelevant vertex technique, which was introduced by Robertson and Seymour in their Graph Minors series (Irrelevant vertices in linkage problems) as a crucial ingredient for their algorithm solving the Disjoint Paths problem. To prove the correctness of our algorithm, we introduce notions, like the one of vital cyclic linkages, and give results of independent graph-theoretic interest.
We conclude our study with a negative result: We prove that Cyclability admits no polynomial kernel, even when restricted to cubic planar graphs, unless a classical complexity theoretic assumption (that NP is a subset of co-NP/poly) fails
Linkages in primal-dual graphs
Ένα από τα επιτεύγματα με τη μεγαλύτερη επιρροή στη Θεωρία Γραφημάτων
υπήρξε χωρίς αμφιβολία η σειρά εργασιών "Ελλάσσονα
Γραφήματα" των Neil
Robertson και Paul D. Seymour, στην οποία, έπειτα από 23 εργασίες από το
1983 έως το 2011, κατάφεραν να αποδείξουν την εικασία του Wagner. Η
εικασία αυτή λέει ότι η κλάση των μη κατευθυνόμενων γραφημάτων, μερικώς
διατεταγμένων με τη σχέση ελλάσσονος γραφήματος, αποτελεί well-quasi-
διάταξη ή ισοδύναμα, για κάθε κλάση γραφημάτων που είναι κλειστή ως προς
ελλάσσονα υπάρχει ένα σύνολο από απαγορευμένα γραφήματα ως ελλάσσονα.
Μπορεί να υποστηριχθεί ότι, δεν είναι τόσο το ίδιο το τελικό αποτέλεσμα,
όσο ολόκληρη η θεωρία που αναπτύχθηκε στην πορεία που είχε, και συνεχίζει
να έχει, τεράστιο αντίκτυπο τόσο στη συνδυαστική όσο και στην αλγοριθμική
Θεωρία Γραφημάτων. Μία από τις κυριότερες συνεισφορές τους, η οποία
κατέχει και κεντρικό ρόλο στη δουλειά τους, είναι η κατασκευή ενός αλγορίθμου
που λύνει το πρόβλημα των ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ σε χρόνο f(k)n^3, όπου k
είναι το πλήθος των διακεκριμένων μονοπατιών που μας ζητείται
να βρούμε. Το βασικό συστατικό της απόδειξής τους είναι η ονομαστή τεχνική
της
άσχετης
κορυφής (για την οποία οι πλήρεις αποδείξεις δόθηκαν σε επόμενο
μέρος της σειράς) που χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην πορεία.
Όσο σπουδαίο κι αν αποδείχθηκε πως είναι το παραπάνω αποτέλεσμα, η
συνάρτηση f που εξαρτάται από το k και εμφανίζεται στη χρονική πολυπλοκό-
τητα του αλγορίθμου, είναι ασύλληπτα μεγάλη ακόμη και για πολύ μικρές τιμές
του k. Για τον λόγο αυτόν, πολλοί ερευνητές θέλησαν να βελτιώσουν αυτήν
την παραμετρική εξάρτηση από το k, είτε προσπαθώντας να απλοποιήσουν τις
περίπλοκες αποδείξεις των δομικών θεωρημάτων για τη γενική περίπτωση, είτε
επικεντρώνοντας την προσοχή τους σε συγκεκριμένες κλάσεις γραφημάτων
των οποίων τα δομικά χαρακτηριστικά θα οδηγούσαν, ίσως, σε απλούστερες
αποδείξεις και καλύτερη παραμετρική εξάρτηση. Ένα μεγάλο βήμα όσον αφορά
την πρώτη κατεύθυνση (παρόλο που το φράγμα για το f(k) είναι 2^(2^(2^(2^Ω(k))))
, το
οποίο είναι, σαφώς, ακόμη τεράστιο) έγινε από τους Ken-ichi Kawarabayashi
και Paul Wollan στο [20]. Ένα αποφασιστικό βήμα προς τη δεύτερη κατεύθυνση,
για την κλάση των επίπεδων
γραφημάτων, έγινε από τους Isolde Adler, Stavros
G. Kolliopoulos, Philipp Klaus Krause, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, και
Dimitrios M. Thilikos στο [2], όπου αποδεικνύουν ένα φράγμα για το f(k) που
είναι απλά εκθετικό ως προς k.
Βασιζόμενοι σε αυτήν την τελευταία εργασία, μελετάμε μια επέκταση του
προβλήματος των ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ στην κλάση των πρωτεύοντων-
δυϊκών
γραφημάτων και χρησιμοποιώντας την ιδέα άσχετης κορυφής, αποδεικ-
νύουμε ένα δομικό θεώρημα το οποίο λέει ότι αν το δεντροπλάτος του πρωτεύοντος-
δυϊκού γραφήματος μας είναι αρκούντως μεγάλο, τότε υπάρχει (και μπορεί να
εντοπιστεί αλγοριθμικά) ένα τμήμα του το οποίο είναι άσχετο και του οποίου η
αφαίρεση από το γράφημα οδηγεί σε ένα απλούστερο και ισοδύναμο στιγμιότυπο
του προβλήματος. Επίσης, εξηγούμε πως ένας αλγόριθμος για το πρόβλημα
των ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ για την κλάση των πρωτεύοντων-δυϊκών
γραφημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή αλγορίθμων για προ-
βλήματα σε ενεπίπεδα γραφήματα, όπου είναι απαραίτητο να λαμβάνεται υπόψην
η τοπολογία της επίπεδης εμβάπτισης που δίνεται ως είσοδος.One of the most influential bodies of work in Graph Theory has, undoubtedly,
been the Graph
Minor
series of Neil Robertson and Paul D. Seymour, where,
after 23 papers during the years 1983-2011, they managed to prove Wagner's
conjecture. This conjecture states that undirected graphs, partially ordered by
the graph minor relationship, form a well-quasi-ordering, or, equivalently,
every
family of graphs that is closed under minors can be defined by a finite set of
forbidden minors. One can argue that it is not just the final result itself, but
whole theory built during the procedure which had, and continues to have, a
huge impact in both combinatorial and algorithmic Graph Theory. One of their
main contributions, which also has a central role in their work, is constructing
an algorithm that solves the Disjoint Paths problem in f(k)n^3 steps, where
k is the number of disjoint paths that we are asked to find. The key ingredient
of their proof is the so called irrelevant-vertex
technique (for which full proofs
only appeared in latter parts of the series), which has been used extensively
thereafter.
As great as this result was proved to be, the function f of k that appears in
the running time is immense even for very small values of k. Therefore, many
researchers tried to improve this parametric dependance on k, either by trying
to simplify the complicated proofs of the structural theorems for the general
case, or by restricting their attention to specific graph classes whose
structural
characteristics would hopefully lead to simpler proofs and better parametric
dependance. A big step towards the first direction (although the bound of f(k)
is 2^(2^(2^(2^Ω(k))))
which is of course still huge) was made by Ken-ichi Kawarabayashi
and Paul Wollan in [20]. A decisive step to the second direction, for the class
of planar
graphs, was made by Isolde Adler, Stavros G. Kolliopoulos, Philipp
Klaus Krause, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos in [2],
where their bound for f(k) is just single exponential on k.
Based on this latter work, we study an extension of the Disjoint Paths problem
for the class of pd-graphs and, using on the idea of the irrelevant-vertex
technique, we prove a structural theorem which states that if the treewidth of
our pd-graph is sufficiently large, then there exists (and can be found
algorithmically)
a part of it which is irrelevant and whose removal leads to a simpler
and equivalent instance. We also illustrate how an algorithm for the Disjoint
Paths problem for the class of pd-graphs can be used to construct algorithms
for problems on plane graphs, where the it is essential to respect the topology
of the plane embedding given as an input
Tight Complexity Bounds for Counting Generalized Dominating Sets in Bounded-Treewidth Graphs
We investigate how efficiently a well-studied family of domination-type problems can be solved on bounded-treewidth graphs.
For sets of non-negative integers, a -set of a graph is a set of vertices such that for every , and for every .
The problem of finding a -set (of a certain size) unifies standard problems such as \textsc{Independent Set}, \textsc{Dominating Set}, \textsc{Independent Dominating Set}, and many others.
For almost all pairs of finite or cofinite sets , we determine (under standard complexity assumptions) the best possible value such that there is an algorithm that counts -sets in time c_{\sigma,\rho}^\tw\cdot n^{\O(1)} (if a tree decomposition of width \tw is given in the input).
Let \sigMax denote the largest element of if is finite, or the largest missing integer if is cofinite; \rhoMax is defined analogously for .
Surprisingly, is often significantly smaller than the natural bound \sigMax+\rhoMax+2 achieved by existing algorithms [van Rooij, 2020].
Toward defining , we say that is \mname-structured if there is a pair such that every integer in equals mod \mname, and every integer in equals mod \mname.
Then, setting
\begin{itemize}
\item c_{\sigma,\rho}=\max\{\sigMax,\rhoMax\}+1 if is
\mname-structured for some \mname \ge 3, or 2-structured with \sigMax\neq \rhoMax, or 2-structured with \sigMax=\rhoMax being odd,
\item c_{\sigma,\rho}=\max\{\sigMax,\rhoMax\}+2 if is 2-structured,
but not \mname-structured for any \mname \ge 3, and \sigMax=\rhoMax is even, and
\item c_{\sigma,\rho}=\sigMax+\rhoMax+2 if is not
\mname-structured for any \mname\ge 2,
\end{itemize}
we provide algorithms counting -sets in time c_{\sigma,\rho}^\tw\cdot n^{\O(1)}.
For example, for the \textsc{Exact Independent Dominating Set} problem (also known as
\textsc{Perfect Code}) corresponding to and , this improves the
3^\tw\cdot n^{\O(1)} algorithm
of van Rooij to 2^\tw\cdot n^{\O(1)}.
Despite the unusually delicate definition of , we show that our algorithms are most likely optimal, i.e.,
for any pair of finite or cofinite sets where the problem is non-trivial (except those having cofinite with ), and any , a (c_{\sigma,\rho}-\varepsilon)^\tw\cdot
n^{\O(1)}-algorithm counting the number of -sets would violate the Counting Strong Exponential-Time Hypothesis (\#SETH).
For finite sets and , our lower bounds also extend to the decision version, showing that our algorithms are optimal in this setting as well.
In contrast, for many cofinite sets, we show that further significant improvements for the decision and optimization versions are possible using the technique of representative sets