Nous présentons ici un théorème d'existence d'éléments maximaux pour une correspondance dont les composantes sont hémi-continues supérieurement par rapport à une partie des variables et qui vérifie par rapport aux autres l'une des conditions suivantes : (i) semi-continues inférieurement si l'espace est de dimension finie, (ii) semi-continues inférieurement et à valeurs fermées si l'espace est complet. (iii) à images inverses ouvertes. Ce théorème généralise les résultats de Gale and Mas-Colell (1975-1979), celui de Bergstrom (1975) et étend à un cadre de dimension infinie celui de Gourdel (1995).Point-fixe, élément maximal, hémi-continuité supérieure, théorèmes de sélection.

Pascal Gourdel

French

Research Papers in Economics

Maison des Sciences Économiques, 106-112 boulevard de L'Hôpital, 75647  Paris Cedex 13
http://mse.univ-paris1.fr/Publicat.htm
ISSN : 1624-0340
Centre d’Economie de la Sorbonne
UMR 8174
       
Une note sur un théorème de point-fixe
Pascal GOURDEL
2006.59
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6Une note sur un th´ eor` eme de
point-ﬁxe
Pascal Gourdel∗
5 f´ evrier 2006
R´ esum´ e
Nous pr´ esentons ici un th´ eor` eme d’existence d’´ el´ ements maximaux pour une
correspondance dont les composantes sont h´ emi-continues sup´ erieurement par
rapport ` a une partie des variables et qui v´ eriﬁe par rapport aux autres l’une
des conditions suivantes : (i) semi-continues inf´ erieurement si l’espace est de
dimension ﬁnie, (ii) semi-continues inf´ erieurement et ` a valeurs ferm´ ees si l’espace
est complet. (iii) ` a images inverses ouvertes. Ce th´ eor` eme g´ en´ eralise les r´ esultats
de Gale and Mas-Colell (1975-1979), celui de Bergstrom (1975) et ´ etend ` a un
cadre de dimension inﬁnie celui de Gourdel (1995).
Mots cl´ es : Point-ﬁxe, ´ el´ ement maximal, h´ emi-continuit´ e sup´ erieure, th´ eor` emes
de s´ election.
Abstract
We present a theorem on the existence of a maximal element for a correspon-
dence which is upper h´ emi-continuous in some variables and which satisﬁes
with respect to the other ones one the following conditions : (i) lower semi-
continuous if the space has a ﬁnite dimension, (ii) lower semi-continuousif the
space is complete. (iii) open ﬁbers. This theorem generalizes the result of Gale
and Mas-Colell (1975-1979) and the one of Bergstrom (1975) and extend to the
inﬁnite dimensional setting the result of Gourdel (1995).
Keywords : Fixed-point, maximal element, upper h´ emi-continuous, selection
theorems.
endogenous endowments.
JEL Classiﬁcation : C02, C60.
AMS Classiﬁcation : 54H25, 47H10, 55M20.
∗CNRS–CES, UMR CNRS 8174, Universit´ e Paris 1, 106-112 boulevard de l’Hˆ opital, 75647
Paris Cedex 13, FRANCE; gourdel@univ-paris1.fr
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61 D´ eﬁnitions et r´ esultat
D´ eﬁnition 1.1 Soit X un espace m´ etrique, Y un espace vectoriel norm´ e et T
une correspondance de X dans Y . T est h´ emi continue sup´ erieurement si pour
tout p ∈ Y ∗, l’application x → supy∈T(x)hp,yi est semi-continue sup´ erieurement.
∀p ∈ Y ∗, ∀α ∈ R, {x ∈ X | sup
y∈F(x)
hp,yi < α} est ouvert
Proposition 1 Soit T une correspondance de X m´ etrique dans E espace vec-
toriel norm´ e. Alors,
i) si T est h.c.s., le domaine de T est ferm´ e,
ii) Si T est s.c.s. alors elle est h.c.s.
iii) Si Y est de dimension ﬁnie, si T est h.c.s. ` a valeurs convexes compactes
et si T(X) est born´ e, alors T est s.c.s.
D´ emonstration. i) On remarque que pour tout p, le point x n’appartient pas
au domaine si et seulement si supy∈T(x)hp,yi = −∞. Puisque T est h.c.s., on a
∀p ∈ Y ∗, ∀α ∈ R, {x ∈ X | sup
y∈T(x)
hp,yi < α} est ouvert.
En particulier, pour p = 0, l’ensemble {x ∈ X | supy∈T(x)h0,yi < −1} qui est le
compl´ ementaire du domaine de T est ouvert.
ii) Soient p ∈ Y ∗ et α ∈ R et x ∈ X tels que supy∈T(x)hp,yi < α. Il existe
un nombre r´ eel β tel que supy∈T(x)hp,yi < β < α. Ce qui implique que T(x)
appartient ` a l’ouvert {y ∈ Y | hp,yi < β}. Donc, il existe un voisinage Vx de
x tel que si x ∈ Vx, alors T(x) ⊂ {y ∈ Y | hp,yi < β}. Donc si x ∈ Vx, alors
supy∈T(x)hp,yi ≤ β < α. Ce qui prouve que {x ∈ X | supy∈T(x)hp,yi < α} est
un ensemble ouvert.
iii) Soit M tel que T(X) ⊂ B(0,M). Par l’absurde, si T n’est pas s.c.s., il
existerait x ∈ X, V un ouvert contenant T(x) et une suite convergente (xn)
vers x tels que T(xn) 6⊂ V . Puisque T(x) est compact, il existe ε > 0 tel
que T(x) + B(0,ε) ⊂ V . On choisit yn un ´ el´ ement de T(xn) \ V . A fortiori,
yn / ∈ T(x) + B(0,ε) Par un argument de s´ eparation, il existe pn de norme 1,
tel que supy∈T(x)+B(0,ε)hpn,yi < hpn,yni. Par un argument de compacit´ e, on
peut supposer que yn → y ∈ Y et que pn → p de norme 1. En passant ` a
la limite, on en d´ eduit supy∈T(x)hp,yi + ε ≤ hp,yi. Pour n assez grand, on a
supy∈T(xn)hpn,yi < hp,yi − 2ε/3, kpn − pk < ε/(3M) donc |hpn,yni − hp,yi| <
ε/3. Il est facile de montrer que supy∈T(xn)hpn,yi < (hp,yi − 2ε/3) + ε/3. en
particulier hpn,yni < hp,yi − ε/3. D’o` u la contradiction.
Vu la d´ eﬁnition de l’h´ emi continuit´ e sup´ erieure qui ne fait intervenir que la
fonction support des valeurs de T, on en d´ eduit que si T est h.c.s., alors coT et
coT sont h.c.s. Ce r´ esultat n’est pas vrai pour les correspondances s.c.s.
Th´ eor` eme 1.1 Soit m et n deux entiers positifs ´ eventuellement nuls. Soit
X =
Qm+n
i=1 Xi, o` u, pour chaque i, Xi est non vide convexe compact d’un es-
pace vectoriel norm´ e Ei. Soit Fi (i = 1,...,m) m correspondances s.c.i. de
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6X dans Xi ` a valeurs convexes ` a valeurs ´ eventuellement vides, soit Fi (i =
m + 1,...,m + n) n correspondances h.c.s. de X dans Xi ` a valeurs convexes
compactes ´ eventuellement vides On suppose de plus que pour chaque i = 1,...,m
la correspondance Fi v´ eriﬁe l’une des conditions suivantes,
– Fi ` a valeurs inverses ouvertes;
– Fi est ` a valeurs ferm´ ees et Ei complet;
– Ei est de dimension ﬁnie.
Alors, il existe x∗ = (x∗
i) in X, tel que :
pour chaque i, soit x∗
i ∈ Fi(x∗) ou bien Fi(x∗) est vide.
D´ emonstration. En application de la propri´ et´ e de paracompacit´ e, on ´ enonce
le r´ esultat suivant qui est en fait une extension de l’´ enonc´ e de Cellina de 1969.
La formulation de Cellina correspondait au cadre des correspondances scs.
Lemme 1.1 (Cellina 1969) Soit A un sous ensemble ferm´ e d’un espace m´ etrique
X, soit Y un espace vectoriel norm´ e et Γ une correspondance h.c.s. ` a valeurs
convexes compactes non vides. Il existe une correspondance ˜ Γ de X dans coΓ(A)
h.c.s. ` a valeurs convexes compactes non vides.
Preuve du lemme. On consid` ere la famille d’ouverts (Ua)a∈A d´ eﬁnie par
Ua = {x ∈ X \ A | d(x,a) < 2d(x,A)}.
Il est facile de montrer que la famille constitue un recouvrement ouvert de l’es-
pace m´ etrique X\A donc par propri´ et´ e de paracompacit´ e, il existe une partition
continue de l’unit´ e localement ﬁnie faiblement subordonn´ ee ` a ce recouvrement.
(αa)a∈A. La correspondance ˜ Γ est d´ eﬁnie de la fa¸ con suivante par
˜ Γ(x) =
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Γ(x) si x ∈ A P
a∈A αa(x)Γ(a) si x / ∈ A
Par construction, ˜ Γ est une correspondance de X dans coΓ(A) ` a valeurs convexes
compactes non vides. Il reste ` a justiﬁer que ˜ Γ est h.c.s. sur X. Soit x ∈ X et
(p,β) ∈ Y ∗ × R tels que
sup
y∈˜ Γ(x)
hp,yi < β.
Premier cas x / ∈ A. Il existe un voisinage Vx de x et un ensemble ﬁni Ax tel que
pour tout x de Vx et pour tout a n’appartenant pas ` a Ax, αa(x) = 0. Localement,
˜ Γ co¨ ıncide avec G o` u G(x) =
P
a∈Ax αa(x)Γ(a). La correspondance G est de
graphe ferm´ e ` a valeurs compactes, elle est donc s.c.s. et d’apr` es la proposition 1,
elle est ´ egalement h.c.s. en x. Donc il existe un voisinage Wx de x tel que pour
tout x de Wx, on ait supy∈˜ Γ(x)hp,yi < β.
Second cas x ∈ A. Puisque Γ est h.c.s., il existe ε > 0 tel que pour tout a de
B(x,3ε)∩A, on ait supy∈Γ(a)hp,yi < β. On va montrer pour tout x de B(x,ε),
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6on a supy∈˜ Γ(x)hp,yi < β. Si x est dans A, le r´ esultat est ´ evident. Si x n’est pas
dans A, on remarque que αa(x) > 0 implique que
d(x,a) ≤ d(x,x) + d(x,a) ≤ ε + 2d(x,A) ≤ ε + 2d(x,x) < 3ε.
Donc si αa(x) > 0, alors supy∈Γ(a)hp,yi < β. Par d´ eﬁnition de ˜ Γ, on en d´ eduit
supy∈˜ Γ(a)hp,yi < β. 
Nous pouvons d´ emontrer le th´ eor` eme. Pour tout i = 1,...,m, soit Ui = {x ∈
X | Fi(x) 6= ∅}. Comme Fi est s.c.i., Ui est ouvert. Nous appliquons le th´ eor` eme
de s´ election (voir par exemple Florenzano ou les papiers originaux de Michael)
correspondant ` a l’hypoth` ese faite sur Fi. Il existe une s´ election continue fi de
Ui dans Xi de la correspondance Fi. On prolonge fi ` a l’espace X tout entier en
une correspondance ˜ Fi d´ eﬁnie par ˜ Fi(x) = {fi(x)} si x ∈ Ui et ˜ Fi(x) = Xi si
x / ∈ Ui. Comme Ui est ouvert, on v´ eriﬁe ais´ ement que ˜ Fi est s.c.s. donc h.c.s. ` a
valeurs convexes compactes non vides.
Pour i = m+1,...,m+n, on pose Vi le domaine de Fi, Puisque les ensembles
Vi sont ferm´ es, on peut appliquer le th´ eor` eme d’extension de Cellina (lemme 1.1)
aﬁn d’´ etendre en des correspondances ˜ Fi ` a valeurs convexes compactes non vides.
En appliquant le th´ eor` eme de Kakutani ` a F de X dans X d´ eﬁnie par ˜ F(x) = Qm+n
i=1 ˜ Fi(x), nous en d´ eduisons l’existence d’un point ﬁxe de ˜ F et on montre
facilement qu’il v´ eriﬁe les conclusions du th´ eor` eme.
Remarque 1.1 L’id´ ee de consid´ erer des correspondances pour partie scs, pour
partie sci est apparue dans la th` ese de Gourdel (1994), voir par exemple l’ar-
ticle de 1995, le cadre consid´ er´ e ´ etait celui des espaces euclidiens. Ce r´ esultat
fut ´ etendu par Lefebvre dans sa th` ese (2000) au cas ` a images ouvertes dans
des espaces de dimension inﬁnie. Ici, on a formul´ e le r´ esultat en termes de
correspondances hcs et donn´ e une version se rapportant aux trois r´ esultats de
s´ election.
Comme corollaires imm´ ediats, on peut citer les r´ esultats suivants.
Corollaire 1.1 Soit X un sous-ensemble convexe compact non vide d’un espace
vectoriel norm´ e et T une correspondance ` a images inverses ouvertes et ` a valeurs
convexes de X dans lui-mˆ eme. Alors, il existe x ∈ X tel que T(x) est vide ou
x ∈ T(x).
Corollaire 1.2 Soit X un sous-ensemble convexe compact non vide de Rn et
T une correspondance s.c.i. de X dans lui-mˆ eme. Alors, il existe x ∈ X tel que
T(x) est vide ou x ∈ coT(x).
La notion d’´ el´ ements maximaux a un sens lorsque la correspondance T
repr´ esente un ordre. Dans ce cas, elle est irreﬂexive ce qui signiﬁe que x / ∈ coT(x)
pour tout x ∈ X. Alors, la conclusion devient T(x) est vide ce qui signiﬁe qu’il
n’existe pas d’´ el´ ement sup´ erieur ` a x.
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6Nous pouvons maintenant ´ enoncer le th´ eor` eme de Gale et Mas-Colell qui
est tr` es utilis´ e pour d´ emontrer l’existence d’un ´ equilibre comp´ etitif dans une
´ economie avec des pr´ ef´ erences non transitives et non compl` etes.
Corollaire 1.3 (Gale et Mas-Colell) Soit (Xi)i∈I une famille ﬁnie de sous-
ensembles convexes compacts non vides de Rni et, pour tout i ∈ I, soit Ti une
correspondance s.c.i. de X =
Q
i∈I Xi dans Xi. Alors, il existe x ∈ X tel que,
pour tout i ∈ I, Ti(x) est vide ou xi ∈ coT(xi).
2 Corollaires
Nous commen¸ cons par un r´ esultat tr` es utilis´ e dans la th´ eorie ´ economique
pour montrer l’existence d’un prix d’´ equilibre sur les march´ es. On peut prouver
ce r´ esultat de diﬀ´ erentes mani` eres.
Th´ eor` eme 2.1 (Lemme de Debreu-Gale-Nikaido) Soit ζ, une correspondance
semi-continue sup´ erieurement ` a valeurs convexes, compactes, non vides de Sn−1,
le simplexe de Rn, dans Rn. On suppose que pour tout p ∈ Sn−1, et tout x ∈ ζ(p),
p · x ≤ 0. Alors, il existe p∗ ∈ Sn−1 tel que ζ(p∗) ∩ −Rn
+ 6= ∅.
D´ emonstration. Puisque la correspondance ζ est s.c.s. ` a valeurs convexes com-
pactes, l’ensemble ζ(Sn−1) est born´ e par α. On d´ eﬁnit F : Sn−1 × B(0,α) →
Sn−1 × B(0,α) par

F1(p,x) = {q ∈ Sn−1 | q · x > 0}
F2(p,x) = ζ(p)
La correspondance F v´ eriﬁe trivialement les hypoth` eses du th´ eor` eme 1.1 dans
la mesure o` u F1 est de graphe ouvert donc s.c.i., F1 est ` a valeurs convexes et
l’on est en dimension ﬁnie.
Il existe donc un couple (p∗,x∗) qui v´ eriﬁe
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p∗ ∈ F1(p∗,x∗) ou F1(p∗,x∗) est vide;
F2(p∗,x∗) = ζ(p∗).
Par hypoth` ese puisque p∗ · x∗ ≤ 0, on en d´ eduit que F1(p∗,x∗) est vide, c’est ` a
dire pour tout q ∈ Sn−1, q · x∗ ≤ 0. En prenant successivement comme vecteur
q chacun des vecteurs de base, on en d´ eduit que x∗ ∈ −Rn
+. Donc le th´ eor` eme
est d´ emontr´ e.
Th´ eor` eme 2.2 (Th´ eor` eme de non-s´ eparation.) Soit E un espace vectoriel norm´ e
et X un sous-ensemble compact, convexe, non vide de E. On se donne une cor-
respondance F h.c.s. de X dans E ` a valeurs non vides et v´ eriﬁant la condition
suivante appel´ ee condition tangentielle (sortante) :
(CT0) ∀p ∈ E∗, ∀x ∈ ∂pX, ∃y ∈ F(x) : hp,yi ≥ 0.
Alors, il existe x ∈ X tel que 0 ∈ coF(x).
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6Remarque 2.1 On n’a pas suppos´ e que F est ` a valeurs convexes ferm´ ees. Il
est ` a noter cependant que si F est h.c.s., la correspondance G = coF d´ eﬁnie par
(coF)(x) = coF(x) est ´ egalement h.c.s. et v´ eriﬁe la mˆ eme condition tangentielle.
D´ emonstration. La preuve est nettement plus facile dans le cas particulier de
la dimension ﬁnie.
On pose compte-tenu de la remarque G = coF, on veut montrer que G
poss` ede un point critique. On va d´ emontrer le r´ esultat par l’absurde. Si le r´ esultat
n’est pas vrai, pour tout x de X, par un th´ eor` eme de s´ eparation, il existe p ∈ E∗
tel que sup{hp,yi | y ∈ G(x)} < 0. On remarque que p peut ˆ etre normalis´ e et
donc appartenir ` a B la boule unit´ e ferm´ ee de E∗ (muni de la topologie faible-
´ etoile σ(E0,E)). On rappelle que B est un compact convexe (voir par exemple,
Schwartz 1970).
On d´ eﬁnit la correspondance Φ de X × B dans lui-mˆ eme par
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Φ1(x,p) = {x0 ∈ X | hp,x0i > hp,xi}
Φ2(x,p) = {q ∈ B | sup{hq,yi | y ∈ G(x)} < 0}
Il est clair que Φ1 et Φ2 sont ` a images convexes. De plus en dimension ﬁnie,
Φ1 est de graphe ouvert donc ` a images inverses ouvertes, mais mˆ eme en dimen-
sion inﬁnie, on peut v´ eriﬁer que Φ1 reste ` a images inverses ouvertes. Puisque
G = coF est h.c.s., Φ2 ` a images inverses ouvertes. On remarque que Φ2 est ` a
valeurs non vides tandis que Φ1 est ` a valeurs ´ eventuellement vides. D’apr` es le
th´ eor` eme 1.1, il existe (x,p) tel que

x ∈ Φ1(x,p) ou Φ1(x,p) = ∅
p ∈ Φ2(x,p)
Par construction, x ∈ Φ1(x,p) est impossible (“irreﬂexivit´ e”), donc ∀x0 ∈ C,
hp,x0i ≤ hp,xi, ce qui signiﬁe que x ∈ ∂pX. En utilisant la condition tangentielle
sortante, on en d´ eduit alors que sup{hp,yi | y ∈ G(x)} ≥ 0, ce qui entraˆ ıne
p / ∈ Φ2(x,y,p), d’o` u la contradiction.
R´ ef´ erences
[1] Florenzano Monique, L’´ equilibre ´ economique g´ en´ eral transitif et intransitif :
probl` emes d’existence, Editions du CNRS, Paris, 1981.
[2] D. Gale and A. Mas-Colell, an equilibrium existence theorem for a general
model without ordered preferences, J. Math. Econom., vol.2, pp 9–15, 1975.
[3] D. Gale and A. Mas-Colell, Corrections to an equilibrium existence theorem
for a general model without ordered preferences, J. Math. Econom., vol. 6,
pp. 297–298, 1979.
[4] Gourdel Pascal, “Existence of intransitive equilibria in non-convex econo-
mies”, Set-Valued Analysis, volume 3, n. 4, (1995) 307-337.
[5] Kakutani S., ”A generalization of Brouwer’s ﬁxed point theorem, Duke
Math. J., vol.8, 1941, pp. 457–459.
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6[6] Michael E., Continuous selections I. Annals of Mathematics, 63 :361–382,
1956.
[7] Michael E., Continuous selections III. Ann. of Math., 65 :375–390, 1957.
[8] Michael E., A survey of continuous selections. In A. Dold and B. Eckman,
editors, Set-valued mappings, selections and topological properties of 2X,
Lecture Notes in Math.171, pages 54–58. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
New York, 1970.
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Une note sur un théorème de point-fixe

http://halshs.archives-ouvertes.fr/docs/00/11/89/19/PDF/B06059.pdf

Une note sur un théorème de point-fixe

Abstract

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