Simulating spin systems on IANUS, an FPGA-based computer

We describe the hardwired implementation of algorithms for Monte Carlo simulations of a large class of spin models. We have implemented these algorithms as VHDL codes and we have mapped them onto a dedicated processor based on a large FPGA device. The measured performance on one such processor is comparable to O(100) carefully programmed high-end PCs: it turns out to be even better for some selected spin models. We describe here codes that we are currently executing on the IANUS massively parallel FPGA-based system.Comment: 19 pages, 8 figures; submitted to Computer Physics Communication

Ianus: an Adpative FPGA Computer

Dedicated machines designed for specific computational algorithms can outperform conventional computers by several orders of magnitude. In this note we describe {\it Ianus}, a new generation FPGA based machine and its basic features: hardware integration and wide reprogrammability. Our goal is to build a machine that can fully exploit the performance potential of new generation FPGA devices. We also plan a software platform which simplifies its programming, in order to extend its intended range of application to a wide class of interesting and computationally demanding problems. The decision to develop a dedicated processor is a complex one, involving careful assessment of its performance lead, during its expected lifetime, over traditional computers, taking into account their performance increase, as predicted by Moore's law. We discuss this point in detail

JANUS: an FPGA-based System for High Performance Scientific Computing

This paper describes JANUS, a modular massively parallel and reconfigurable FPGA-based computing system. Each JANUS module has a computational core and a host. The computational core is a 4x4 array of FPGA-based processing elements with nearest-neighbor data links. Processors are also directly connected to an I/O node attached to the JANUS host, a conventional PC. JANUS is tailored for, but not limited to, the requirements of a class of hard scientific applications characterized by regular code structure, unconventional data manipulation instructions and not too large data-base size. We discuss the architecture of this configurable machine, and focus on its use on Monte Carlo simulations of statistical mechanics. On this class of application JANUS achieves impressive performances: in some cases one JANUS processing element outperfoms high-end PCs by a factor ~ 1000. We also discuss the role of JANUS on other classes of scientific applications.Comment: 11 pages, 6 figures. Improved version, largely rewritten, submitted to Computing in Science & Engineerin

The Spin Glass Phase in the Four-State, Three-Dimensional Potts Model

We perform numerical simulations, including parallel tempering, on the Potts glass model with binary random quenched couplings using the JANUS application-oriented computer. We find and characterize a glassy transition, estimating the location of the transition and the value of the critical exponents. We show that there is no ferromagnetic transition in a large temperature range around the glassy critical temperature. We also compare our results with those obtained recently on the "random permutation" Potts glass.Comment: 7 pages and 3 figures. Corrected minor typo

Weighted p-bits for FPGA implementation of probabilistic circuits

Probabilistic spin logic (PSL) is a recently proposed computing paradigm based on unstable stochastic units called probabilistic bits (p-bits) that can be correlated to form probabilistic circuits (p-circuits). These p-circuits can be used to solve problems of optimization, inference and also to implement precise Boolean functions in an "inverted" mode, where a given Boolean circuit can operate in reverse to find the input combinations that are consistent with a given output. In this paper we present a scalable FPGA implementation of such invertible p-circuits. We implement a "weighted" p-bit that combines stochastic units with localized memory structures. We also present a generalized tile of weighted p-bits to which a large class of problems beyond invertible Boolean logic can be mapped, and how invertibility can be applied to interesting problems such as the NP-complete Subset Sum Problem by solving a small instance of this problem in hardware

Study of the critical and low temperature properties of finite dimensional spin glasses

Esta memoria ha sido dedicada al estudio de modelos de vidrios de espín con interacciones a corto alcance, en concreto el modelo de Potts de vidrios de espín y el de Edwards-Anderson. El objetivo principal de esta Tesis Doctoral ha sido el estudio de las transiciones de fase que estos modelos presentan, así como la caracterización de su fase de vidrio de espín a bajas temperaturas. La complejidad que presentan los vidrios de espín exigen el desarrollo de sofisticadas herramientas para su estudio, las cuales pueden ser aplicadas en otras ramas de la ciencia como el plegamiento de proteínas. Para el desarrollo de esta tesis se han utilizado programas propios escritos en lenguaje C y la máquina dedicada Janus del BIFI, así como en menor medida otras infraestructuras como el Cluster del BIFI. Un vidrio de espín es una colección de momentos magnéticos, espines, que a baja temperatura presenta un estado congelado desordenado, la fase de vidrio de espín. En esta fase, el sistema posee características muy interesantes. Los tiempos de relajación son extremadamente largos debido a un paisaje de energía muy complicado. Una de las principales causas de ello es la frustración, que consiste en que los espines no son capaces de encontrar un estado estable debido a que hay competencia entre distintas interacciones con los espines vecinos. El objetivo de esta tesis consiste en una pequeña aportación a este vasto campo de investigación, estudiando modelos teóricos en tres dimensiones mediante simulaciones por ordenador para estudiar entre otras cosas la existencia de transición de fase a la fase de vidrio de espín en presencia de campo magnético externo en el modelo de Edwards-Anderson, la caracterización de las transiciones de fase en el modelo de Potts y estudiar el escenario teórico que mejor describe la fase de vidrio de espín en modelos realistas en tres dimensiones. Desarrollo teórico Se han desarrollado muchos modelos de vidrios de espín para modelizar los sistemas reales, con diferentes formas de afrontar el problema. Algunos modelos reproducen las impurezas en los sitios típicas de los primeros sistemas experimentales estudiados, son los modelos con aleatoriedad en los sitios. Sin embargo, se ha desarrollado otro tipo de vidrios de espín, los modelos con enlaces aleatorios. Edwards y Anderson propusieron el primero de este tipo de modelos en el que si las variables de los espines son vectores unitario de una dimensión tenemos el llamado modelo de vidrio de espín de Ising o de Edwards-Anderson, EA. Los acoplamientos son variables aleatorias estáticas mientras que las variables de los espines son variables dinámicas. Sólo interactúan los vecinos más próximos (dependiendo del modelo primeros, segundos vecinos, etc.) lo que es una forma de modelar el decaimiento con la distancia de la interacción en sistemas reales. Las dos principales distribuciones de probabilidad de los acoplamientos son la distribución gaussiana y la distribución bimodal. Otro modelo de enlaces aleatorios es el modelo de Potts de vidrios de espín en el que las variables de los espines pueden tomar p valores distintos. La distribución de probabilidad de los acoplamientos puede ser también gaussiana o bimodal. Esta tesis se centra en el modelo de Potts de vidrios de espín y en el modelo de Edwards-Anderson de vidrios de espín de tipo Ising. Sin embargo, la solución analítica de estos modeles es bastante complicada por lo que se deben realizar algunas aproximaciones. En 1975, Sherrington y Kirkpatrick propusieron una teoría de campo medio basada en un modelo con un rango de interacciones infinito. El Hamiltoniano del modelo de Sherrington-Kirkpatrick (SK) es bastante similar a la del modelo EA pero con alcance infinito de las interacciones y con distribución gaussiana de los acoplamientos es gaussiana. Este modelo SK se suele interpretar a menudo como un modelo de EA con infinitas dimensiones. Para encontrar la solución a alta temperatura basta con suponer simetría en las réplicas, sin embargo esta suposición no funciona para la fase de vidrio de espín. Parisi encontró una solución para la fase de baja temperatura de este modelo, Replica Symmetry Breaking (Rotura de Simetría de las Réplicas, RSB). Su solución consiste en romper en sucesivos pasos la simetría de las réplicas. Otra aproximación que permite una solución analítica es la teoría de los droplets, que fue desarrollada por Bray y Moore usando el grupo de renormalización de Migdal-Kadanoff, y desde un punto de vista fenomenológico por Fisher y Huse. En este caso se trabaja con un Hamiltoniano con interacciones de corto alcance. Un droplet es una región compacta en la que los espines están invertidos. La solución RSB en campo medio (interpretándolo como un modelo con interacciones de corto alcance en dimensión infinita) es la solución exacta por encima y en la dimensión crítica superior, 6, mientras que el modelo droplet es la solución exacta en bajas dimensiones. Sin embargo, no se conoce el comportamiento de un sistema realista en tres dimensiones. Uno de los objetivos de esta tesis será estudiar cuál de estos dos modelos funciona mejor en tres dimensiones. Afortunadamente, el comportamiento esperado en cada escenario es completamente diferente. RSB predice una transición de fase a un fase de vidrio de espín en presencia de campo magnético mientras que el modelo droplet no. Además, la distribución de probabilidad del overlap es bastante diferente en estos escenarios. Hay otro escenario intermedio, TNT (trivial-no trivial) pero nos centraremos en los dos primeros. Conclusiones En esta tesis se ha estudiado el Modelo de Potts Desordenado (DPM) y el Modelo de Vidrios de Espín de tipo Ising de Edwards-Anderson (ISGM), ambos en tres dimensiones. En el DPM (con valor medio de los acoplamientos cero) hemos encontrado una transición a una fase de vidrio de espín para p=5 y p=6 estados y hemos caracterizado su temperatura crítica. También hemos calculado los exponentes críticos para caracterizar la transición de fase, donde hemos encontrado nuestro resultado más importante en este modelo: conforme crece p, la transición tiende hacia una de primer orden. Sin embargo, no hemos hallado signos de transición a una fase ferromagnética a bajas temperaturas, como predice la teoría de campo medio, en todo el rango de temperaturas estudiado, aunque este modelo permite su existencia. En lo que respecta al ISGM, se ha llevado a cabo un profundo análisis de él. Se ha estudiado el comportamiento de sistemas en equilibrio y fuera del equilibrio (este último incluso en presencia de un campo magnético externo). En primer lugar, analizamos las fluctuaciones entre muestras de la distribución del overlap para comprobar si el sistema exhibe estabilidad estocástica y ultrametricidad. Comprobando la primera de ellas hallamos una pequeña discrepancia. Afortunadamente, parece ser debida a efectos de tamaño finito y tiende a desaparecer conforme crece L. Respecto a la ultrametricidad, no hemos conseguido alcanzar ninguna conclusión clara, aunque parece que mejora conforme crece el tamaño del retículo. Además, se ha estudiado la transición de fase del ISGM analizando los ceros de la función de partición. De hecho, hemos estudiado los ceros de un ISGM con una pequeña perturbación debida al overlap. En la temperatura crítica, se ha estudiado el comportamiento de los ceros y la densidad integrada de ceros. Los exponentes hallados en ambos análisis son compatibles con los resultados previos de la literatura. Es más, hemos contrastado el comportamiento de la densidad integrada de los ceros con la pendiente esperada en el origen calculada con el valor de qEA obtenido de la literatura con un resultado satisfactorio. Se ha analizado también la fase de baja temperatura y los resultados obtenidos son compatibles con los que se pueden encontrar en la literatura calculados con técnicas más tradicionales. Respecto al comportamiento fuera del equilibrio, hemos hallado evidencias de una transición vítrea en tres dimensiones en presencia de un campo magnético externo. Aunque no hemos podido determinar si se lleva a cabo una transición termodinámica. La principal evidencia es el comportamiento del tiempo de relajación que crece varios órdenes de magnitud cuando se incrementa la temperatura. Este efecto sugiere la existencia de dos fases diferentes y ajustando su curva se puede calcular la temperatura crítica. Además, los ajustes realizados de W y q a bajas temperaturas apoyan la hipótesis de esta transición de fase e incluso las temperaturas críticas esperadas son compatibles. También se ha estudiado el rejuvenecimiento y la memoria (en ausencia de campo magnético externo) usando un sistema bastante grande L=256. Desafortunadamente no hemos conseguido reproducir el experimento Dip

Numerical study of barriers and valleys in the free-energy landscape of spin glasses

We study the problem of glassy relaxations in the presence of an external field in the highly controlled context of a spin-glass simulation. We consider a small spin glass in three dimensions (specifically, a lattice of size L=8, small enough to be equilibrated through a Parallel Tempering simulations at low temperatures, deep in the spin glass phase). After equilibrating the sample, an external field is switched on, and the subsequent dynamics is studied. The field turns out to reduce the relaxation time, but huge statistical fluctuations are found when different samples are compared. After taking care of these fluctuations we find that the expected linear regime is very narrow. Nevertheless, when regarded as a purely numerical method, we find that the external field is extremely effective in reducing the relaxation times.Comment: 22 pages, 10 figures; Published versio