Staggered grids discretization in three-dimensional Darcy convection

We consider three-dimensional convection of an incompressible fluid saturated in a parallelepiped with a porous medium. A mimetic finite-difference scheme for the Darcy convection problem in the primitive variables is developed. It consists of staggered nonuniform grids with five types of nodes, differencing and averaging operators on a two-nodes stencil. The nonlinear terms are approximated using special schemes. Two problems with different boundary conditions are considered to study scenarios of instability of the state of rest. Branching off of a continuous family of steady states was detected for the problem with zero heat fluxes on two opposite lateral planes.Comment: 20 pages, 9 figure

Semi-Structured multigrid methods on Voronoi meshes to the resolution of the Darcy-Oberbeck-Boussinesq model

La mayoría de los problemas en física e ingeniería se modelan mediante ecuaciones en derivadas parciales. Como mayores exponentes de este hecho tenemos las ecuaciones de Maxwell, el problema elástico o las ecuaciones de Navier-Stokes. La resolucíon de las ecuaciones en derivadas parciales se basa en el uso de métodos numéricos que están basados en un proceso de discretización. Lo cual, conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones algebraicas cuya resolución puede llegar a ser muy costosa. Por tanto, desarrollar métodos eficientes repercute en la posibilidad de realizar más ensayos con un menor costo de recursos. Hay dos grandes grupos de resolución de estos sistemas de ecuaciones, uno serian los métodos basados en el método del gradiente conjugado, y el otro los métodos multimalla. Es importante remarcar, que los métodos multimalla se pueden usar como precondicionadores de los métodos de gradiente conjugado. Esta tesis, se va a centrar en los métodos multimalla. Los métodos multimalla, son conocidos por ser muy rápidos resolviendo problemas de tipo parabólico y elíptico. Dentro de los métodos multimalla, nos encontramos dos familias. Los métodos geométricos son especialmente rápidos y tienen un bajo consumo de memoria, pero tienen la limitación de que el dominio debe ser regular y la malla estructurada, lo que limita su aplicación. Por otra parte, tenemos los métodos algebraicos, los cuales son mas lentos y requieren más memoria pero se pueden aplicar a dominios de cualquier complejidad. Una alternativa que pretende obtener lo mejor de ambos métodos es el uso de métodos geométricos en mallas semi-estructuradas. Estos consisten en crear una malla inicial no estructurada que se adapte a la geometría del dominio para posteriormente, refinar regularmente esta malla inicial hasta alcanzar la precisión deseada. De esta manera, obtenemos una malla que se adapta al dominio, y dentro de esta malla, dominios estructurados donde podemos aplicar métodos multimalla geométricos. Se han realizado estudios con mallas rectangulares y con triangulares, estas ultimas con nodos en los vértices. Generalmente, las mallas utilizadas para triangular un dominio son las mallas de Delaunay porque se construyen muy rápidamente y además, tienden a dar una triangulación con pocos triángulos puntiagudos y muchos triángulos acutángulos. La malla dual de Delaunay es conocida como malla de Voronoi. La línea que une los vértices de Voronoi es perpendicular a la triangulación de Delaunay. Por tanto, su uso para discretizar ecuaciones en derivadas parciales es muy interesante, ya que para discretizar las derivadas en la dirección normal basta con un cociente de diferencias. Utilizaremos triángulos acutángulos, por lo que el punto de Voronoi siempre estará dentro del triángulo. Pero su posición cambia en función de la forma del triángulo, lo cual, puede dar lugar a grandes anisotropías debidas al mallado y no al problema. Uno de los componentes más importantes de los métodos multimalla es el suavizador. El estudio de suavizadores para mallas centradas en celdas es escaso y nulo para mallas semi-estructuradas. Por tanto, el estudio de nuevos suavizadores es uno de nuestros objetivos. Para ello, deberemos estudiar la complejidad del problema y diseñar nuevos suavizadores que sean capaces de tratar con esta anisotropía inducida por la malla. A la vez que desarrollamos el método multimalla genérico, nos centraremos en la resolución del modelo Darcy-Oberbeck-Boussinesq. Este modelo tiene a su vez un sistema de ecuaciones de tipo mixto con incógnitas de presión y de velocidad. Por tanto, deberemos extender lo estudiado para resolver este sistema. Localizaremos las proyecciones de la velocidad en los lados de los triángulos. En este punto tenemos dos opciones, el uso de suavizadores de tipo Vanka, dentro del cual deberemos resolver cada vez un sistema de ecuaciones de tipo punto silla, o de tipo distributivo. Como no podemos saber de antemano cual sería mas eficiente, deberemos analizar ambos. El modelo Darcy-Oberbeck-Boussinesq, es un modelo que se utiliza para calcular el comportamiento de flujos en medios porosos saturados, los cuales son movidos por diferencias de densidad dentro del fluido. Este modelo puede ser utilizado en el problema de almacenaje de CO2 en acuíferos salinos. Notemos que la velocidad y la concentración están acopladas, haciendo que el problema sea altamente no lineal. De hecho, al poco tiempo del comienzo del proceso se crean inestabilidades difícilmente modelizables que exigen pasos de tiempo muy pequeños

A multigrid multilevel Monte Carlo method for transport in the Darcy–Stokes system

A multilevel Monte Carlo (MLMC) method for Uncertainty Quantification (UQ) of advection-dominated contaminant transport in a coupled Darcy–Stokes flow system is described. In particular, we focus on high-dimensional epistemic uncertainty due to an unknown permeability field in the Darcy domain that is modelled as a lognormal random field. This paper explores different numerical strategies for the subproblems and suggests an optimal combination for the MLMC estimator. We propose a specific monolithic multigrid algorithm to efficiently solve the steady-state Darcy–Stokes flow with a highly heterogeneous diffusion coefficient. Furthermore, we describe an Alternating Direction Implicit (ADI) based time-stepping for the flux-limited quadratic upwinding discretization for the transport problem. Numerical experiments illustrating the multigrid convergence and cost of the MLMC estimator with respect to the smoothness of permeability field are presented

Central Schemes for Porous Media Flows

We are concerned with central differencing schemes for solving scalar hyperbolic conservation laws arising in the simulation of multiphase flows in heterogeneous porous media. We compare the Kurganov-Tadmor, 2000 semi-discrete central scheme with the Nessyahu-Tadmor, 1990 central scheme. The KT scheme uses more precise information about the local speeds of propagation together with integration over nonuniform control volumes, which contain the Riemann fans. These methods can accurately resolve sharp fronts in the fluid saturations without introducing spurious oscillations or excessive numerical diffusion. We first discuss the coupling of these methods with velocity fields approximated by mixed finite elements. Then, numerical simulations are presented for two-phase, two-dimensional flow problems in multi-scale heterogeneous petroleum reservoirs. We find the KT scheme to be considerably less diffusive, particularly in the presence of high permeability flow channels, which lead to strong restrictions on the time step selection; however, the KT scheme may produce incorrect boundary behavior

Effect of Discretization of Permeability Term and Mesh Size on Macro- and Meso-segregation Predictions

Macro- and meso-segregations correspond to heterogeneities of composition at the scale of a casting. They develop during the solidification. One of the parameters that has an essential effect on these segregations is the mush permeability which varies over a wide range of magnitude. We present simulation results for solidification of Sn-Pb alloy in a two-dimensional cavity. The role of discretization schemes and mesh size on the formation of channel segregates and macrosegregation is discussed

An exploratory multi-scale framework to reservoir digital twin

In order to make full use of the information provided in the physical reservoirs, including the production history and environmental conditions, the whole life cycle of reservoir discovery and recovery should be considered when mapping in the virtual space. A new concept of reservoir digital twin and the exploratory multi-scale framework is proposed in this paper, covering a wide range of engineering processes related with the reservoirs, including the drainage, sorption and phase change in the reservoirs, as well as extended processes like injection, transportation and on-field processing. The mathematical tool package for constructing the numerical description in the digital space for various engineering processes in the physical space is equipped with certain advanced models and algorithms developed by ourselves. For a macroscopic flow problem, we can model it either in the Navier-Stokes scheme, suitable for the injection, transportation and oil-water separation processes, or in the Darcy scheme, suitable for the drainage and sorption processes. Lattice Boltzmann method can also be developed as a special discretization of the Navier-Stokes scheme, which is easy to be coupled with multiple distributions, for example, temperature field, and a rigorous Chapman-Enskog expansion is performed to show the equivalence between the lattice Bhatnagar-Gross-Krook formulation and the corresponding Navier-Stokes equations and other macroscopic models. Based on the mathematical toolpackage, for various practical applications in petroleum engineering related with reservoirs, we can always find the suitable numerical tools to construct a digital twin to simulate the operations, design the facilities and optimize the processes.Cited as: Zhang, T., Sun, S. An exploratory multi-scale framework to reservoir digital twin. Advances in Geo-Energy Research, 2021, 5(3): 239-251, doi: 10.46690/ager.2021.03.0