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Matrix-Norm Approach of Computing Levenberg-Marquardt Reg- ularization Parameter for Nonlinear Equations
In this paper, we present Levenberg-Marquardt method for solving nonlinear systems of equations. Here, both the objective function and the symmetric Jacobian matrix are assumed to be Lipchitz continuous. The regularization parameter is derived using Matrix-Norm approach. Numerical performance on some benchmark problems that demonstrates the effectiveness and efficiency of our approach are reported and have shown that the proposed algorithm is very promising.Mathematics Subject Classification: 65H10, 65K05, 65F22, 65F35.keywords: Nonlinear system of equations. Levenberg-Marquardt method. Regularization. Matrix-norm. Global convergence
Local convergence of the Levenberg-Marquardt method under H\"{o}lder metric subregularity
We describe and analyse Levenberg-Marquardt methods for solving systems of
nonlinear equations. More specifically, we propose an adaptive formula for the
Levenberg-Marquardt parameter and analyse the local convergence of the method
under H\"{o}lder metric subregularity of the function defining the equation and
H\"older continuity of its gradient mapping. Further, we analyse the local
convergence of the method under the additional assumption that the
\L{}ojasiewicz gradient inequality holds. We finally report encouraging
numerical results confirming the theoretical findings for the problem of
computing moiety conserved steady states in biochemical reaction networks. This
problem can be cast as finding a solution of a system of nonlinear equations,
where the associated mapping satisfies the \L{}ojasiewicz gradient inequality
assumption.Comment: 30 pages, 10 figure
Analyse und Identifikation des quasistationären Verhaltens der Drehmomentübertragung von automatisierten Reibungskupplungen in Kraftfahrzeugen
Die meisten, praxisrelevanten Konzepte zur Regelung von automatisierten Reibungskupplungen
in Kraftfahrzeugen stellen eine Kombination aus Vorsteuerung und Regelung dar. Mit
Hilfe der Vorsteuerung wird der Hauptanteil der erforderlichen Kupplungsstellgröße gebildet.
Die unterlagerte Regelung dient im Wesentlichen dem Ausgleich von Ungenauigkeiten der
Vorsteuerung. Infolgedessen spielt das zur Vorsteuerung verwendete Modell des Kupplungsverhaltens
eine sehr wichtige Rolle und entscheidet maßgeblich über Schaltkomfort und
Verschleißverhalten einer Reibungskupplung während des Fahrbetriebs. Im Bereich automatisierter
Kupplungen werden als Vorsteuerungsmodelle überwiegend Kupplungskennlinien
eingesetzt. Eine Kupplungskennlinie beschreibt dabei den quasistationären Zusammenhang
zwischen der Stellgröße der Kupplung und dem übertragbaren Kupplungsmoment. Abhängig
von verschiedensten Einflussfaktoren unterliegt die Kupplungskennlinie während des Fahrbetriebs
sowohl dauerhaften als auch temporären Änderungen. Um die erforderliche Regelgüte
des Gesamtregelkreises zu gewährleisten, ist es erforderlich, Änderungen des Kupplungsverhaltens
schnell zu erkennen und die Kupplungskennlinie entsprechend anzupassen.
Zur Anpassung der Kupplungskennlinie an die aktuelle Betriebssituation werden in dieser
Arbeit ausgewählte Methoden der Systemidentifikation eingesetzt. Zur Approximation der
Kupplungskennlinie wird ein neues Kennlinienmodell eingesetzt. Dieses Modell zeichnet sich
durch zwei wesentliche Merkmale, seine analytische und parametrische Form sowie die
physikalisch-geometrische Interpretierbarkeit der Modellparameter, aus. Das erste Merkmal
ermöglicht den Einsatz von ableitungsbasierter Least-Squares Methoden der zur Ermittlung
unbekannter Modellparameter. Diese Methoden sind konzipiert zur Verarbeitung von verrauschten
Signalen und bitten eine sehr hohe Robustheit der Kennlinienidentifikation unter
realen Bedingungen. Das zweite Merkmal ermöglicht eine separate Modifikation einzelner
Modellparameter unter Berücksichtigung ihrer Änderungsdynamik bzw. ihrer Zeitvarianz
während des Fahrbetriebs. Die Untersuchungen der Kennlinienidentifikation erfolgen
zunächst in der Simulation. Dadurch können einzelne Effekte der Drehmomentübertragung
ab- bzw. zugeschaltet und deren Auswirkung auf den Identifikationsvorgang gezielt analysiert
werden. Anschließend erfolgen ausführliche Untersuchungen der Kennlinienidentifikation
anhand von realen Fahrzeugmessungen. Die erzielten Ergebnisse belegen zum einen eine
hohe Performance der vorgestellten Methodik zur Identifikation von Kupplungskennlinien.
Zum anderen decken sie Potentiale für weiterführende Arbeiten im Bereich der Identifikation
des Übertragungsverhaltens von Reibungskupplungen auf.Many practice-relevant concepts for controlling automated friction clutches in motor vehicles
are designed as a combination of feed forward and feedback control. The main amount of the
actuating variable required for the clutch engagement is calculated by the feed forward path.
The task of the feedback path is to compensate for the uncertainness of the feed forward path.
Therefore, the model used for the feed forward path is very important for the shift comfort as
well as for the wear of the clutch system during operation. In the field of automated clutches,
the clutch characteristic is typically used as the feed forward model. A clutch characteristic
represents the relationship between the actuating variable and the torque transferred through
the clutch. Dependent on various factors, the clutch characteristic changes both temporarily
and permanently during the operation. To ensure the requirements for the clutch control, it is
necessary to track the relevant changes of the behavior of the clutch system, as well as to
adapt the clutch characteristic accordingly.
In this work, preselected identification methods are used for the adaption of the clutch
characteristic on the actual operating point. Thereby, the approximation of the clutch
characteristic is carried out using an innovative model. This model is characterized by two
essential properties, these are the analytically and parametrically model form, as well as the
physically and geometrically interpretability of the model parameter. The first property allows
using derivative-based identification methods for determination of unknown parameters of the
characteristic model. These methods provide a high robustness of the identification of the
clutch characteristics under realistically operating conditions because they are designed for
processing signals corrupted by noise. The second property of the new characteristic model
allows an identification of the model parameter under consideration their change dynamics
and time variance respectively.
In the first step, the identification of the clutch characteristic was investigated in simulation.
This allows activating or deactivating of diverse effects of the torque transfer through the
clutch, with the goal, to analyze the influence of these effects on the identification procedure.
In the last step, the investigation of the identification procedure was carried out using real
measurement data. On the one hand, the experimental results show a high performance of the
presented method for identification of clutch characteristics. On the other hand, potential for
advanced research works in the field of identification of transmission behavior of friction
clutches was detected