On decision and optimization (k,l)-graph sandwich problems

AbstractA graph G is (k,l) if its vertex set can be partitioned into at most k independent sets and l cliques. The (k,l)-Graph Sandwich Problem asks, given two graphs G1=(V,E1) and G2=(V,E2), whether there exists a graph G=(V,E) such that E1⊆E⊆E2 and G is (k,l). In this paper, we prove that the (k,l)-Graph Sandwich Problem is NP-complete for the cases k=1 and l=2; k=2 and l=1; or k=l=2. This completely classifies the complexity of the (k,l)-Graph Sandwich Problem as follows: the problem is NP-complete, if k+l>2; the problem is polynomial otherwise. We consider the degree Δ constraint subproblem and completely classify the problem as follows: the problem is polynomial, for k⩽2 or Δ⩽3; the problem is NP-complete otherwise. In addition, we propose two optimization versions of graph sandwich problem for a property Π: MAX-Π-GSP and MIN-Π-GSP. We prove that MIN-(2,1)-GSP is a Max-SNP-hard problem, i.e., there is a positive constant ε, such that the existence of an ε-approximative algorithm for MIN-(2,1)-GSP implies P=NP

Topological lower bounds for the chromatic number: A hierarchy

This paper is a study of ``topological'' lower bounds for the chromatic number of a graph. Such a lower bound was first introduced by Lov\'asz in 1978, in his famous proof of the \emph{Kneser conjecture} via Algebraic Topology. This conjecture stated that the \emph{Kneser graph} \KG_{m,n}, the graph with all $k$-element subsets of $\{1,2,...,n\}$ as vertices and all pairs of disjoint sets as edges, has chromatic number $n-2k+2$. Several other proofs have since been published (by B\'ar\'any, Schrijver, Dolnikov, Sarkaria, Kriz, Greene, and others), all of them based on some version of the Borsuk--Ulam theorem, but otherwise quite different. Each can be extended to yield some lower bound on the chromatic number of an arbitrary graph. (Indeed, we observe that \emph{every} finite graph may be represented as a generalized Kneser graph, to which the above bounds apply.) We show that these bounds are almost linearly ordered by strength, the strongest one being essentially Lov\'asz' original bound in terms of a neighborhood complex. We also present and compare various definitions of a \emph{box complex} of a graph (developing ideas of Alon, Frankl, and Lov\'asz and of \kriz). A suitable box complex is equivalent to Lov\'asz' complex, but the construction is simpler and functorial, mapping graphs with homomorphisms to $\Z_2$-spaces with $\Z_2$-maps.Comment: 16 pages, 1 figure. Jahresbericht der DMV, to appea

Sobre modelos de rearranjo de genomas

Orientador: João MeidanisTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: Rearranjo de genomas é o nome dado a eventos onde grandes blocos de DNA trocam de posição durante o processo evolutivo. Com a crescente disponibilidade de sequências completas de DNA, a análise desse tipo de eventos pode ser uma importante ferramenta para o entendimento da genômica evolutiva. Vários modelos matemáticos de rearranjo de genomas foram propostos ao longo dos últimos vinte anos. Nesta tese, desenvolvemos dois novos modelos. O primeiro foi proposto como uma definição alternativa ao conceito de distância de breakpoint. Essa distância é uma das mais simples medidas de rearranjo, mas ainda não há um consenso quanto à sua definição para o caso de genomas multi-cromossomais. Pevzner e Tesler deram uma definição em 2003 e Tannier et al. a definiram de forma diferente em 2008. Nesta tese, nós desenvolvemos uma outra alternativa, chamada de single-cut-or-join (SCJ). Nós mostramos que, no modelo SCJ, além da distância, vários problemas clássicos de rearranjo, como a mediana de rearranjo, genome halving e pequena parcimônia são fáceis, e apresentamos algoritmos polinomiais para eles. O segundo modelo que apresentamos é o formalismo algébrico por adjacências, uma extensão do formalismo algébrico proposto por Meidanis e Dias, que permite a modelagem de cromossomos lineares. Esta era a principal limitação do formalismo original, que só tratava de cromossomos circulares. Apresentamos algoritmos polinomiais para o cálculo da distância algébrica e também para encontrar cenários de rearranjo entre dois genomas. Também mostramos como calcular a distância algébrica através do grafo de adjacências, para facilitar a comparação com outras distâncias de rearranjo. Por fim, mostramos como modelar todas as operações clássicas de rearranjo de genomas utilizando o formalismo algébricoAbstract: Genome rearrangements are events where large blocks of DNA exchange places during evolution. With the growing availability of whole genome data, the analysis of these events can be a very important and promising tool for understanding evolutionary genomics. Several mathematical models of genome rearrangement have been proposed in the last 20 years. In this thesis, we propose two new rearrangement models. The first was introduced as an alternative definition of the breakpoint distance. The breakpoint distance is one of the most straightforward genome comparison measures, but when it comes to defining it precisely for multichromosomal genomes, there is more than one way to go about it. Pevzner and Tesler gave a definition in a 2003 paper, and Tannier et al. defined it differently in 2008. In this thesis we provide yet another alternative, calling it single-cut-or-join (SCJ). We show that several genome rearrangement problems, such as genome median, genome halving and small parsimony, become easy for SCJ, and provide polynomial time algorithms for them. The second model we introduce is the Adjacency Algebraic Theory, an extension of the Algebraic Formalism proposed by Meidanis and Dias that allows the modeling of linear chromosomes, the main limitation of the original formalism, which could deal with circular chromosomes only. We believe that the algebraic formalism is an interesting alternative for solving rearrangement problems, with a different perspective that could complement the more commonly used combinatorial graph-theoretic approach. We present polynomial time algorithms to compute the algebraic distance and find rearrangement scenarios between two genomes. We show how to compute the rearrangement distance from the adjacency graph, for an easier comparison with other rearrangement distances. Finally, we show how all classic rearrangement operations can be modeled using the algebraic theoryDoutoradoCiência da ComputaçãoDoutor em Ciência da Computaçã

The Sandwich Problem for Decompositions and Almost Monotone Properties

This is a post-peer-review, pre-copyedit version of an article published in Algorithmica. The final authenticated version is available online at: https://doi.org/10.1007/s00453-018-0409-6We consider the graph sandwich problem and introduce almost monotone properties, for which the sandwich problem can be reduced to the recognition problem. We show that the property of containing a graph in C as an induced subgraph is almost monotone if C is the set of thetas, the set of pyramids, or the set of prisms and thetas. We show that the property of containing a hole of length ≡ j mod n is almost monotone if and only if j ≡ 2 mod n or n ≤ 2. Moreover, we show that the imperfect graph sandwich problem, also known as the Berge trigraph recognition problem, can be solved in polynomial time. We also study the complexity of several graph decompositions related to perfect graphs, namely clique cutset, (full) star cutset, homogeneous set, homogeneous pair, and 1-join, with respect to the partitioned and unpartitioned probe problems. We show that the clique cutset and full star cutset unpartitioned probe problems are NP-hard. We show that for these five decompositions, the partitioned probe problem is in P, and the homogeneous set, 1-join, 1-join in the complement, and full star cutset in the complement unpartitioned probe problems can be solved in polynomial time as well.Maria Chudnovsky was supported by National Science Foundation Grant DMS-1550991 and US Army Research Office Grant W911NF-16-1-0404. Celina M. H. de Figueiredo was supported by Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CNPq Grant 303622/2011-3

On the (non-)existence of polynomial kernels for PlP_l-free edge modification problems

International audienceGiven a graph $G=(V,E)$ and a positive integer $k$, an edge modification problem for a graph property $\Pi$ consists in deciding whether there exists a set $F$ of pairs of $V$ of size at most $k$ such that the graph $H=(V,E\vartriangle F)$ satisfies the property $\Pi$. In the $\Pi$ \emph{edge-completion problem}, the set $F$ is constrained to be disjoint from $E$; in the $\Pi$ \emph{edge-deletion problem}, $F$ is a subset of $E$; no constraint is imposed on $F$ in the $\Pi$ \emph{edge-editing problem}. A number of optimization problems can be expressed in terms of graph modification problems which have been extensively studied in the context of parameterized complexity. When parameterized by the size $k$ of the set $F$, it has been proved that if $\Pi$ is an hereditary property characterized by a finite set of forbidden induced subgraphs, then the three $\Pi$ edge-modification problems are FPT. It was then natural to ask whether these problems also admit a polynomial kernel. Using recent lower bound techniques, Kratsch and Wahlström answered this question negatively. However, the problem remains open on many natural graph classes characterized by forbidden induced subgraphs. Kratsch and Wahlström asked whether the result holds when the forbidden subgraphs are paths or cycles and pointed out that the problem is already open in the case of $P_4$-free graphs (i.e. cographs). This paper provides positive and negative results in that line of research. We prove that \textsc{Parameterized cograph edge-modification} problems have cubic vertex kernels whereas polynomial kernels are unlikely to exist for the \textsc{$P_l$-free edge-deletion} and the \textsc{$C_l$-free edge-deletion} problems for $l\geq 7$ and $l\geq 4$ respectively. Indeed, if they exist, then $NP \subseteq coNP / poly$

Quantum no-signalling correlations and non-local games

We introduce and examine three subclasses of the family of quantum no-signalling (QNS) correlations introduced by Duan and Winter: quantum commuting, quantum and local. We formalise the notion of a universal TRO of a block operator isometry, define an operator system, universal for stochastic operator matrices, and realise it as a quotient of a matrix algebra. We describe the classes of QNS correlations in terms of states on the tensor products of two copies of the universal operator system, and specialise the correlation classes and their representations to classical-to-quantum correlations. We study various quantum versions of synchronous no-signalling correlations and show that they possess invariance properties for suitable sets of states. We introduce quantum non-local games as a generalisation of non-local games. We define the operation of quantum game composition and show that the perfect strategies belonging to a certain class are closed under channel composition. We specialise to the case of graph colourings, where we exhibit quantum versions of the orthogonal rank of a graph as the optimal output dimension for which perfect classical-to-quantum strategies of the graph colouring game exist, as well as to non-commutative graph homomorphisms, where we identify quantum versions of non-commutative graph homomorphisms introduced by Stahlke.Comment: 72 page

Algorithms for graphs of small treewidth

Veel problemen uit de praktijk kunnen worden gemodelleerd als optimaliserings- of beslis-singsproblemen op grafen. Denk bijvoorbeeld aan het probleem waarbij een koerier een aantal pakketjes moet afleveren op verschillende adressen in het land. De manager van de koerier wil dat hij een zo kort mogelijke route aflegt die begint en eindigt bij het koeriers-bedrijf, en die alle adressen aandoet. Het probleem om zo n kortste route te vinden is het zogenaamde handelsreizigersprobleem. De invoer kan worden gemodelleerd als een graaf, waarbij elke knoop in de graaf een adres vertegenwoordigt en elke kant tussen twee knopen de weg tussen de corresponderende adressen. Elke kant heeft een gewicht dat aangeeft hoe lang de corresponderende weg is. Het probleem is dan om een cykel in de graaf te vinden die alle knopen bevat en waarvoor de som van de gewichten van alle kanten in de cykel minimaal is. Helaas is het zo dat de meeste problemen op grafen die praktische problemen modelleren lastig zijn in die zin, dat er waarschijnlijk geen effici¨ ente algoritmen zijn die deze problemen oplossen. Formeel gezegd zijn deze problemen NP-lastig. Het handelsreizigersprobleem is een voorbeeld hiervan. Een manier om hiermee om te gaan is om te kijken of er in het probleem uit de praktijk een structuur zit die maakt dat het probleem effici¨ enter is op te lossen. Het kan bijvoorbeeld zo zijn dat het gegeven probleem in het algemeen lastig is, maar dat de grafen die in de praktijk voorkomen een dusdanige structuur hebben dat er wel een effici¨ ent algoritme voor het probleem bestaat. Een voorbeeld van een prettige graafstructuur is de boomstructuur: het blijkt dat veel graafproblemen die in het algemeen lastig zijn, een effici¨ ent algoritme hebben wanneer de graaf een boom is. Helaas is de boomstructuur erg beperkt: er zijn maar weinig praktische problemen die kunnen worden gemodelleerd als problemen op bomen. In dit proefschrift kij-ken we daarom naar een generalisatie van deze structuur, en dat is de boomachtige structuur: we kijken naar grafen met boombreedte hooguit k of padbreedte hooguit k, waarbij k een positief geheel getal is. Intu¨itief gezien geeft de boombreedte van een graaf de mate aan waarin de graaf op een boom lijkt: hoe groter de gelijkenis, hoe kleiner de boombreedte. Met een graaf van boom-breedte k kan een boom worden geassocieerd waarbij elke knoop van de boom correspondeert met een deelgraaf van de graaf op een zodanige manier dat elke knoop en elke kant van de graaf in tenminste een knoop van de boom voorkomt, en voor elke knoop v in de graaf geldt dat de knopen in de boom die v bevatten een verbonden deelboom vormen. Zo n boom bestaande uit deelgrafen wordt een boomdecompositie van de graaf genoemd. De breedte van de boomdecompositie is het maximaal aantal knopen van de graaf dat in ´ e´ en 233?Samenvatting knoop van de boomdecompositie voorkomt, min ´ e´ en. De boombreedte van een graaf is de minimale breedte over alle boomdecomposities van de graaf (een boom heeft boombreedte ´ e´ en). Een paddecompositie van een graaf is een boomdecompositie die de vorm heeft van een pad. De padbreedte van een graaf is de minimale breedte over alle paddecomposities van de graaf. Dus de boombreedte van een graaf is altijd ten hoogste gelijk aan z n padbreedte. Voor veel problemen zoals het handelsreizigersprobleem is er een effici¨ ent algoritme op grafen met kleine boombreedte. Het blijkt dat er veel praktische graafproblemen zijn waar-voor de invoergraaf een kleine boombreedte heeft. Bij al deze problemen helpt dit gegeven bij het vinden van een effici¨ enter algoritme. Deze algoritmen maken meestal gebruik van een boomdecompositie van de graaf met kleine breedte. Daarom is het nodig om eerst zo n boomdecompositie van de graaf te vinden. Hiervoor zijn effici¨ ente algoritmen beschikbaar, zowel sequentieel als parallel. Helaas is het zo dat veel algoritmen op grafen met een kleine boombreedte alleen in theorie efficient zijn: de looptijd van de algoritmen is vaak exponentieel in de boombreedte van de graaf. Dit geldt bijvoorbeeld voor de algoritmen voor het vinden van een boom- of paddecompositie van breedte hooguit k van een graaf, waarbij k constant is. Het doel van dit proefschrift is om effici¨ ente sequenti¨ ele en parallelle algoritmen te ont-werpen voor problemen op grafen met een kleine boom- of padbreedte. Het doel is om algoritmen te ontwerpen die niet alleen theoretisch effici¨ ent zijn, maar die ook in praktische toepassingen effici¨ ent kunnen zijn. Het proefschrift is als volgt georganiseerd. Hoofdstuk 1 geeft een inleiding. In hoofd-stuk 2 worden formele definities van boom- en padbreedte gegeven, en wordt een aantal ei-genschappen en bekende resultaten over grafen met een kleine boom- en padbreedte gegeven. Verder worden definities gegeven die worden gebruikt in de rest van het proefschrift. In hoofdstuk 3 geven we een volledige karakterisatie van grafen met padbreedte twee. Deze karakterisatie wordt vervolgens gebruikt voor een effici¨ ent sequentieel algoritme dat beslist of een graaf padbreedte ten hoogste twee heeft en, als dat zo is, een paddecompositie van minimale breedte vindt. De karakterisatie wordt ook gebruikt in de algoritmen die zijn beschreven in hoofdstuk 4. Hoofdstuk 4 gaat over twee problemen welke hun oorsprong vinden in de moleculaire biologie. In beide problemen bestaat de invoer uit een aantal copie¨ en van een DNA string welke in fragmenten zijn opgedeeld. Voor elk paar van fragmenten is informatie beschikbaar over de overlap tussen die twee fragmenten: ´ of we weten dat de fragmenten zeker overlappen, ´ of we weten dat ze zeker niet overlappen, ´ of we weten niets. Met behulp van deze informatie moet de volledige overlap informatie tussen elk tweetal fragmenten worden berekend, dat wil zeggen dat voor elk tweetal fragmenten moet worden berekend of ze wel of niet overlappen. Dit probleem heet k-INTERVALIZING SANDWICH GRAPHS of k-ISG, waarbij k het aantal copie¨ en is dat is gefragmenteerd. In de tweede variant is ook nog bekend dat alle fragmenten gelijke lengte hebben. Deze variant heet k-UNIT-INTERVALIZING SANDWICH GRAPHS of k-UISG. De invoer van beide problemen kan worden gemodelleerd als een graaf. Het blijkt dat de volledige overlap informatie alleen kan worden berekend wanneer die graaf padbreedte ten hoogste k heeft, waarbij k weer het aantal copie¨ en is. In Hoofdstuk 4 geven we een 234?Samenvatting kwadratisch algoritme voor 3-ISG, en we bewijzen dat k-ISG NP-moeilijk is wanneer k 4. Verder geven we een lineair algoritme voor 3-UISG. Hoofstukken 5 9 gaan over een speciaal soort algoritmen, namelijk reductie algorit-men. Een reductie algoritme is een algoritme waarin een reeks reducties wordt uitgevoerd op de invoergraaf. Het gedrag van de reducties is beschreven in een verzameling van reductie regels, welke afhangen van het probleem waarvoor het algoritme is. Wanneer de reductie re-gels aan bepaalde voorwaarden voldoen kan het reductie algoritme lineaire tijd gebruiken (of logaritmische tijd in het geval van een parallel reductie algoritme). De reductie algoritmen zijn eenvoudig: de moeilijkheden van het probleem zitten verstopt in de verzameling reductie regels, en niet in het algoritme. Er zijn hele klassen van problemen op grafen met begrensde boombreedte waarvoor een verzameling van reductie regels kan worden geconstrueerd. Het voordeel van reductie algo-ritmen voor het oplossen van problemen op grafen met begrensde boombreedte is dat er geen boomdecompositie van de graaf nodig is: de algoritmen werken direct op de graaf. In hoofdstuk 5 geven we een overzicht van de bestaande theorie¨ en over reductie algorit-men. We combineren verschillende bestaande idee¨ en en presenteren ze als een geheel. Dit hoofdstuk is tevens een inleiding voor hoofdstukken 6 9. Reductie algoritmen hebben als nadeel dat ze alleen optimaliserings- en beslissingspro-blemen kunnen oplossen: bij een optimaliseringsprobleem wordt alleen de optimale waarde teruggegeven, maar niet een oplossing waarvoor de waarde optimaal is. Bij beslissingspro-blemen wordt alleen het antwoord ja of nee gegeven, maar als het antwoord ja is wordt geen oplossing gegeven. In hoofdstuk 6 breiden we de theorie van reductie algoritmen uit naar constructieve reductie algoritmen welke ook een (optimale) oplossing teruggeven, mits er een is. We laten zien dat voor veel problemen op grafen met begrensde boombreedte waar-voor reductie algoritmen kunnen worden toegepast, ook de constructieve reductie algoritmen kunnen worden toegepast. In hoofdstuk 7 passen we de theorie¨ en welke zijn gepresenteerd in hoofdstukken 5 en 6 toe op een aantal optimaliseringsproblemen. In hoofdstukken 8 en 9 gebruiken we de theorie¨ en uit hoofdstuk 6, aangevuld met nieuwe idee¨ en, om effici¨ ente, constructieve parallelle reductie algoritmen te verkrijgen voor de vol-gende twee aanverwante problemen: gegeven een graaf, bepaal of hij series-parallel is, en zo ja, vind dan een sp-boom van de graaf, gegeven een graaf, bepaal of hij boombreedte hooguit twee heeft, en zo ja, maak een boomdecompositie van breedte twee van de graaf. In hoofdstuk 10 vatten we de resultaten uit dit proefschrift nog eens samen, en geven we wat richtingen aan voor verder onderzoek. Appendix A bevat een opsomming van definities van alle graafproblemen welke worden gebruikt in het proefschrift. 235?Samenvatting 23