Gradient based iterative solutions for general linear matrix equations

AbstractIn this paper, we present a gradient based iterative algorithm for solving general linear matrix equations by extending the Jacobi iteration and by applying the hierarchical identification principle. Convergence analysis indicates that the iterative solutions always converge fast to the exact solutions for any initial values and small condition numbers of the associated matrices. Two numerical examples are provided to show that the proposed algorithm is effective

The general solutions of singular and non-singular matrix fractional time-varying descriptor systems with constant coefficient matrices in Caputo sense

AbstractIn this paper, we generalize the time-varying descriptor systems to the case of fractional order in matrix forms. Moreover, we present the general exact solutions of the linear singular and non-singular matrix fractional time-varying descriptor systems with constant coefficient matrices in Caputo sense by using a new attractive method. Finally, two illustrated examples are also given to show our new approach

When the Tracy-Singh product of matrices represents a certain operation on linear operators

Given two linear transformations, with representing matrices $A$ and $B$ with respect to some bases, it is not clear, in general, whether the Tracy-Singh product of the matrices $A$ and $B$ corresponds to a particular operation on the linear transformations. Nevertheless, it is not hard to show that in the particular case that each matrix is a square matrix of order of the form $n^2$, $n>1$, and is partitioned into $n^2$ square blocks of order $n$, then their Tracy-Singh product, $A \boxtimes B$, is similar to $A \otimes B$, and the change of basis matrix is a permutation matrix. In this note, we prove that in the special case of linear operators induced from set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation, the Tracy-Singh product of their representing matrices is the representing matrix of the linear operator obtained from the direct product of the set-theoretic solutions.Comment: arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2303.0296

สมบัติเชิงพีชคณิตของผลคูณโครเนคเคอร์แบบบล็อกและตัวดำเนินการเวกเตอร์แบบบล็อกสำหรับเมทริกซ์เหนือกึ่งริงสลับที่

บทคัดย่อ เราขยายแนวคิดของผลคูณโครเนคเคอร์ไปสู่ผลคูณโครเนคเคอร์แบบบล็อกสำหรับเมทริกซ์เหนือกึ่งริงสลับที่  เราได้ว่าผลคูณดังกล่าวเข้ากันได้กับการบวกเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ การคูณเมทริกซ์แบบปรกติ การสลับเปลี่ยน และรอยเมทริกซ์  สมบัติเชิงพีชคณิตหลายอย่างของเมทริกซ์ เช่น ความสมมาตร การหาผกผันได้ ภาวะคล้าย สมภาค การทำเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ถูกรักษาไว้ภายใต้ผลคูณโครเนคเคอร์แบบบล็อก นอกจากนี้เราพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างผลคูณดังกล่าวกับตัวดำเนินการเวกเตอร์แบบบล็อก ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถนำไปลดรูปสมการเมทริกซ์เชิงเส้นให้อยู่ในรูปสมการเวกเตอร์-เมทริกซ์อย่างง่าย  - - -  Algebraic Properties of the Block Kronecker Product and a Block Vector-Operator for Matrices over a Commutative Semiring  ABSTRACT We extend the notion of Kronecker product to the block Kronecker product for matrices over a commutative semiring. It turns out that this matrix product is compatible with the matrix addition, the scalar multiplication, the usual multiplication, the transposition, and the traces. Certain algebraic properties of matrices, such as symmetry, invertibility, similarity, congruence, diagonalizability, are preserved under the block Kronecker product. In addition, we investigate a relation between this matrix product and a block vector-operator. Such relation can be applied to reduce certain linear matrix equations to simple vector-matrix equations

The Tracy-Singh product of solutions of the Yang-Baxter equation

Let $V$ and $V'$ be vector spaces over the same field with $\operatorname{dim}(V )=n$ and $\operatorname{dim}(V')=m$. Let $c:V \otimes V \rightarrow V \otimes V$ and $d:V'\otimes V' \rightarrow V' \otimes V'$ be solutions of the Yang-Baxter equation. We show that the Tracy-Singh (or block Kronecker) product of the matrices $c$ and $d$ with a particular partition into blocks of $c$ and $d$ is the representing matrix of a solution of the Yang-Baxter equation, $\tilde{ c_d}:\mathcal{ W} \otimes \mathcal{ W} \rightarrow \mathcal{ W} \otimes \mathcal{ W}$, with $\operatorname{dim}(\mathcal{ W} )=nm$. Iteratively, it is possible to construct from $c$ and $d$ an infinite family of solutions of the Yang-Baxter equation.Comment: arXiv admin note: text overlap with arXiv:2212.1380