Leçons de Mathématiques contemporaines à l'IRCAM

MasterCe petit livre rassemble et complète des «leçons de Mathématiques contemporaines» données par l’auteur à l’IRCAM en 2008/2009, devant un public d’intellectuels venant d’horizons divers. Son propos est de donner accès à la pensée mathématique d’aujourdhui, en présentant, au cours de chaque leçon, un concept central, une idée-force des Mathématiques à des non-mathématiciens. Il ne s’agit pas d’un cours au sens usuel: il n’y a ni parcours graduel univoque, ni visée de transmission d’un quelconque savoir-faire mathématique

Introduction a une histoire conceptuelle de théories de Galois

In this work, we support the idea of a Historical Epistemology of Mathematics by establishing a filiation Hegel – Bachelard – Cavaillès – Lautman. We propose to analyse three historical types of Galois theories formulated from the 1830s to the 2000s, which we name: 1) heuristic Galois theories, 2) structural Galois theories and 3) categorical Galois theories. To do that, we use ‘’historical operators’’, in particular those of Cavaillès – ‘’paradigm’’ and ‘’thematization’’ – and we analyse the links of our approach with the Historical Epistemology of Bachelard, which we contribute to renew.Dans cet article, nous motivons la perspective d’une épistémologie historique des mathématiques à partir d’une filiation Hegel – Bachelard – Cavaillès – Lautman. Nous proposons alors d’articuler conceptuellement trois types historiques de théories de Galois qui ont été formulées de 1830 à la fin du XXème siècle et que nous nommons : 1) les théories heuristique de Galois, 2) les théories structurales de Galois et 3) les théories catégoriques de Galois. Pour cela on utilise des ‘’opérateurs historiques’’, dont en particulier ceux de Cavaillès – le ‘’paradigme’’ et la ‘’thématisation’’– et on analyse les liens de notre approche avec l'épistémologie historique de Bachelard, que l’on contribue ainsi à renouveler.

A Geometria é mais do que seus Axiomas: Filosofia do Espaço e Ontogenia da Natureza

Les théories mathématiques cherchant à comprendre les structures géométriques et topologiques du monde naturel et de celui de la perception, ainsi que les relations qui se tissent entre eux, sont ouvertes et incomplètes. Le champ conceptuel de la géométrie ne peut pas être réduit à un système fini d’axiomes. D’abord, la recherche de la signification des concepts mathématiques ne s’identifie pas à la logique de leur démonstration; et la vérité des propositions doit aussi être distinguée de leur démonstration (cf. les exemples de mathématiques et de physiques non dénombrables). Ensuite, on peut associer à la géométrie (ou à d’autres domaines des mathématiques) un certain pouvoir morphogénétique, donc ontogénétique - cf. l’exemple des symétries et celui des formes naturelles, et les repliements/entrelacements dans le monde vivant. La géométrie est un ‘langage’ pluridimensionnel et polysémique: langage de l’imagination et de l’invention de concepts, et aussi de la nature et du vivant. Les concepts de groupe et de nœud sont transversaux: ils recoupent les différentes dimensions et significations de ce qu’est la géométrie.As teorias matemáticas que buscam entender as estruturas geométricas e topológicas do mundo natural e da percepção, bem como as relações que se estabelecem entre elas, são abertas e incompletas. O campo conceitual da geometria não pode ser reduzido a um sistema finito de axiomas. Primeiramente, a investigação do significado dos conceitos matemáticos não se identifica à lógica da demonstração deles; também a verdade das proposições deve ser separada da demonstração delas (cf. os exemplos da matemática e da física não contáveis). Segundamente, se pode associar à geometria (como também a outros domínios da matemática) um certo poder morfogenético, então ontogenético ”“ cf. os exemplos das simetrias e das formas naturais, e aquele das dobras e entrelaçamentos no mundo dos vivos. A geometria pode ser concebida como uma ‘linguagem’ pluridimensional e polissêmica: como linguagem da imaginação e da invenção de conceitos, e também linguagem da natureza e dos seres vivos. Os conceitos de grupo e de nó são transversais, no sentido que correspondem às diferentes dimensões e significados do que é geometria

L'espace physique vu du monde quantique : une approche épistémologique

Physical thought - and, up to a certain point, mathematical thought, at least geometrical one has always leaned upon the notion of space, as for example, the concept of spacial dimension that has given rise to the idea of mathematically expressed physical magnitude. Up to the general relativity theory, and including it, the conceptions about physical systems and their generated phenomena have been dependent on a thinking of space, and these phenomena and systems are, in general, thought in space, even if they have contributed to modify the ideas about space and if they have obliged to reformulate our «spacial intuition». Quantum physics has challenged this quiet assurance by putting the thinking of space and in space in front of the following dilemma : either to keep the concept of physical space in the preceding sense, that seems natural to us, and to give up the idea that «quantum systems» could be represented directly in this space as systems endowed with properties of their own ; either to admit that it is meaningful to speak of quantum systems having properties, and take away the primacy of space in the representation of these systems.By taking this second point of view, one is led to think physics differently than «in space» in the usual sense, and nevertheless one will always have, at some time or another, to consider quantum physical systems by referring them to this space, that is the one of macroscopic bodies and of the cosmos in its present stage. To wonder how such a thought is possible brings forth therefore, at the same time, to question the relationship between the quantum world and the physical space of our experience. For such a wondering it is needed to inventory the modifications of the concept of space that are required by the physical description of quantum systems. We shall conclude by evoking the idea of an emergence of the concept of space from quantum phenomena, from the epistemological point of view (emergence of a certain level of reality from underlying levels) on the one hand, as well as from the cosmogenetic point of view (formation and expansion of the physical space of macroscopic objects) on the other hand.La pensée physique - et, jusqu'à un certain point, la pensée mathématique, du moins géométrique - s'est toujours appuyée sur la notion d'espace, comme par exemple le concept de dimension spatiale qui a donné l'idée de grandeur physique mathématisée. Jusqu'à la théorie de la relativité générale, celle-ci comprise, les conceptions des systèmes physiques et des phénomènes dont ils sont le siège ou l'origine ont été tributaires d'une pensée de l'espace, et ces phénomènes et ces systèmes sont, en général, pensés dans l'espace, même s'ils ont contribué à modifier la pensée de l'espace et s'ils ont obligé à reformuler notre «intuition spatiale». La physique quantique a remis en question cette certitude tranquille en mettant la pensée de l'espace et dans l'espace devant le dilemme suivant : ou bien garder le concept d'espace physique dans le sens précédent qui nous semble naturel et renoncer à l'idée que les «systèmes quantiques» pourraient être représentés directement dans cet espace comme des systèmes dotés de propriétés qui leur soient propres ; ou bien admettre que cela a un sens de parler de systèmes quantiques ayant des propriétés et enlever à l'espace son rôle premier dans la représentation de ces systèmes. En prenant ce second point de vue, on est amené à penser la physique autrement que «dans l'espace» au sens habituel ; et cependant, on a toujours, à un moment ou à un autre, à envisager les systèmes physiques quantiques en référence à cet espace, qui est celui des corps macroscopiques et du cosmos dans son état actuel. Se demander comment une telle pensée est possible amène donc en même temps à s'interroger sur le rapport entre le monde quantique et l'espace physique de notre expérience. Cette interrogation passe par un inventaire des modifications du concept d'espace requises par la description physique des systèmes quantiques. On concluera en évoquant l'idée d'une émergence du concept d'espace à partir des phénomènes quantiques, tant du point de vue épistémologique (émergence d'un certain niveau de réalité à partir de niveaux sous-jacents) que du point de vue cosmogénétique (formation et expansion de l'espace physique des objets macroscopiques)

ФРАНЦУЗСКИЙ ЯЗЫК Le Français

Основная цель данного учебного пособия — обучение студентов чтению профессионально ориентированных текстов. Учебное пособие состоит из трех больших разделов по заявленным дисциплинам: «Математика», «Информационные технологии», «Физика». Текстовые материалы информативны, тщательно отобраны и представляют собой аутентичные тексты из различных источников, в том числе специальных научных журналов. Имеются тексты для самостоятельной работы и приложения. Даны способы контроля знаний. Предназначено для студентов физико-математических специальностей учреждений высшего образования

Représentations et Structures Géométriques

This memoir consists in a survey of my mathematical works, focusing essentialyon character varieties for fundamental groups of 3-manifolds.Two major influences converge in these researchs : first the study of hyperbolic structureson 3-manifolds (Thurston, Neumann-Zagier...) and second the construction of coordinatesfor character varieties of fundamental groups of surfaces (Fock-Goncharov...). The tools I(among others) developped may be used for an experimental study of these character va-rieties (through formal computations) as well as a more theoretical treatment. Some ques-tions of a more geometric flavor arise, as e.g. the construction of new geometric structureson 3-manifolds or the study of the discreteness of representations.Ce mémoire présente mes travaux mathématiques et se concentre plus particu-lièrement sur l’étude des variétés de caractères de groupes fondamentaux de variétés dedimension 3.Ces recherches, fortement inspirées d’une part de travaux sur les structures hyperboliquessur les variétés de dimension 3 à pointes (Thurston, Neumann-Zagier...) et d’autre partsur des coordonnées pour les variétés de caractères de groupes fondamentaux de surfaces(Fock-Goncharov...), permettent une étude aussi bien fois expérimentale, via le calcul for-mel, que théorique de ces variétés de caractères. Ils ouvrent aussi la voie à des questionsplus géométriques : constructions de structures géométriques sur des variétés de dimen-sion 3 ou encore étude de la discrétude des représentations

La logique quantique comme fondement de la métaphysique de la mécanique quantique

Notre thèse est une analyse philosophique dont le but est de spécifier la métaphysique de la mécanique quantique et d'en déterminer les fondements logiques. Depuis le début de sa formulation, des problèmes d'interprétation ont surgi en mécanique quantique. La cause principale de ces problèmes est, d'après nous, le choix d'une métaphysique, entendue comme positionnement par rapport à l'existence des entités théoriques étudiées par la mécanique quantique. D'autre part, il existe en philosophie des sciences un débat entre le réalisme scientifique et ses opposants antiréalistes. En philosophie analytique, Dummett a déplacé les débats métaphysiques du terrain de l'ontologie vers le terrain logico-sémantique. En effet, selon son analyse, les débats métaphysiques sont des débats à propos du choix d'une logique. Selon Dummett, une métaphysique réaliste a pour fondement la logique classique et une métaphysique antiréaliste a pour fondement une logique non classique. Par contre, le choix d'une logique doit être justifié par une théorie sémantique qui doit elle-même être justifiée par un modèle de la signification. L'approche logico-algébrique de la mécanique quantique a donné naissance à la logique quantique comme champ de recherche. Ce champ de recherche tente de déterminer la structure logique de la mécanique quantique par des structures d'ordre ou algébriques. Par exemple, la logique classique est interprétée par une algèbre de Boole tandis que la logique quantique standard est interprétée par la structure de treillis orthomodulaire. Nos hypothèses sont que la métaphysique de la mécanique quantique est antiréaliste et que la structure formelle de la logique quantique est une algèbre booléenne partielle transitive. Nous faisons l'hypothèse additionnelle que la logique quantique que nous défendons possède une assignation de valeurs de vérité probabilitaire conditionnelle dans laquelle la valeur de vérité d'un énoncé quantique est identifiée à la probabilité que lui attribue la théorie quantique et est conditionnelle à l'état du système quantique. Pour la détermination de la métaphysique de la mécanique quantique, la méthode utilisée est l'application de l'analyse dummettienne des débats métaphysiques à la classe des énoncés de la mécanique quantique. Pour la détermination de la logique quantique, nous nous inscrivons dans l'approche logico-algébrique de la mécanique quantique. Le choix de la structure algébrique ainsi que celui de l'assignation de valeurs de vérité sont justifiés par des contraintes sémantiques provenant de la théorie sémantique quantique et du modèle de la signification. L'analyse dummettienne appliquée à la classe des énoncés quantiques soutient un antiréalisme radical puisque, pour cette classe, la bivalence est inacceptable et le modèle de signification est le modèle justificationniste. En montrant que les conjonctions et disjonctions d'énoncés quantiques portant sur des observables incompatibles n'ont pas de signification, le modèle justificationniste de la signification justifie la structure algébrique que nous proposons. La signification des énoncés quantiques revient à une signification expérimentale. De plus, la signification des énoncés quantiques revient à une signification expérimentale. De plus, la théorie sémantique quantique que nous avons construite dont l'assignation probabilitaire fait partie, est justifiée également par le modèle justificationniste de la signification. L'originalité majeure de notre recherche est sa méthode, c'est-à-dire le fait de combiner une analyse dummettienne de la métaphysique de la mécanique quantique et une exploration des logiques quantiques existantes. Autant pour la spécification de la métaphysique que pour la détermination de la logique quantique, les justifications sont issues, en fin de compte, du modèle de la signification qui s'applique à la classe des énoncés quantiques. Un autre point important et original de notre thèse est la construction de la théorie sémantique quantique qui permet d'expliquer la compositionnalité des énoncés quantiques. Grâce à la théorie sémantique quantique, la logique quantique que nous proposons, en l'occurrence la logique quantique booléenne partielle, est vérifonctionnelle. Plutôt que de nous servir des arguments habituels que nous rencontrons en sciences et en philosophie des sciences pour prendre position dans le débat opposant le réalisme et l'antiréalisme qui a lieu en mécanique quantique, nous nous servons d'une thèse que Dummett a développée en philosophie analytique pour y parvenir. Notre recherche vient appuyer, par le biais de la philosophie analytique, tout un courant de pensée antiréaliste à propos de la mécanique quantique qui existe en physique et en philosophie des sciences. Notre contribution se situe sur le plan de l'interprétation logique et métaphysique de la mécanique quantique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Philosophie de la physique, Mécanique quantique, Métaphysique, Dummett, Logique quantique, Structures algébriques et d'ordre