Results about fractional derivatives of Zeta functions

Perhaps the most important function in all mathematics is the Riemann Zeta function. For almost 150 years Mathematicians have tried to understand the behavior of the function’s complex zeros. Our main aim is to investigate properties of the Riemann Zeta Function and Hurwitz Zeta Functions, which generalize the Riemann Zeta Function. The main goal of this work is to approach this problem from a traditional and computational approach. We aim to investigate derivatives of Zeta functions by exploring the behavior of its fractional derivatives and its derivatives, which has not been sufficiently examined yet

The Emergence of Analysis in the Renaissance and After

Paper by Salomon Bochne

A new class of coherent states and it's properties.

The study of coherent states (CS) for a quantum mechanical system has received a lot of attention. The definition, applications, generalizations of such states have been the subject of work by researchers. A common starting point of all these approaches is the observation of properties of the original CS for the harmonic oscillator. It is well-known that they are described equivalently as (a) eigenstates of the usual annihilation operator, (b) from a displacement operator acting on a fundamental state and (c) as minimum uncertainty states. What we observe in the different generalizations proposed is that the preceding definitions are no longer equivalent and only some of the properties of the harmonic oscillator CS are preserved. In this thesis we propose to study a new class of coherent states and its properties. We note that in one example our CS coincide with the ones proposed by Glauber where a set of three requirements for such states has been imposed. The set of our generalized coherent states remains invariant under the corresponding time evolution and this property is called temporal stability. Secondly, there is no state which is orthogonal to all coherent states (the coherent states form a total set). The third property is that we get all coherent states by acting on one of these states [¿fiducial vector¿] with operators. They are highly non-classical states, in the sense that in general, their Bargmann functions have zeros which are related to negative regions of their Wigner functions. Examples of these coherent states with Bargmann function that involve the Gamma and also the Riemann ¿ functions are represented. The zeros of these Bargmann functions and the paths of the zeros during time evolution are also studied.Libyan Cultural Affair

Glosarium Matematika

273 p.; 24 cm

On Comparative Prime Number Theory

Komparatiivinen alkulukuteoria tutkii alkulukujen jakaumaa eri jäännösluokkiin ja erityisesti jakauman vääristymiä. Keskeinen tutkimuksen kohde on joukko P_{ q; a_1, ... , a_r } = { x ≥ 2 : π (x; q ,a_1 )> ... > π (x; q, a_r)}, missä π (x; q, a) laskee alkulukujen muotoa qn+a määrän lukuun x asti ja jäännösluokat a_i ovat yhteistekijättömiä moduluksen q ≥ 2 kanssa. P. Tšhebyšhov huomasi jo vuonna 1853, että lähes aina π (x; 4,3) on suurempi kuin π (x; 4,1), vaikka alkulukulauseen aritmeettisissa jonoissa mukaan nämä ovat asymptoottisesti yhtä suuret. Myös muissa moduluksissa nähdään sama ilmiö: Osassa jäännösluokista on useimmiten enemmän alkulukuja rajaan x asti kuin toisissa. Tämän havainnon muotoileminen ei kuitenkaan ole triviaalia, sillä joukoilla P_{q ;a_1, ... ,a_r} ei aina ole asymptoottista tiheyttä. Vuonna 1994 M. Rubinstein ja P. Sarnak tekivät läpimurron joukkojen P_{q; a_1, ... ,a_r} tutkimisessa osoittamalla, että niiden logaritmiset tiheydet ovat positiivisia, mikäli oletetaan kaksi yleisesti uskottua hypoteesia. Joukon A logaritminen tiheys on δ(A) = lim_{X→ ∞}\frac{1}{log X}∈t_{2}^X \frac{dt}{t}, kun raja-arvo on olemassa. Rubinsteinin ja Sarnakin oletukset ovat yleistetty Riemannin hypoteesi ja hypoteesi Dirichlet'n L-funktioiden nollakohtien lineaarisesta riippumattomuudesta rationaalilukujen yli. Ilman näitä oletuksia Rubinsteinin ja Sarnakin tuloksia ei ole todistettu. Tässä pro gradu -tutkielmassa todistetaan Rubinsteinin ja Sarnakin artikkelin tuloksia yksityiskohtaisesti. Artikkelissa ja tässä tutkielmassa osoitetaan olettaen samat konjektuurit, että δ(P_{a,b})>\frac{1}{2} jos ja vain jos a on neliönepäjäännös ja b neliönjäännös (mod q). Tämä ehto määrittää siis kaikki tapaukset, joissa alkulukuja qn+a määrän voi sanoa olevan yleensä suurempi kuin alkulukujen qn+b johonkin rajaan asti. Lisäksi osoitetaan, että δ(P_{q; a, b, c}) = \frac{1}{6} tietyissä tapauksissa, joiden uskotaan olevan ainoat mahdolliset. Rubinstein ja Sarnak osoittivat myös, että moduluksen kasvaessa alkulukujen kilpailut tasaantuvat moduluksen kasvaessa eli δ(P_{q; a_1, ... ,a_r}) → \frac{1}{r!}, kun q→ ∞. Tässä tutkielmassa todistetaan vastaava väite neliönjäännös- ja neliönepäjäännösalkulukujen väliselle vertailulle; tämä on myös mainitussa artikkelissa. Edellä mainittujen lauseiden todistusta varten johdetaan Rubinsteinin ja Sarnakin tulokaava alkulukujen vertailuun liittyvän mitan Fourier-muunnokselle. Yhdessä eksplisiittisen kaavan ja oletusten nojalla tämä mahdollistaa mitan ominaisuuksien hallitsemisen. Lopuksi arvioidaan edellä mainitun kaltaisten mittojen vähenemisnopeutta. Luvussa 1 esitetään historiaa ja motivaatiota. Luvussa 2 todistetaan klassinen eksplisiittinen kaava funktioon π (x; q,a) läheisesti liittyvälle funktiolle. Luku 3 kertaa mittateorian tuloksia, joita käytetään apuna pääluvussa 4

Isaac Asimov’s sci-fi novella “Profession” versus professionalism: Reflections on the (missing) scientific revolutions in the 21th century

This is a partly provocative essay edited as a humanitarian study in philosophy of science and social philosophy. The starting point is Isaac Asimov’s famous sci-fi novella “Profession” (1957) to be “back” extrapolated to today’s relation between Thomas Kuhn’s “normal science” and “scientific revolutions” (1962). The latter should be accomplished by Asimov’s main personage George Platen’s ilk (called “feeble minded” in the novella) versus the “burned minded” professionals able only to “normal science”. Francis Fukuyama’s “end of history” in post-Hegelian manner is now interpreted to an analogically supposed “end of scientific history” without “scientific revolutions” any more. The relevant dystopia of the prolonged or even “eternal” period of normal science is justified to the contemporary institution of science due to mechanisms such as “peer-review”, “impact-factor rating”, the projects’ competition for funding, etc. Positive feedbacks forcing all scientists needing careers to be more and more orthodox are demonstrated therefore establishing for that dystopia to be the real state of contemporary science. Two counterfactual case studies based correspondingly on Feyerabend’s “Against method” (1975) if Galilei should make his discoveries today and Sokal’s hoax (1996) if he suggested a scientific masterpiece to be really rejected by journals are discussed. Still one case study considering the abundance of Kelvin’s “clouds” on the horizon of today’s physics (dark matter, dark energy, entanglement, quantum gravitation, phenomena refuting the Big Bang, etc.) serves to verify the aforementioned conjecture that science has already entered that dystopia of eternal normal science. The conception of “ontomathematics” implying “creation ex nihilo” being scandalous for the dominating paradigm is sketched as an eventual revolutionary way out. An imaginary and utopic “happy end” reinterpreting the analogical “happy end” of Asimov’s “Profession” finishes the essay “instead of conclusion” relying on the Internet and AI in an increasingly “fluid” and anti-hierarchical society