On the upstream mobility scheme for two-phase flow in porous media

When neglecting capillarity, two-phase incompressible flow in porous media is modelled as a scalar nonlinear hyperbolic conservation law. A change in the rock type results in a change of the flux function. Discretizing in one-dimensional with a finite volume method, we investigate two numerical fluxes, an extension of the Godunov flux and the upstream mobility flux, the latter being widely used in hydrogeology and petroleum engineering. Then, in the case of a changing rock type, one can give examples when the upstream mobility flux does not give the right answer.Comment: A preprint to be published in Computational Geoscience

Gravity-induced segregation of cohesionless granular mixtures

Working with the context of a theory proposed recently by Fried et al. (2001), we consider a one-dimensional problem involving granular mixture of K > 2 discrete sizes bounded below by an impermeable base, above by an evolving free surface, and subject to gravity. We demonstrate the existence of a solution in which the medium segregates by particle size. For a mixture of small and large particles (K = 2), we use methods of Smoller (1994) to show that the segregated solution is unique. Further, for a mixture of small, medium, and large particles (K = 3), we use LeVeque's (1994) CLAWPACK to construct numerical solutions and find that these compare favorably with analytical predictions.published or submitted for publicationis peer reviewe

Godunov-type methods for conservation laws with a flux function discontinuous in space

Scalar conservation laws with a flux function discontinuous in space are approximated using a Godunov-type method for which a convergence theorem is proved. The case where the flux functions at the interface intersect is emphasized. A very simple formula is given for the interface flux. A numerical comparison between the Godunov numerical flux and the upstream mobility flux is presented for two-phase flow in porous media. A consequence of the convergence theorem is an existence theorem for the solution of the scalar conservation laws under consideration.Furthermore, for regular solutions, uniqueness has been shown

Sistema de leis de balanço em problemas de dinâmicas de fluidos : modelagem matemática e aproximação numérica

Orientador: Eduardo Cardoso de AbreuTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Nesta tese, estamos preocupados com o comportamento limite de sistemas hiperbólicos de leis de conservação com termos de relaxamento {\it stiff} para os sistemas locais de leis de conservação, com particular interesse na questão da estabilidade e limites singulares dessas soluções no tempo zero de relaxão. O relaxamento é importante em muitas situações físicas, tais como, em teoria cinética, dinâmica de gases fora do equilíbrio termodinâmico local, em elasticidade com memória (histerese), transição de fase em fluxo multifásico e problemas lineares e não lineares de progação de ondas. Embora a teoria matemática para modelos não lineares de leis equilíbrio com relaxamento tem apresentado algum significativo progresso na boa colocação no contexto de modelos em termodinâmica e teoria cinética, uma compreensão completa sobre o comportamento assintótico para sistemas maiores que $2\times2$, sobre os quais soluções evoluem a partir de um determinado dado inicial com regularidade, permanece indefinida, notadamente para soluções fracas de sistemas hiperbólicos. Assim, devido à complexidade inerente a esta classe de modelos, existem poucas soluções para tais leis de equilíbrio de relaxamento por meio de métodos analíticos. Então, uma análise abstrata, bem como a computação numérica prática por meio de algoritmos de aproximação, constituem ferramentas importantes para estudar tal classe de modelos, bem como para obter novas perspectivas para ampliar o conhecimento geral de sistemas de leis de balanço, ou de leis de equilíbrio. Portanto, foi também desenvolvido um novo método de volumes finitos de tipo {\it unsplitting}, localmente conservativo, via construção formal. Este método foi capaz de computar para sistemas de Euler tanto novas soluções não monótonas como também de reproduzir soluções qualitativamente corretas em regime de fricção alta e gravidade, recentemente publicados na literatura. De fato, os novos algoritmos de apro\-xima\-ção {\it unsplitting} também foram usados para ajudar a compreender um problema de injeção de nitrogênio e de vapor em meios poroso. Outro ponto de vista fundamental perseguido nesta tese é a comparação entre duas metodologias para abordar a questão da resolução de leis equilíbrio com termos fonte de relaxamento: uma metodologia baseia-se do pressuposto que o fenômeno físico está sob equilíbrio termodinâmico (equilíbrio instantâneo), que é modelado por sistemas de leis de conservação hiperbólicas, e a outra metodologia é baseada no relaxamento de tal equilíbrio, que por sua vez dá origem à utilização dos sistemas de leis de equilíbrio na modelagem do processo de relaxamento, como por exemplo, em modelos de transição de fase. Neste momento, uma série de perguntas naturais surgem: quão diferentes são essas soluções de ambas as soluções obtidas por meio destas duas abordagens? A este respeito, uma pergunta mais rigorosa - e mais fundamental - é: como é o comportamento de tais soluções durante o processo de relaxamento e qual é o seu limite? A fim de entender melhor essas metodologias, vamos considerar dois formalismos matemáticos distintos. Nesta tese, nós damos um exemplo de modelagem utilizando esta nova metodologia para a injeção de nitrogênio e de vapor de água em meios porosos. Nós não fomos capazes de dar uma resposta assertiva a todas as perguntas acima, mas um sólido ponto de partida é um estudo aprofundado do caso unidimensional para um problema concreto, que é feito nesta tese. Acreditamos que temos um campo muito interessante (e promissor) de trabalho pela frente, que temos a intenção de continuar a estudar, a fim de entender melhor, via análises abstrata e numérica, tais perguntas importantes e que permanecem indefinidas. Esta tese é uma pequena tentativa de obter uma nova compreensão sobre tais modelos de leis de balançoAbstract: In this thesis, we are concerned with the limit behaviour of hyperbolic systems of conservation laws with stiff relaxation terms to the local systems of conservation laws, particularly the question of stability and singular limits of such solutions to the zero relaxation time. Relaxation is important in many physical situations, as such, in kinetic theory, gases not in local thermodynamic equilibrium, elasticity with memory (hysteresis), multiphase and phase transition and linear and nonlinear waves. Although the mathematical theory of nonlinear balance law with relaxation has presented significant progress on well-posedness linked to extended thermodynamics and kinetic theory, a complete understanding for systems larger than $2\times2$ about how solutions evolve from a given initial data and their regularity and asymptotic behaviour remains elusive, mainly for weak solutions of hyperbolic systems. Thus, due to the complexity inherent to this class of models, there are few solutions for such relaxation balance laws by means of analytical methods. Then, abstract analysis as well as practical computing via approximation algorithms are both significant mathematical tools to tackle as well as to get further insights to enlarge the knowledge for systems of balance laws. Therefore, it was also developed a new unsplitting finite volume methods, which in turn is locally conservative by formal construction. This method was able to corroborate the new solutions for Euler systems with a non-monotonic character as well as to reproduce correct qualitatively solutions of the Euler models with high friction regime and gravity, recently published in the literature. Indeed, the novel unsplitting approximation algorithms were also used to address injection problems of nitrogen and steam in porous media. Another crucial viewpoint pursued in this thesis is the comparison between two methodologies to tackle the issue of solving balance laws with relaxation source terms: one methodology is based by assuming that the physical phenomenon is under thermodynamic equilibrium (instantaneous equilibrium), which is modelled by systems of conservation laws, and the other methodology is based in the relaxation of such equi\-li\-brium, which in turn gives rise to the use of systems of balance laws in the modelling of the relaxation process, for instance, in the modelling of phase transition. At this moment a natural questions is: how different are these both solutions obtained by means of two approaches? In this regard, a more stringent -- and more fundamental -- question is: how is the behaviour of such solutions during the relaxation process and how is its limit? In order to better understand these methodologies we will consider two distinct mathematical formalisms. In thesis, we give an example of modelling using this novel methodology for the injection of nitrogen and steam in porous media. We were not able to give assertive answers to the above questions, but a solid starting point is a thorough study of the one-dimensional case for a concrete problem, which is done in this thesis. We believe we have a very interesting (and promising) field of work ahead of us, which we intend to continue studying in order to better understand abstract and numerical analysis for these important questions that remains elusive. This thesis is a small attempt to get new insights in this directionDoutoradoMatematica AplicadaDoutor em Matemática Aplicada2011/23628-0FAPES