8 research outputs found
Rainbow domination and related problems on some classes of perfect graphs
Let and let be a graph. A function is a rainbow function if, for every vertex with
, . The rainbow domination number
is the minimum of over all rainbow
functions. We investigate the rainbow domination problem for some classes of
perfect graphs
Italian Domination on Ladders and Related Products
An Italian dominating function on a graph is a function such that , and for each vertex for which , we have . The weight of an Italian dominating function is . The minimum weight of all such functions on a graph is called the Italian domination number of . In this thesis, we will consider Italian domination in various types of products of a graph with the complete graph . We will find the value of the Italian domination number for ladders, specific families of prisms, mobius ladders and related products including categorical products and lexicographic products . Finally, we will conclude with open problems
Total protection in graphs
Suposem que una o diverses entitats estan situades en alguns dels vèrtexs d'un graf simple, i que una entitat situada
en un vèrtex es pot ocupar d'un problema en qualsevol vèrtex del seu entorn tancat. En general, una entitat pot
consistir en un robot, un observador, una legió, un guàrdia, etc. Informalment, diem que un graf està protegit sota una
determinada ubicació d'entitats si hi ha almenys una entitat disponible per tractar un problema en qualsevol vèrtex.
S'han considerat diverses estratègies (o regles d'ubicació d'entitats), sota cadascuna de les quals el graf es considera
protegit. Aquestes estratègies de protecció de grafs s'emmarquen en la teoria de la dominació en grafs, o en la teoria
de la dominació segura en grafs.
En aquesta tesi, introduïm l'estudi de la w-dominació (segura) en grafs, el qual és un enfocament unificat a la idea de
protecció de grafs, i que engloba variants conegudes de dominació (segura) en grafs i introdueix de noves.
La tesi està estructurada com un compendi de deu articles, els quals han estat publicats en revistes indexades en el
JCR. El primer està dedicat a l'estudi de la w-dominació, el cinquè a l'estudi de la w-dominació segura, mentre que els
altres treballs estan dedicats a casos particulars d'estratègies de protecció total. Com és d'esperar, el nombre mínim
d'entitats necessàries per a la protecció sota cada estratègia és d'interès. En general, s'obtenen fórmules tancades o
fites ajustades sobre els paràmetres estudiats.Supongamos que una o varias entidades están situadas en algunos de los vértices de un grafo simple y que una
entidad situada en un vértice puede ocuparse de un problema en cualquier vértice de su vecindad cerrada. En general,
una entidad puede consistir en un robot, un observador, una legión, un guardia, etc. Informalmente, decimos que un
grafo está protegido bajo una determinada ubicación de entidades si existe al menos una entidad disponible para tratar
un problema en cualquier vértice. Se han considerado varias estrategias (o reglas de ubicación de entidades), bajo
cada una de las cuales el grafo se considera protegido. Estas estrategias de protección de grafos se enmarcan en la
teoría de la dominación en grafos, o en la teoría de la dominación segura en grafos.
En esta tesis, introducimos el estudio de la w-dominación (segura) en grafos, el cual es un enfoque unificado a la idea
de protección de grafos, y que engloba variantes conocidas de dominación (segura) en grafos e introduce otras
nuevas. La tesis está estructurada como un compendio de diez artículos, los cuales han sido publicados en revistas
indexadas en el JCR. El primero está dedicado al estudio de la w-dominación, el quinto al estudio de la w-dominación
segura, mientras que los demás trabajos están dedicados a casos particulares de estrategias de protección total.
Como es de esperar, el número mínimo de entidades necesarias para la protección bajo cada estrategia es de interés.
En general, se obtienen fórmulas cerradas o cotas ajustadas sobre los parámetros estudiadosSuppose that one or more entities are stationed at some of the vertices of a simple graph and that an entity at a vertex
can deal with a problem at any vertex in its closed neighbourhood. In general, an entity could consist of a robot, an
observer, a legion, a guard, and so on. Informally, we say that a graph is protected under a given placement of
entities if there exists at least one entity available to handle a problem at any vertex. Various strategies (or rules for
entities placements) have been considered, under each of which the graph is deemed protected. These strategies for
the protection of graphs are framed within the theory of domination in graphs, or in the theory of secure domination in
graphs.
In this thesis, we introduce the study of (secure) w-domination in graphs, which is a unified approach to the idea of
protection of graphs, that encompasses known variants of (secure) domination in graphs and introduces new ones.
The thesis is structured as a compendium of ten papers which have been published in JCR-indexed journals. The first
one is devoted to the study of w-domination, the fifth one is devoted to the study of secure w-domination, while the
other papers are devoted to particular cases of total protection strategies. As we can expect, the minimum number of
entities required for protection under each strategy is of interest. In general, we obtain closed formulas or tight bounds
on the studied parameters
Double domination in lexicographic product graphs
[EN] In a graph G, a vertex dominates itself and its neighbours. A subset S subset of V(G) is said to be a double dominating set of G if S dominates every vertex of G at least twice. The minimum cardinality among all double dominating sets of G is the double domination number. In this article, we obtain tight bounds and closed formulas for the double domination number of lexicographic product graphs G o H in terms of invariants of the factor graphs G and H.Cabrera Martínez, A.; Cabrera García, S.; Rodríguez-Velázquez, J. (2020). Double domination in lexicographic product graphs. Discrete Applied Mathematics. 284:290-300. https://doi.org/10.1016/j.dam.2020.03.045S290300284Ahangar Abdollahzadeh, H., Henning, M., Samodivkin, V., & Yero, I. (2016). Total Roman domination in graphs. Applicable Analysis and Discrete Mathematics, 10(2), 501-517. doi:10.2298/aadm160802017aAmjadi, J., Sheikholeslami, S. M., & Soroudi, M. (2019). On the total Roman domination in trees. Discussiones Mathematicae Graph Theory, 39(2), 519. doi:10.7151/dmgt.2099Cabrera Martínez, A., Cabrera García, S., & Carrión García, A. (2020). Further Results on the Total Roman Domination in Graphs. Mathematics, 8(3), 349. doi:10.3390/math8030349A. Cabrera Martínez, J.A. Rodríguez-Velázquez, Total protection of lexicographic product graphs, Discuss. Math. Graph Theory, in press.Campanelli, N., & Kuziak, D. (2019). Total Roman domination in the lexicographic product of graphs. Discrete Applied Mathematics, 263, 88-95. doi:10.1016/j.dam.2018.06.008Cockayne, E. J., Dawes, R. M., & Hedetniemi, S. T. (1980). Total domination in graphs. Networks, 10(3), 211-219. doi:10.1002/net.3230100304Dettlaff, M., Lemańska, M., Rodríguez-Velázquez, J. A., & Zuazua, R. (2019). On the super domination number of lexicographic product graphs. Discrete Applied Mathematics, 263, 118-129. doi:10.1016/j.dam.2018.03.082Dorbec, P., Mollard, M., Klavžar, S., & Špacapan, S. (2008). Power Domination in Product Graphs. SIAM Journal on Discrete Mathematics, 22(2), 554-567. doi:10.1137/060661879Hajian, M., & Rad, N. J. (2019). A new lower bound on the double domination number of a graph. Discrete Applied Mathematics, 254, 280-282. doi:10.1016/j.dam.2018.06.009Harant, J., & Henning, M. . A. (2005). On Double Domination in Graphs. Discussiones Mathematicae Graph Theory, 25(1-2), 29. doi:10.7151/dmgt.1256Chellali, M., & Khelifi, S. (2012). Double domination critical and stable graphs upon vertex removal. Discussiones Mathematicae Graph Theory, 32(4), 643. doi:10.7151/dmgt.1633Liu, C.-H., & Chang, G. J. (2012). Roman domination on strongly chordal graphs. Journal of Combinatorial Optimization, 26(3), 608-619. doi:10.1007/s10878-012-9482-yNowakowski, R. J., & Rall, D. F. (1996). Associative graph products and their independence, domination and coloring numbers. Discussiones Mathematicae Graph Theory, 16(1), 53. doi:10.7151/dmgt.1023Šumenjak, T. K., Rall, D. F., & Tepeh, A. (2013). Rainbow domination in the lexicographic product of graphs. Discrete Applied Mathematics, 161(13-14), 2133-2141. doi:10.1016/j.dam.2013.03.011Šumenjak, T. K., Pavlič, P., & Tepeh, A. (2012). On the Roman domination in the lexicographic product of graphs. Discrete Applied Mathematics, 160(13-14), 2030-2036. doi:10.1016/j.dam.2012.04.008Valveny, M., Pérez-Rosés, H., & Rodríguez-Velázquez, J. A. (2019). On the weak Roman domination number of lexicographic product graphs. Discrete Applied Mathematics, 263, 257-270. doi:10.1016/j.dam.2018.03.03