Resolution-based decision procedures for subclasses of first-order logic

This thesis studies decidable fragments of first-order logic which are relevant to the field of nonclassical logic and knowledge representation. We show that refinements of resolution based on suitable liftable orderings provide decision procedures for the subclasses E+, K, and DK of first-order logic. By the use of semantics-based translation methods we can embed the description logic ALB and extensions of the basic modal logic K into fragments of first-order logic. We describe various decision procedures based on ordering refinements and selection functions for these fragments and show that a polynomial simulation of tableaux-based decision procedures for these logics is possible. In the final part of the thesis we develop a benchmark suite and perform an empirical analysis of various modal theorem provers.Diese Arbeit untersucht entscheidbare Fragmente der Logik erster Stufe, die mit nicht-klassischen Logiken und Wissensrepräsentationsformalismen im Zusammenhang stehen. Wir zeigen, daß Entscheidungsverfahren für die Teilklassen E+, K, und DK der Logik erster Stufe unter Verwendung von Resolution eingeschränkt durch geeignete liftbare Ordnungen realisiert werden können. Durch Anwendung von semantikbasierten Übersetzungsverfahren lassen sich die Beschreibungslogik ALB und Erweiterungen der Basismodallogik K in Teilklassen der Logik erster Stufe einbetten. Wir stellen eine Reihe von Entscheidungsverfahren auf der Basis von Resolution eingeschränkt durch liftbare Ordnungen und Selektionsfunktionen für diese Logiken vor und zeigen, daß eine polynomielle Simulation von tableaux-basierten Entscheidungsverfahren für diese Logiken möglich ist. Im abschließenden Teil der Arbeit führen wir eine empirische Untersuchung der Performanz verschiedener modallogischer Theorembeweiser durch

Saturation-based Boolean conjunctive query answering and rewriting for the guarded quantification fragments

Query answering is an important problem in AI, database and knowledge representation. In this paper, we develop saturation-based Boolean conjunctive query answering and rewriting procedures for the guarded, the loosely guarded and the clique-guarded fragments. Our query answering procedure improves existing resolution-based decision procedures for the guarded and the loosely guarded fragments and this procedure solves Boolean conjunctive query answering problems for the guarded, the loosely guarded and the clique-guarded fragments. Based on this query answering procedure, we also introduce a novel saturation-based query rewriting procedure for these guarded fragments. Unlike mainstream query answering and rewriting methods, our procedures derive a compact and reusable saturation, namely a closure of formulas, to handle the challenge of querying for distributed datasets. This paper lays the theoretical foundations for the first automated deduction decision procedures for Boolean conjunctive query answering and the first saturation-based Boolean conjunctive query rewriting in the guarded, the loosely guarded and the clique-guarded fragments

Clausal reasoning for branching-time logics

Computation Tree Logic (CTL) is a branching-time temporal logic whose underlying model of time is a choice of possibilities branching into the future. It has been used in a wide variety of areas in Computer Science and Artificial Intelligence, such as temporal databases, hardware verification, program reasoning, multi-agent systems, and concurrent and distributed systems. In this thesis, firstly we present a refined clausal resolution calculus R�,S CTL for CTL. The calculus requires a polynomial time computable transformation of an arbitrary CTL formula to an equisatisfiable clausal normal form formulated in an extension of CTL with indexed existential path quantifiers. The calculus itself consists of eight step resolution rules, two eventuality resolution rules and two rewrite rules, which can be used as the basis for an EXPTIME decision procedure for the satisfiability problem of CTL. We give a formal semantics for the clausal normal form, establish that the clausal normal form transformation preserves satisfiability, provide proofs for the soundness and completeness of the calculus R�,S CTL, and discuss the complexity of the decision procedure based on R�,S CTL. As R�,S CTL is based on the ideas underlying Bolotov’s clausal resolution calculus for CTL, we provide a comparison between our calculus R�,S CTL and Bolotov’s calculus for CTL in order to show that R�,S CTL improves Bolotov’s calculus in many areas. In particular, our calculus is designed to allow first-order resolution techniques to emulate resolution rules of R�,S CTL so that R�,S CTL can be implemented by reusing any first-order resolution theorem prover. Secondly, we introduce CTL-RP, our implementation of the calculus R�,S CTL. CTL-RP is the first implemented resolution-based theorem prover for CTL. The prover takes an arbitrary CTL formula as input and transforms it into a set of CTL formulae in clausal normal form. Furthermore, in order to use first-order techniques, formulae in clausal normal form are transformed into firstorder formulae, except for those formulae related to eventualities, i.e. formulae containing the eventuality operator 3. To implement step resolution and rewrite rules of the calculus R�,S CTL, we present an approach that uses first-order ordered resolution with selection to emulate the step resolution rules and related proofs. This approach enables us to make use of a first-order theorem prover, which implements the first-order ordered resolution with selection, in order to realise our calculus. Following this approach, CTL-RP utilises the first-order theorem prover SPASS to conduct resolution inferences for CTL and is implemented as a modification of SPASS. In particular, to implement the eventuality resolution rules, CTL-RP augments SPASS with an algorithm, called loop search algorithm for tackling eventualities in CTL. To study the performance of CTL-RP, we have compared CTL-RP with a tableau-based theorem prover for CTL. The experiments show good performance of CTL-RP. i ii ABSTRACT Thirdly, we apply the approach we used to develop R�,S CTL to the development of a clausal resolution calculus for a fragment of Alternating-time Temporal Logic (ATL). ATL is a generalisation and extension of branching-time temporal logic, in which the temporal operators are parameterised by sets of agents. Informally speaking, CTL formulae can be treated as ATL formulae with a single agent. Selective quantification over paths enables ATL to explicitly express coalition abilities, which naturally makes ATL a formalism for specification and verification of open systems and game-like multi-agent systems. In this thesis, we focus on the Next-time fragment of ATL (XATL), which is closely related to Coalition Logic. The satisfiability problem of XATL has lower complexity than ATL but there are still many applications in various strategic games and multi-agent systems that can be represented in and reasoned about in XATL. In this thesis, we present a resolution calculus RXATL for XATL to tackle its satisfiability problem. The calculus requires a polynomial time computable transformation of an arbitrary XATL formula to an equi-satisfiable clausal normal form. The calculus itself consists of a set of resolution rules and rewrite rules. We prove the soundness of the calculus and outline a completeness proof for the calculus RXATL. Also, we intend to extend our calculus RXATL to full ATL in the future

Saturation-based decision procedures for extensions of the guarded fragment

We apply the framework of Bachmair and Ganzinger for saturation-based theorem proving to derive a range of decision procedures for logical formalisms, starting with a simple terminological language EL, which allows for conjunction and existential restrictions only, and ending with extensions of the guarded fragment with equality, constants, functionality, number restrictions and compositional axioms of form S ◦ T ⊆ H. Our procedures are derived in a uniform way using standard saturation-based calculi enhanced with simplification rules based on the general notion of redundancy. We argue that such decision procedures can be applied for reasoning in expressive description logics, where they have certain advantages over traditionally used tableau procedures, such as optimal worst-case complexity and direct correctness proofs.Wir wenden das Framework von Bachmair und Ganzinger für saturierungsbasiertes Theorembeweisen an, um eine Reihe von Entscheidungsverfahren für logische Formalismen abzuleiten, angefangen von einer simplen terminologischen Sprache EL, die nur Konjunktionen und existentielle Restriktionen erlaubt, bis zu Erweiterungen des Guarded Fragment mit Gleichheit, Konstanten, Funktionalität, Zahlenrestriktionen und Kompositionsaxiomen der Form S ◦ T ⊆ H. Unsere Verfahren sind einheitlich abgeleitet unter Benutzung herkömmlicher saturierungsbasierter Kalküle, verbessert durch Simplifikationsregeln, die auf dem Konzept der Redundanz basieren. Wir argumentieren, daß solche Entscheidungsprozeduren für das Beweisen in ausdrucksvollen Beschreibungslogiken angewendet werden können, wo sie gewisse Vorteile gegenüber traditionell benutzten Tableauverfahren besitzen, wie z.B. optimale worst-case Komplexität und direkte Korrektheitsbeweise

Decidable fragments of first-order logic and of first-order linear arithmetic with uninterpreted predicates

First-order logic is one of the most prominent formalisms in computer science and mathematics. Since there is no algorithm capable of solving its satisfiability problem, first-order logic is said to be undecidable. The classical decision problem is the quest for a delineation between the decidable and the undecidable parts. The results presented in this thesis shed more light on the boundary and open new perspectives on the landscape of known decidable fragments. In the first part we focus on the new concept of separateness of variables and explore its applicability to the classical decision problem and beyond. Two disjoint sets of first-order variables are separated in a given formula if none of its atoms contains variables from both sets. This notion facilitates the definition of decidable extensions of many well-known decidable first-order fragments. We demonstrate this for several prefix fragments, several guarded fragments, the two-variable fragment, and for the fluted fragment. Although the extensions exhibit the same expressive power as the respective originals, certain logical properties can be expressed much more succinctly. In two cases the succinctness gap cannot be bounded using elementary functions. This fact already hints at computationally hard satisfiability problems. Indeed, we derive non-elementary lower bounds for the separated fragment, an extension of the Bernays-Schönfinkel-Ramsey fragment (E*A*-prefix sentences). On the semantic level, separateness of quantified variables may lead to weaker dependences than we encounter in general. We investigate this property in the context of model-checking games. The focus of the second part of the thesis is on linear arithmetic with uninterpreted predicates. Two novel decidable fragments are presented, both based on the Bernays-Schönfinkel-Ramsey fragment. On the negative side, we identify several small fragments of the language for which satisfiability is undecidable.Untersuchungen der Logik erster Stufe blicken auf eine lange Tradition zurück. Es ist allgemein bekannt, dass das zugehörige Erfüllbarkeitsproblem im Allgemeinen nicht algorithmisch gelöst werden kann - man spricht daher von einer unentscheidbaren Logik. Diese Beobachtung wirft ein Schlaglicht auf die prinzipiellen Grenzen der Fähigkeiten von Computern im Allgemeinen aber auch des automatischen Schließens im Besonderen. Das Hilbertsche Entscheidungsproblem wird heute als die Erforschung der Grenze zwischen entscheidbaren und unentscheidbaren Teilen der Logik erster Stufe verstanden, wobei die untersuchten Fragmente der Logik mithilfe klar zu erfassender und berechenbarer syntaktischer Eigenschaften beschrieben werden. Viele Forscher haben bereits zu dieser Untersuchung beigetragen und zahlreiche entscheidbare und unentscheidbare Fragmente entdeckt und erforscht. Die vorliegende Dissertation setzt diese Tradition mit einer Reihe vornehmlich positiver Resultate fort und eröffnet neue Blickwinkel auf eine Reihe von Fragmenten, die im Laufe der letzten einhundert Jahre untersucht wurden. Im ersten Teil der Arbeit steht das syntaktische Konzept der Separiertheit von Variablen im Mittelpunkt, und dessen Anwendbarkeit auf das Entscheidungsproblem und darüber hinaus wird erforscht. Zwei Mengen von Individuenvariablen gelten bezüglich einer gegebenen Formel als separiert, falls in jedem Atom der Formel die Variablen aus höchstens einer der beiden Mengen vorkommen. Mithilfe dieses leicht verständlichen Begriffs lassen sich viele wohlbekannte entscheidbare Fragmente der Logik erster Stufe zu größeren Klassen von Formeln erweitern, die dennoch entscheidbar sind. Dieser Ansatz wird für neun Fragmente im Detail dargelegt, darunter mehrere Präfix-Fragmente, das Zwei-Variablen-Fragment und sogenannte "guarded" und " uted" Fragmente. Dabei stellt sich heraus, dass alle erweiterten Fragmente ebenfalls das monadische Fragment erster Stufe ohne Gleichheit enthalten. Obwohl die erweiterte Syntax in den betrachteten Fällen nicht mit einer erhöhten Ausdrucksstärke einhergeht, können bestimmte Zusammenhänge mithilfe der erweiterten Syntax deutlich kürzer formuliert werden. Zumindest in zwei Fällen ist diese Diskrepanz nicht durch eine elementare Funktion zu beschränken. Dies liefert einen ersten Hinweis darauf, dass die algorithmische Lösung des Erfüllbarkeitsproblems für die erweiterten Fragmente mit sehr hohem Rechenaufwand verbunden ist. Tatsächlich wird eine nicht-elementare untere Schranke für den entsprechenden Zeitbedarf beim sogenannten separierten Fragment, einer Erweiterung des bekannten Bernays-Schönfinkel-Ramsey-Fragments, abgeleitet. Darüber hinaus wird der Ein uss der Separiertheit von Individuenvariablen auf der semantischen Ebene untersucht, wo Abhängigkeiten zwischen quantifizierten Variablen durch deren Separiertheit stark abgeschwächt werden können. Für die genauere formale Betrachtung solcher als schwach bezeichneten Abhängigkeiten wird auf sogenannte Hintikka-Spiele zurückgegriffen. Den Schwerpunkt des zweiten Teils der vorliegenden Arbeit bildet das Entscheidungsproblem für die lineare Arithmetik über den rationalen Zahlen in Verbindung mit uninterpretierten Prädikaten. Es werden zwei bislang unbekannte entscheidbare Fragmente dieser Sprache vorgestellt, die beide auf dem Bernays-Schönfinkel-Ramsey-Fragment aufbauen. Ferner werden neue negative Resultate entwickelt und mehrere unentscheidbare Fragmente vorgestellt, die lediglich einen sehr eingeschränkten Teil der Sprache benötigen

Issues of Decidability for Description Logics in the Framework of Resolution

. We describe two methods on the basis of which efficient resolution decision procedures can be developed for a range of description logics. The first method uses an ordering restriction and applies to the description logic ALB, which extends ALC with the top role, full role negation, role intersection, role disjunction, role converse, domain restriction, range restriction, and role hierarchies. The second method is based solely on a selection restriction and applies to reducts of ALB without the top role and role negation. The latter method can be viewed as a polynomial simulation of familiar tableaux-based decision procedures. It can also be employed for automated model generation. 1 Introduction Since the work of Kallick [13] resolution-based decision procedures for subclasses of first-order logic have drawn continuous attention [5,7,12]. There are two research areas where decidability issues also play a prominent role: extended modal logics and description logics [6,9,14]. Althoug..