Relaxations and discretizations for the pooling problem

The pooling problem is a folklore NP-hard global optimization problem that finds applications in industries such as petrochemical refining, wastewater treatment and mining. This paper assimilates the vast literature on this problem that is dispersed over different areas and gives new insights on prevalent techniques. We also present new ideas for computing dual bounds on the global optimum by solving high-dimensional linear programs. Finally, we propose discretization methods for inner approximating the feasible region and obtaining good primal bounds. Valid inequalities are derived for the discretized models, which are formulated as mixed integer linear programs. The strength of our relaxations and usefulness of our discretizations is empirically validated on random test instances. We report best known primal bounds on some of the large-scale instances

GALINI: an extensible solver for mixed-integer quadratically-constrained problems

Many industrial relevant optimization problems can be formulated as Mixed-Integer Quadratically Constrained Problems. This class of problems are difficult to solve because of 1) the non-convex bilinear terms 2) integer variables. This thesis develops the Python library \suspect{} for detecting special structure (monotonicity and convexity) of Pyomo models. This library can be extended to provide specialized detection for complex expressions. As a motivating example, we show how the library can be used to detect the convexity of the reciprocal of the log mean temperature difference. This thesis introduces GALINI: a novel solver that is easy to extend at runtime with new 1) cutting planes, 2) primal heuristics, 3) branching strategies, 4) node selection strategies, and 5) relaxations.GALINI uses Pyomo to represent optimization problems, this decision makes it possible to integrate with the existing Pyomo ecosystem to provide, for example, building blocks for relaxations. We test the solver on two large datasets and show that the performance is comparable to existing open source solvers. Finally, we present a library to formulate pooling problems, a class of network flow problems, using Pyomo. The library provides a mechanism to automatically generate the PQ-formulation for pooling problems. Since the library keeps the knowledge of the original network, it can 1) use a mixed-integer programming primal heuristic specialized for the pooling problem to find a feasible solution, and 2) generate valid cuts for the pooling problem. We use this library to develop an extension for GALINI that uses the mixed-integer programming primal heuristic to find a feasible solution and that generates cuts at every node of the branch & cut algorithm. We test GALINI with the pooling extensions on large scale instances of the pooling problem and show that we obtain results that are comparable to or better than the best available commercial solver on dense instances.Open Acces

Aspects of quadratic optimization - nonconvexity, uncertainty, and applications

Quadratic Optimization (QO) has been studied extensively in the literature due to its application in real-life problems. This thesis deals with two complicated aspects of QO problems, namely nonconvexity and uncertainty. A nonconvex QO problem is intractable in general. The first part of this thesis presents methods to approximate a nonconvex QP problem. Another important aspect of a QO problem is taking into account uncertainties in the parameters since they are mostly approximated/estimated from data. The second part of the thesis contains analyses of two methods that deal with uncertainties in a convex QO problem, namely Static and Adjustable Robust Optimization problems. To test the methods proposed in this thesis, the following three real-life applications have been considered: pooling problem, portfolio problem, and norm approximation problem

Une approche exacte de résolution de problèmes de pooling appliquée à la fabrication d'aliments

Cette thèse intitulée Une approche exacte de résolution de problèmes de pooling appliquée à la fabrication d aliments , porte sur la résolution (par des méthodes exactes d optimisation) de problèmes industriels liés à la fabrication d aliments. Ces problèmes industriels traitent de l aide à la décision pour la fabrication d aliments pour des animaux et se rapprochent de problèmes biens connus de la littérature scienti que, à savoir les problèmes de pooling. La méthode présentée dans cet exposé permet de résoudre les problèmes d optimisation bilinéaires issus de cette problématique industrielle. Elle est basée un branch-and-bound résolvant des linéarisations. Une approche lagrangienne a aussi été explorée et testée pour calculer des bornes inférieures.A global approach to solve pooling problem applied to feed mix industry deals with the resolution of non linear non convex optimization problem which can occur in the feed mix industry. Feed mix industry problems are close to pooling problem, well-known in the literature. They are aimed to help decision maker in formulating feed, ie. To decide how to blend raw material to make a product satisfying nutrient and production constraints. The brand-and-bound algorithm presented in this these is aimed to solved large-scaled bilinear problems with bilinear constraints. A lagrangian approach has also been developed to obtain valid lower bound.SAVOIE-SCD - Bib.électronique (730659901) / SudocGRENOBLE1/INP-Bib.électronique (384210012) / SudocGRENOBLE2/3-Bib.électronique (384219901) / SudocSudocFranceF

Contributions à la résolution globale de problèmes bilinéaires appliqués à l'industrie porcine

Cette thèse porte sur l'élaboration et l'étude de modèles représentant l'alimentation de porcs en croissance. Elle présente deux objectifs principaux. Un objectif pratique et un objectif théorique. L'objectif pratique consiste à développer de nouvelles méthodes d'alimentation a n de réduire les coûts d'alimentation et de prendre en compte les rejets environnementaux. L'objectif théorique consiste en une étude approfondie du modèle bilinéaire appliqué à l'industrie porcine a n d'obtenir des résultats tant numériques que théoriques. Aujourd'hui, l'alimentation représente plus de 70% du coût de production en engraissement porcin et dans le contexte économique actuel, il est important de parvenir à réduire ce coût. L'alimentation utilisée actuellement dans l'industrie porcine est une alimentation par phase, représentée par un modèle linéaire. L'alimentation par mélanges telle qu'elle a été introduite récemment est représentée par une modèle bilinéaire et permet une réduction du coût de l'alimentation de plus de 4%. Nous introduisons ici une nouvelle méthode de formulation qui est une combinaison de l'alimentation traditionnelle et de l'alimentation par mélanges : la méthode hybride. Nous montrons que la mise en place d'une telle alimentation permet de réaliser une économie de plus de 5%. L'industrie porcine étant fréquemment citée comme activit é polluante, notamment à cause de l'apport important de phosphates et de nitrates lors de l'épandage de lisier, nous devons faire notre possible pour réduire la quantité de phosphore et d'azote contenue dans le lisier. Une façon de réduire ces rejets est d'agir sur l'alimentation. Nous utilisons une approche tricritère, la méthode des ε-contraintes, a n d'obtenir un spectre des solutions possibles permettant de réduire les rejets. Cette approche permet de tracer la surface des courbes de niveaux et nous pouvons ainsi proposer un graphique facilitant la lecture des résultats. Chaque utilisateur pourra alors déterminer le coût d'une alimentation correspondant à ses critère sur les rejets environnementaux. Nous avons appliqué cette méthode sur les modèles d'alimentation par mélange et sur la nouvelle modélisation hybride. La partie principale de ce manuscrit porte sur l'optimisation globale du problème bilinéaire, et donc non convexe, modélisant l'alimentation par mélanges. La bilinéarité apparaît dans ce modèle tant dans la fonction objectif que dans les contraintes ce qui nous empêche de le traiter comme un problème de minimisation d'une fonction concave. Nous ne pouvons donc pas utiliser les méthodes de type SLP (sequential linear programming). Ce problème peut poss éder plusieurs minima, mais nous souhaitons en obtenir un minimum global. Ce problème est équivalent à un problème de pooling et nous montrons que c'est un problème fortement NP-di cile. Après une analyse de premiers résultats, nous énonçons la conjecture que tout minimum local est une minimum global pour ce problème bilinéaire appliqué à l'industrie porcine. Nous prouvons cette conjecture sur des exemples de dimension réduit. Étant donné que notre problème ne peut pas être résolu avec des solveurs globaux à cause de sa dimension, nous appliquons alors des méthodes de relaxation telle que la pénalisation des termes bilinéaires, leur discrétisation, ou encore des techniques classiques de relaxation lagrangienne ou convexe. Toutes les approches que nous présentons supporte notre conjecture. En n, nous réalisons une étude de la robustesse des solutions à la variation des prix des matières premières. En utilisant une méthode de minimisation en pire cas, nous montrons qu'utiliser le prix moyen des ingrédients sur une année donne une bonne estimation du coût moyen de l'alimentation tout au long de l'année. En n, l'optimisation biniveau nous permet de déterminer le contexte de prix le plus et le moins favorable à la mise en place d'une alimentation par mélanges, c'est-à-dire quand la di érence de coût entre l'alimentation traditionnelle et l'alimentation par mélanges est la plus grande et la plus petite respectivement. Nous terminons ce manuscrit par la présentation du fonctionnement de l'alimentation de précision. De manière générale, l'aliment est apporté collectivement aux porcs, mais les besoins peuvent di érer d'un animal à l'autre. L'alimentation de précision permet d'apporter l'aliment de manière individualisée au porc en fonction de ses besoins. Nous présentons alors le mode de fonctionnement d'une porcherie puis le modèle mathématique permettant de dé- terminer l'alimentation à moindre coût pour tout un troupeau ainsi que les résultats utilisant une alimentation par mélanges. La réduction moyenne du coût de l'alimentation pour des troupeau ayant une taille de 5 à 55 animaux est de 10.03%. Nous montrons également que les quantités de phosphore et d'azote ingérées sont réduites. Ce chapitre n'est qu'une étude préliminaire et sera approfondi lors de futures recherches.Abstract: This thesis deals with the development and the study of new models representing the feeding system of growing- nishing pigs. There are two main goals. A practical objective and a theoretical objective, a practical one and a theoretical one. The practical aim consists in developing new feed formulation that reduces feed costs and that consider environmental excretion. The theoretical aim consists in a study of a bilinear diet problem applied in the pig industry to get numerical and theoretical results. Today, feed represents more than 70% of the production cost in growing- nishing pig industry. In the current economic context, it is important to reduce it. The feeding system currently used in the industry is a phase feeding system, modeled in a linear program. The feeding system using feeds introduced recently is modeled by a bilinear program and leads to a feed cost reduction of 4%. We introduce here a new feeding system which is a combination of the traditional feeding system using phases and the feeding system using feeds. We call it the hybrid feeding system. We show that use this feeding system leads to a feed cost reduction of more than 5%. As the pig industry is frequently cited as a major polluting activity, in particular because of the high level of phosphates and nitrates in the manure spreading, we must do our best to reduce the phosphorus and nitrogen excretion. One way to reduce them is to act on the feed. We use a tricriteria approach, the ϵ-constraints method, to get a spectrum of feasible solutions that reduce excretion. Using this approach, we can plot contour lines and thus have a graph facilitating the results reading. Every user can then determine the feed cost that corresponds to the wanted excretion. We applied this method on the feeding system using feeds and the hybrid feeding system. The main part of this manuscript focuses on the global optimization, and then non-convex, that model the feeding system using feeds. The bilinearity appears in the objective function and in the constraints, which prevent to take it as the minimization of a concave objective function. Thus we cannot use SLP (sequential linear programming) methods. This problem can have several minima, but we want to nd a global one. It can be seen as a pooling problem and we show that it is a strongly NP-hard problem. After a study of preliminary results, we state the conjecture that any local minimum is a global minimum for the considered instances of the diet problem applied in the pig industry. We prove this conjecture for a small size problem.As our problem cannot be solved by global solvers because of its size, we apply relaxation methods such as penalization of bilinear terms, discretizations, or classical relaxation technic (Lagrangian or convex). All these approaches support our conjecture. In the next part we do a robustness study of the solution to the price raw materials. Using a worst case minimization method, we show that use the mean cost of the ingredient over a year is a good estimate of the mean cost of the feed all over the year. At last, using bilevel optimization, we determine the best price scenario, the one maximize the feed cost reduction, and the worst-case scenario, the one minimizing the feed cost reduction, between the feeding system using feeds and the traditional feeding system. Finally, we conclude this manuscript with the presentation of the precision feeding system. In a general manner, the feed is brought collectively to the pigs, even if the nutritional requirements of each pig is di erent. The precision feeding system brings the feed individually to each pig depending of its requirements. In this chapter, we present how works a pigsty and the mathematical model to determine least cost feed for the herd and the results of the feeding system using feeds. The mean reduction cost for herds having a size from 5 to 55 pigs is 10.03%. We also show that the amount of phosphorus and nitrogen intake can be considerably reduced. This chapter is a preliminary study and will be deepened later