Théorèmes de point fixe et principe variationnel d'Ekeland

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000.The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000

Une note sur un théorème de point-fixe

URL des Cahiers : https://halshs.archives-ouvertes.fr/CAHIERS-MSECahiers de la Maison des Sciences Economiques 2006.59 - ISSN 1624-0340We present a theorem on the existence of a maximal element for a correspondence which is upper hemi-continuous in some variables and which satisfies with respect to the other ones one the following conditions: (i) lower semi-continuous if the space has a finite dimension, (ii) lower semi-continuous if the space is complete, (iii) open fibers. This theorem generalizes the result of Gale and Mas-Colell (1975-1979) and the one of Bergstrom (1975) and extend to the infinite dimensional setting the result of Gourdel (1995).Nous présentons ici un théorème d'existence d'éléments maximaux pour une correspondance dont les composantes sont hémi-continues supérieurement par rapport à une partie des variables et qui vérifie par rapport aux autres l'une des conditions suivantes: (i) semi-continues inférieurement si l'espace est de dimension finie, (ii) semi-continues inférieurement et à valeurs fermées si l'espace est complet. (iii) à images inverses ouvertes. Ce théorème généralise les résultats de Gale and Mas-Colell (1975-1979), celui de Bergstrom (1975) et étend à un cadre de dimension infinie celui de Gourdel (1995)

Indice de Point Fixe pour les Morphismes de Chaînes

2000 Mathematics Subject Classification: 54H25, 55M20.The aim of this paper is to define a fixed point index for compact maps in the class of algebraic ANRs. This class, which we introduced in [2], contains all open subsets of convex subsets of metrizable topological vector spaces. In this class, it is convenient to study the fixed points of compact maps with the help of the chain morphisms that they induce on the singular chains. For this reason, we first define a fixed point index for a certain class of chain morphisms, and then define the fixed point index of compact maps as the fixed point index of the induced chain morphism. This fixed point index has all the usual properties of an index, including the mod p-theorem. The results of this paper are thus, in the metrizable case, a vast generalization of the Schauder conjecture

Une note sur un théorème de point-fixe

Nous présentons ici un théorème d'existence d'éléments maximaux pour une correspondance dont les composantes sont hémi-continues supérieurement par rapport à une partie des variables et qui vérifie par rapport aux autres l'une des conditions suivantes : (i) semi-continues inférieurement si l'espace est de dimension finie, (ii) semi-continues inférieurement et à valeurs fermées si l'espace est complet. (iii) à images inverses ouvertes. Ce théorème généralise les résultats de Gale and Mas-Colell (1975-1979), celui de Bergstrom (1975) et étend à un cadre de dimension infinie celui de Gourdel (1995).Point-fixe, élément maximal, hémi-continuité supérieure, théorèmes de sélection.

Une nouvelle preuve du theoreme de point fixe de Handel

M Handel has proved in [Topology 38 (1999) 235--264] a fixed point theorem for an orientation preserving homeomorphism of the open unit disk, that may be extended to the closed disk and that satisfies a linking property of orbits. We give here a new proof of Handel's fixed point theorem, based on Brouwer theory and some plane topology arguments. We will slightly improve the theorem by proving the existence of a simple closed curve of index 1. This index result was known to be true under an additional hypothesis and has been used by different authors (J Franks [NYJM 2 (1996) 1--19, Trans.AMS 348 (1996) 2637--2662] S Matsumoto [Topol. Appl. 104 (2000) 191--214]) to study homeomorphisms of surfaces.Comment: This is the version published by Geometry & Topology on 8 December 200

Point fixe lié à une orbite périodique d'un difféomorphisme de R2

in French, 4 pages.International audienceGiven a diffeomorphism of the plane, which has a periodic orbit, we show how Nielsen fixed point theory can be used to establish the existence of a fixed point which is linked with this periodic orbit

Une contraction inversible qui n'est pas C1-linéarisable

We present an example of a smooth invertible contraction in aninfinite-dimensional Hilbert space that is not locally {\mathcalC}^{1}-linearizable near its fixed point.Nous présentons un exemple de contraction inversible et régulière dans un espace de Hilbert de dimension infinie qui n'est pas localement C1-linéarisable autour de son point fixe

Existence of solutions for hybrid differential equation with fractional order

In this paper, we study the existence of solutions for the following fractional hybrid differential equations involving Riemann-Liouville differential operators of order . An existence theorem for fractional hybrid differential equations is proved under mixed Lipschitz and Carathéodory conditions and using the Dhage point fixe theorem. Keywords: Quadratic perturbations;  Riemann-Liouville derivative;  Hybrid differential equation