Separating Bounded Arithmetics by Herbrand Consistency

The problem of $\Pi_1-$separating the hierarchy of bounded arithmetic has been studied in the paper. It is shown that the notion of Herbrand Consistency, in its full generality, cannot $\Pi_1-$separate the theory ${\rm I\Delta_0+\bigwedge_j\Omega_j}$ from ${\rm I\Delta_0}$; though it can $\Pi_1-$separate ${\rm I\Delta_0+Exp}$ from ${\rm I\Delta_0}$. This extends a result of L. A. Ko{\l}odziejczyk (2006), by showing the unprovability of the Herbrand Consistency of ${\rm I\Delta_0}$ in the theory ${\rm I\Delta_0+\bigwedge_j\Omega_j}$.Comment: Published by Oxford University Press. arXiv admin note: text overlap with arXiv:1005.265

Herbrand Consistency of Some Arithmetical Theories

G\"odel's second incompleteness theorem is proved for Herbrand consistency of some arithmetical theories with bounded induction, by using a technique of logarithmic shrinking the witnesses of bounded formulas, due to Z. Adamowicz [Herbrand consistency and bounded arithmetic, \textit{Fundamenta Mathematicae} 171 (2002) 279--292]. In that paper, it was shown that one cannot always shrink the witness of a bounded formula logarithmically, but in the presence of Herbrand consistency, for theories ${\rm I\Delta_0+\Omega_m}$ with $m\geqslant 2$, any witness for any bounded formula can be shortened logarithmically. This immediately implies the unprovability of Herbrand consistency of a theory $T\supseteq {\rm I\Delta_0+\Omega_2}$ in $T$ itself. In this paper, the above results are generalized for ${\rm I\Delta_0+\Omega_1}$. Also after tailoring the definition of Herbrand consistency for ${\rm I\Delta_0}$ we prove the corresponding theorems for ${\rm I\Delta_0}$. Thus the Herbrand version of G\"odel's second incompleteness theorem follows for the theories ${\rm I\Delta_0+\Omega_1}$ and ${\rm I\Delta_0}$

Some considerations on the compile-time analysis of constraint logic programs

This paper discusses some issues which arise in the dataflow analysis of constraint logic programming (CLP) languages. The basic technique applied is that of abstract interpretation. First, some types of optimizations possible in a number of CLP systems (including efficient parallelization) are presented and the information that has to be obtained at compile-time in order to be able to implement such optimizations is considered. Two approaches are then proposed and discussed for obtaining this information for a CLP program: one based on an analysis of a CLP metainterpreter using standard Prolog analysis tools, and a second one based on direct analysis of the CLP program. For the second approach an abstract domain which approximates groundness (also referred to as "definiteness") information (i.e. constraint to a single valué) and the related abstraction functions are presented

On the Resolution Semiring

In this thesis, we study a semiring structure with a product based on theresolution rule of logic programming. This mathematical object was introducedinitially in the setting of the geometry of interaction program in order to modelthe cut-elimination procedure of linear logic. It provides us with an algebraicand abstract setting, while being presented in a syntactic and concrete way, inwhich a theoretical study of computation can be carried on.We will review first the interactive interpretation of proof theory withinthis semiring via the categorical axiomatization of the geometry of interactionapproach. This interpretation establishes a way to translate functional programsinto a very simple form of logic programs.Secondly, complexity theory problematics will be considered: while thenilpotency problem in the semiring we study is undecidable in general, it willappear that certain restrictions allow for characterizations of (deterministicand non-deterministic) logarithmic space and (deterministic) polynomial timecomputation

Podstawy matematyki bez aktualnej nieskończoności

Contemporary mathematics significantly uses notions which belong to ideal mathematics (in Hilbert’s sense) – which is expressed in language which essentially uses actual infinity. However, we do not have a meaningful notion of truth for such languages. We can only reduce the notion of truth to finitistic mathematics via axiomatic theories. Nevertheless, justification of truth of axioms themselves exceeds the capabilities of the theory based on these axioms. On the other hand, we can easily decide the truth or falsity of a statement in finite structures. The aim of this dissertation is to identify the fragment of mathematics, which is of the finitistic character. The fragment of mathematics which can be described without actual infinity. This is the part of mathematics which can be described in finite models and for which the truth of its statements can be verified within finite models.We call this fragment of mathematics with a term introduced by Knuth – the concrete mathematics. This part of mathematics is of computational character and it is closer to our empirical base, which makes it more difficult. We consider concrete foundations of mathematics, in particular the concrete model theory and semantics without actual infinity. We base on the notion of FM–representability, introduced by Mostowski, as an explication of expressibility without actual infinity. By the Mostowski’s FM–representability theorem, FM–representable notions are exactly those, which are recursive with the halting problem as an oracle. We show how to express basic concepts of model theory in the language without actual infinity. We investigate feasibility of the classical model– theoretic constructions in the concrete model theory. We present the Concrete Completeness Theorem and the Low Completeness Theorem; the Concrete Omitting Types Theorem; and Preservation Theorems. We identify the constructions which are not admissible in the concrete model theory by showing stages of these constructions which are not allowed in the concrete framework. We show which arguments from the axiomatic model theory fail in the concrete model theory. Moreover, we investigate how to approximate truth for finite models. In particular we study the properties of approximate FM–truth definitions which are expressible in modal logic. We introduce modal logic SL, axioms of which mimic the properties of a specific approximate FM–truth definition. We show that SL is the modal logic of any approximate FM–truth definition. This is done by proving a theorem analogous to Solovay’s completeness theorem for modal logic GL.Współczesna matematyka w znaczącej mierze posługuje się pojęciami, które należą do matematyki idealnej (w sensie Hilberta) -- wyrażona jest w języku istotnie wykorzystującym aktualną nieskończoność. Dla tego typu języków nie posiadamy sensownego kryterium prawdziwości. Jesteśmy w stanie jedynie redukować je do matematyki skończonościowej poprzez teorie aksjomatyczne. Niemniej uzasadnianie prawdziwości samych aksjomatów znajduje się poza zasięgiem teorii na nich opartej. Z drugiej strony w strukturach skończonych jesteśmy w stanie w prosty sposób rozstrzygać prawdziwość i fałszywość twierdzeń. Celem niniejszej rozprawy jest identyfikacja fragmentu matematyki, który ma skończonościowy charakter. Fragmentu matematyki, do którego opisu nie jest niezbędna aktualna nieskończoność, a wystarczy jedynie nieskończoność potencjalna. Jest to ta część matematyki, której pojęcia można wyrazić w modelach skończonych oraz prawdziwość twierdzeń której można w nich zweryfikować. Tę część matematyki, za Knuthem, nazywamy matematyką konkretną. Ma ona obliczeniowy, kombinatoryczny charakter i jest bliższa naszemu doświadczeniu niż matematyka idealna, a co za tym idzie jest trudniejsza. Rozważamy konkretne podstawy matematyki, w szczególności konkretną teorię modeli oraz semantykę bez aktualnej nieskończoności. Opieramy się na wprowadzonym przez Mostowskiego pojęciu FM--reprezentowalności, jako eksplikacji wyrażalności bez aktualnej nieskończoności oraz twierdzeniu o FM--reprezentowalności identyfikującym FM--reprezentowalne pojęcia z tymi, które są obliczalne z problemem stopu jako wyrocznią. Pokazujemy w jaki sposób można zinterpretować podstawowe pojęcia teorii modeli w języku bez aktualnej nieskończoności. Następnie badamy klasyczne konstrukcje teoriomodelowe pod kątem ich wykonalności w obszarze matematyki konkretnej. Prezentujemy twierdzenie o konkretnej pełności oraz twierdzenie o łatwej pełności, twierdzenie o omijaniu typów oraz twierdzenia o zachowaniu. Przedstawiamy konstrukcje, które są niewykonalne dla modeli konkretnych, identyfikując etapy konstrukcji teoriomodelowych, które nie są wykonalne w teorii modeli konkretnych. Identyfikujemy argumenty z aksjomatycznej teorii mnogości, które nie są dopuszczalne w konkretnej teorii modeli. Ponadto, badamy możliwość przybliżania prawdy arytmetycznej w modelach skończonych. W szczególności rozważamy te własności przybliżonych predykatów prawdy dla modeli skończonych, które wyrażalne są w logice modalnej. Wprowadzamy logikę modalną SL, której aksjomaty odzwierciedlają własności przybliżonych predykatów prawdy. Pokazujemy, że logika SL jest logiką przybliżonych predykatów prawdy -- dowodzimy twierdzenia analogicznego do twierdzenia o pełności dla logiki GL udowodnionego przez Solovaya

Rule-based Metaprogramming for Smart Spaces

The motivation of this work is goes back to the objective of achieving interoperability in multiparty environments such as ubiquitous systems. Full interoperability in an open environment requires mutually sharing the behavior of the participants, so that the behavioral interoperability becomes as relevant as interoperability of data. This requires analysis or evaluation of behavioral descriptions from untrusted parties in a controlled manner. Furthermore we need to manage the evaluation process based on the content and provenance of the descriptions and other information on which the descriptions operate. This information allows one to choose which behaviour is to be used and which data is to be operated on. To enable this vision we propose to present behavioral descriptions as Answer Set Programming (ASP) rules. In this work we present a method for the evaluation of ASP rules based on metaprogramming: the evaluator for the rules is implemented using ASP rules themselves. To facilitate metaevaluation, we transform rules to a reified format, which enables representing rules as facts, and construct the metaevaluator to work directly on this reified format. Facts corresponding to reified rules and the metaevaluation rules are then treated by native ASP tools. We give a proof that our metaevaluator adheres to the stable model semantics for ASP evaluation. Having rules in the reified format is beneficial as behavioral rules can then be shared and manipulated as any other data. We have implemented a mechanism which maintains the provenance information of data during the rule evaluation along with hooks to allow control over the context of the use of that data. This allows attaching arbitrary metainformation to rules and facts and allows independently creating policies which control on how different data is handled in the ASP solving phase. In addition to the metaevaluation phase, we have implemented syntactical safety analysis of reified rules. These methods enable sharing, analyzing and executing behavioral descriptions in a controlled manner within the same semantic ASP framework, providing one solution for the interoperability problem. The evaluation of ASP rules has two logical phases: grounding and actual solving. We have separated provenance handling and syntactic analysis to the metagrounding phase with the intention that rules and data, which do not match the provenance criteria, are never delivered to the solving phase. To the best of our knowledge, this work presents the first implementation of a metagrounder for ASP programs. According to performance analysis, the metagrounder is not yet competitive with current grounder technology.Tämän opinnäytteen motivaationa on yhteensopivuus ubiikkien järjestelmien kaltaisissa usean käyttäjän ympäristöissä. Täydellinen yhteensopivuus avoimissa ympäristöissä vaatii osapuolten käyttäytymisten kuvausten jakamista käyttäjien kesken. Tällöin käyttäytymisen kuvausten yhteensopivuus muodostuu yhtä tärkeäksi kuin muun tiedon yhteensopivuus. Tästä johtuen on tarpeellista analysoida tai evaluoida hallitusti käyttäytymisten kuvauksia, jotka ovat peräisin mahdollisesti epäluotettavilta tahoilta. Tämän lisäksi evaluointiprosessia täytyy hallinnoida perustuen sekä käyttäytymisten kuvausten että muun käytetyn tiedon sisältöön ja alkuperään. Tämän tiedon avulla valitaan mitä käyttäytymiskuvauksia ja mitä tietoa tullaan käyttämään evaluoinnissa. Tämän vision mahdollistamiseksi tässä työssä ehdotetaan käyttäytymiskuvausten esitettämistä sääntöpohjaisella rajoiteohjelmoinnilla (engl. Answer Set Programming, ASP). Tässä opinnäytteessä kuvataan metaohjelmointipohjainen menetelmä sääntöjen evaluoimiseen, missä itse evaluaattori on toteutettu ASP-säännöillä. Jotta metaevaluaatio olisi mahdollista, säännöt muunnetaan reifioituun muotoon, joka sallii sääntöjen esittämisen faktoina ja metaevaluaattori toteutetaan toimimaan näiden reifioitujen kuvausten kanssa. Faktoina esitetyt reifioidut säännöt ja metaevaluaattorin säännöt evaluoidaan olemassaolevilla ASP-työkaluilla. Työssä esitetään oikeellisuustodistus, jonka perusteella toteutettu metaevaluaattori noudattaa stabiilien mallien semantiikkaa. Sääntöjen esittäminen reifioidussa muodossa on hyödyllistä, sillä tällöin sääntöjä voidaan jakaa ja käsitellä samoin kuin muutakin tietoa. Tässä työssä esitetään lisäksi menetelmä, joka säilyttää sääntöjen käyttämien tietojen alkuperän sääntöjen evaluoinnissa. Tämän ohella esitellään edelliseen laajennus jonka avulla voidaan kontrolloida syötetiedon käyttökonteksti. Tämä mekanismi mahdollistaa mielivaltaisen metainformaation liittämisen sääntöihin sekä muuhun tietoon ja suo erityisesti mahdollisuuden määrittää lisätoimintaperiaatteita sääntöevaluoinnin ohjaamiseen. Nämä menetelmät mahdollistavat käyttäytymissääntöjen turvallisen ja hallitun jakamisen, analysoinnin sekä evaluaation yhdessä semanttisessa viitekehyksessä, tarjoten erään mahdollisen ratkaisun yhteensopivuusongelmaan. Työssä esitetään myös syntaktinen turvallisuusanalyysi reifioiduille säännöille. ASP-sääntöjen evaluaatiossa on kaksi loogista vaihetta: muuttujien instantiointi ja varsinainen ratkaiseminen. Tietojen alkuperän käsittely sekä syntaktinen analyysi on rajattu metatasolle. Näin varmistetaan, että tiedot tai säännöt, jotka eivät ole toimintaperiaatteiden mukaisia, eivät koskaan päädy ratkaisuvaiheeseen. Tässä työssä on esitetty käsittääkseemme ensimmäinen toteutus ASP-sääntöjen instantioinnista metatasolla. Suoritetun vertailun perusteella metatason instantioinnin tehokkuus ei ole vielä kilpailukykyinen nykyisten instantiointitekniikoiden kanssa