Combinatoire algébrique liée aux ordres sur les permutations

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binairesThis thesis comes within the scope of algebraic combinatorics and studies problems related to three orders on permutations: the two said weak orders (right and left) and the strong order or Bruhat order.We first look at the action of the symmetric group on multivariate polynomials. By using the emph{divided differences} operators, one can obtain some generalisations of the Schur function and form bases of non symmetric multivariate polynomials. This construction is similar to the one of Schur functions and also allows for geometric interpretations. We study more specifically the Grothendieck polynomials which were introduced by Lascoux and Schützenberger. Lascoux proved that a product of these polynomials can be interpreted in terms of a product of divided differences. By developing this product, we reobtain a result of Lenart and Postnikov and also prove that it can be interpreted as a sum over an interval of the Bruhat order. We also present our implementation of multivariate polynomials in Sage. This program allows for formal computation on different bases and also implements many changes of bases. It is based on the action of the divided differences operators. The bases include Schubert polynomials, Grothendieck polynomials and Key polynomials. In a second part, we study the emph{Tamari lattice} on binary trees. This lattice can be obtained as a quotient of the weak order. Each tree is associated with the interval of its linear extensions. We introduce a new object called, emph{interval-posets} of Tamari and show that they are in bijection with the intervals of the Tamari lattice. Using these objects, we give the recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given tree. We also give a new proof that the generating function of the intervals of the Tamari lattice satisfies some functional equation given by Chapoton. Our final contributions deals with the $m$-Tamari lattices. This family of lattices is a generalization of the classical Tamari lattice. It was introduced by Bergeron and Préville-Ratelle and was only known in terms of paths. We give the description of this order in terms of some family of binary trees, in bijection with $m+1$-ary trees. Thus, we generalize our previous results and obtain a recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given one and a new proof of the functional equation. We finish with the description of some new $"m"$ Hopf algebras which are generalizations of the known $FQSym$ on permutations and $PBT$ on binary treesPARIS-EST-Université (770839901) / SudocSudocFranceF

Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires,

"Liste de mémoires se rapportant aux sujets traités dans cet ouvrage et publiés dans ces dernières années": p. 337-340

Idempotents de Jones-Wenzl évaluables aux racines de l’unité et représentation modulaire sur le centre de Uqsl(2)

Let p an integer. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley - Lieb algebras at 4p-th roots of unity which generalize the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group Uqsl(2), where q is a 2p-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of SL2(Z) on the center of Uqsl(2), which extends non trivially the [RT91] representation of SL2(Z).Soit p un entier. On définit une famille d’idempotents (et de nilpotents) des algèbres de Temperley-Lieb aux racines 4p-ième de l’unité qui généralisent les idempotents de Jones-Wenzl usuels. Ces nouveaux idempotents sont associés aux représentations simples et indécomposables projectives de dimension finie du groupe quantique restreint Uqsl(2), où q est une racine 2p-ième de l’unité. A l’instar de la théorie des champs quantique topologique (TQFT) de [BHMV95], ils fournissent une base canonique de classes d’écheveaux coloriés pour définir des représentations des groupes de difféotopie des surfaces. Dans le cas du tore, cette base nous permet d’obtenir une correspondance partielle entre les actions de la vrille négative et du bouclage, et la représentation de SL2(Z) de [LM94] induite sur le centre de Uqsl(2), qui éten

F. G. Teixeira e a comunidade matemática europeia nos séculos XIX-XX

Doutoramento em MatemáticaEsta dissertação descreve o processo de integração dos matemáticos portugueses na comunidade matemática internacional no final do século XIX e início do século XX, focando-se na vida e obra do matemático Francisco Gomes Teixeira (1851-1933). Tenciona a ser mais um contributo para o reconhecimento nacional e internacional do matemático Gomes Teixeira analisando a sua obra como matemático e organizador científico em Portugal através de fontes, parcialmente ainda não conhecidas. Para esse efeito analisou-se a evolução histórica que ocorreu no mundo científico daquela época, em particular a formação da comunidade matemática através de iniciativas individuais ou coletivas, muitas vezes acompanhadas pela fundação de revistas e elaboração de manuais que contribuíram para a internacionalização e, de certa forma, para uma estandardização do estudo universitário básico. Em particular foi estudada a situação em Portugal, onde o papel de liderança foi assumido por Gomes Teixeira. Mostra-se como Gomes Teixeira, graças ao seu trabalho, ao seu talento como matemático e à sua atividade como organizador académico, conseguiu reduzir significativamente o isolamento científico de Portugal na área da matemática. Estudou-se em extensão a fundação de revistas científicas em diferentes países, acompanhando a sua evolução desde de revistas nacionais até revistas internacionais. Focando-nos no Jornal de Sciencias Matemáticas e Astronómicas, fundado em 1877 por Gomes Teixeira (mais tarde conhecido internacionalmente como Teixeira’s Journal), acompanhamos detalhadamente a sua transformação de uma revista nacional numa revista internacional, sendo esta transformação comum naquela época à maioria de revistas científicas importantes de outros países como, por exemplo, no caso do Jornal de Crelle, do Jornal de Liouville, ou outros. Estudou-se igualmente o reconhecimento a nível internacional, através de referências estrangeiras, da abordagem original de Gomes Teixeira à Análise Infinitesimal patente nos seus manuais. O interesse de Gomes Teixeira pela teoria das funções analíticas e pelos seus diferentes desenvolvimentos em série manifestou-se no grande número de artigos publicados sobre este tema e encontrou reconhecimento justo pela designação de um teorema que completa resultados de Lagrange e de Laurent como Teorema de Teixeira. Na sua análise do mérito científico de Gomes Teixeira esta dissertação restringiu-se conscientemente nesta área da Análise Matemática, uma vez que um estudo abrangente de toda a obra ultrapassasse o nosso objetivo. Foi também discutido o intenso intercâmbio científico levado a cabo por Gomes Teixeira através de correspondência e troca de publicações ou permuta de revistas com os matemáticos de diferentes países. Esta análise permitiu verificar um aumento da popularidade dos matemáticos portugueses através do incremento do número de artigos publicados no estrangeiro durante quase 30 anos. Uma fonte imprescindível nesta análise foi o Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, cujas referências (em geral na língua alemã e por isso até agora quase nunca usadas na literatura Portuguesa) documentaram as publicações em quase todas as revistas matemáticas durante os anos da sua existência entre 1868 e 1942. Descreve-se a colaboração de Gomes Teixeira com diferentes organizações internacionais e documenta-se o apreço internacional por parte do mundo académico. Novos documentos traçam o processo de eleição como membro da Academia das Ciências Alemã Leopoldina, sob proposta de Georg Cantor e outros matemáticos alemães. Finalmente, incluí-se uma breve descrição das atividades levadas a cabo na Rússia, em Espanha e na Grécia em prol do processo de internacionalização da comunidade matemática europeia tendo em vista uma melhor contextualização do contributo de Gomes Teixeira para a integração de Portugal neste processo.This thesis describes the process of integration of portuguese mathematicians into the mathematical community in Europe in the late nineteenth and early twentieth century and intends to be a contribution to the national and international recognition of the mathematician Francisco Gomes Teixeira (1851-1933) based on a detailed scientific analysis of his work as mathematician and as organizer of the scientific life in Portugal in this period. To this end we analysed the historical evolution that occurred in the scientific world of that time, in particular the formation of the mathematical community through individual or collective initiatives, often accompanied by the foundation of journals and the elaboration of manuals that have contributed to the internationalization and, somehow, to a standardization of the basic university studies in Mathematics. In particular, the situation in Portugal was studied. Here the leading role was taken over by Francisco Gomes Teixeira. It is shown that thanks to his work, his talent as a mathematician and his academic organization skills Gomes Teixeira was able to considerably reduce the isolation of Portugal in the field of mathematics. We have studied at length the foundation of scientific journals in different countries, following up their evolution from national journals to international journals. Focusing on the Jornal de Sciencias Matemáticas e Astronómicas (later known internationally as Teixeira's Journal), founded in 1877 by Gomes Teixeira, we follow the transformation of a national journal into an international journal in detail. This transformation was common, at that time, to the majority of important scientific journals of other countries, as for instance, the Journal of Crelle, Journal of the Liouville, and others. We also studied the recognition at international level and through foreign references of the original approach of Gomes Teixeira, put forward in his manuals on Infinitesimal Analysis. The interest of Gomes Teixeira in the theory of analytic functions and their various series expansions resulted in a large number of articles published on this topic. This work found a well deserved recognition by the international community who designated one of his theorems that completes results of Lagrange and Laurent as Teixeira’s Theorem. In its analysis of the scientific merits of Gomes Teixeira the thesis was consciously restricted on this area of Mathematical Analysis, since a comprehensive study of all the work would surpass our goal. The intensive scientific exchange carried out by Gomes Teixeira through correspondence and exchange of publications or journals with mathematicians from different countries was also the subject of a detailed analysis. This analysis has allowed registering an increase in the popularity of Portuguese mathematicians through growth in the number of articles published abroad for almost 30 years. A indispensable source for this analysis was the Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, whose references (usually in German and thus almost never used in the Portuguese literature, so far) documented all publications in almost every mathematical journals during its existence between 1868 and 1942. This thesis also describes the colaboration of Gomes Teixeira with different international organizations and documents various awards received by Gomes Teixeira in many foreign countries, in most cases by means of documents that were previously not accessible. Copies of original documents authored by Gomes Teixeira follow the election process as member of the German Academy of Sciences Leopoldina, proposed by Georg Cantor and other german mathematicians. Finally, a short describtion of the activities of Russia, Spain and Greece to the process of the internationalization of the europian mathematical community is included, allowing a better contextualization of Gomes Teixeiras' contribution to the integration of Portugal into this process

Structures arborescentes et développements moléculaires

Le présent travail porte sur la classification de structures arborescentes selon leurs symétries. Plus précisément, il fait l'objet de celle des arbres plans, des 2-arbres k-gonaux\ud exterplanaires, des 2-arbres k-gonaux sans sommets de degré 4 et des 2-arbres polygonaux exterplanaires. Ceci est fait en déterminant le développement moléculaire de ceux-ci vus comme espèces de structures. Le développement moléculaire des arbres plans est obtenu à l'aide du théorème de dissymétrie des arbres R-enrichis (voir Bergeron,\ud Labelle et Leroux, 1994) et par l'utilisation d'une formule d'addition pour Ck(B) où B est une espèce et Ck est l'espèce des cycles orientés de longueur k. Cette formule\ud se trouve dans (Ducharme, 2005). En généralisant cette formule au cas où B est pondérée, nous obtenons le développement moléculaire des arbres plans pondérés par la distribution des degrés de leurs sommets. En ce qui a trait aux 2-arbres k-gonaux exterplanaires, une telle classification pour k = 3 a été faite dans (Labelle, Lamathe et Leroux, 2003; Lamathe 2003) et pour k = 4,5 dans (Ducharme, 2005) en utilisant des formules d'addition d'espèces auxiliaires exprimant des espèces pointées qui, à l'aide d'un théorème de dissymétrie, peuvent exprimer les espèces des 2-arbres k-gonaux exterplanaires. Le seul résultat manquant dans (Ducharme, 2005), pour obtenir le développement moléculaire des 2-arbres k-gonaux exterplanaires, est celui des 2-arbres\ud k-gonaux exterplanaires pointés en un polygone. Celui-ci est obtenu par l'énumération de classes diédrales de mots dont les lettres représentent chacune un type d'isomorphie de 2-arbres k-gonaux exterplanaires pointés en une arête orientée. C'est aussi par l'énumération de classes diédrales que nous obtenons une nouvelle formule d'addition de Pn donnant le développement moléculaire de Pn(B) en fonction de celui\ud des puissances de l'espèce B où Pn est l'espèce des polygones de taille n (cycles non orientés de longueur n). Les espèces apparaissant dans cette formule sont de la forme Pbic 2i (N, M, L) ou Cj(K) où K, L, M et N sont des espèces moléculaires, i|k, j|k et Pbic 2i (X, Y, Z) est une espèce moléculaire de polygones bicolorés. Nous donnons également une condition pour déterminer si Pbic 2i (

Une signature du polymorphisme structural d’acides ribonucléiques non-codants permettant de comparer leurs niveaux d’activités biochimiques

Des évidences expérimentales récentes indiquent que les ARN changent de structures au fil du temps, parfois très rapidement, et que ces changements sont nécessaires à leurs activités biochimiques. La structure de ces ARN est donc dynamique. Ces mêmes évidences notent également que les structures clés impliquées sont prédites par le logiciel de prédiction de structure secondaire MC-Fold. En comparant les prédictions de structures du logiciel MC-Fold, nous avons constaté un lien clair entre les structures presque optimales (en termes de stabilité prédites par ce logiciel) et les variations d’activités biochimiques conséquentes à des changements ponctuels dans la séquence. Nous avons comparé les séquences d’ARN du point de vue de leurs structures dynamiques afin d’investiguer la similarité de leurs fonctions biologiques. Ceci a nécessité une accélération notable du logiciel MC-Fold. L’approche algorithmique est décrite au chapitre 1. Au chapitre 2 nous classons les impacts de légères variations de séquences des microARN sur la fonction naturelle de ceux-ci. Au chapitre 3 nous identifions des fenêtres dans de longs ARN dont les structures dynamiques occupent possiblement des rôles dans les désordres du spectre autistique et dans la polarisation des œufs de certains batraciens (Xenopus spp.).Recent experimental evidence indicates that RNA structure changes, sometimes very rapidly and that these changes are both required for biochemical activity and captured by the secondary structure prediction software MC-Fold. RNA structure is thus dynamic. We compared RNA sequences from the point of view of their structural dynamics so as to investigate how similar their biochemical activities were by computing a signature from the output of the structure prediction software MC-Fold. This required us to accelerate considerably the software MC-Fold. The algorithmic approach to this acceleration is described in chapter 1. In chapter 2, point mutations that disrupt the biochemical activity of microRNA are explained in terms of changes in RNA dynamics. Finally, in chapter 3 we identify dynamic structure windows in long RNA with potentially significant roles in autism spectrum disorders and separately in Xenopus ssp. (species of frogs) egg polarisation