A lower bound on the maximum permanent in Λnk

AbstractLet Pnk be the maximum value achieved by the permanent over Λnk, the set of (0,1)-matrices of order n with exactly k ones in each row and column. Brègman proved that Pnk⩽k!n/k. It is shown here that Pnk⩾k!tr! where n=tk+r and 0⩽r<k. From this simple bound we derive that (Pnk)1/n∼k!1/k whenever k=o(n) and deduce a number of structural results about matrices which achieve Pnk. These include restrictions for large n and k on the number of components which may be drawn from Λk+ck for a constant c⩾1.Our results can be directly applied to maximisation problems dealing with the number of extensions to Latin rectangles or the number of perfect matchings in regular bipartite graphs

Expanding graphs, Ramanujan graphs, and 1-factor perturbations

We construct (k+-1)-regular graphs which provide sequences of expanders by adding or substracting appropriate 1-factors from given sequences of k-regular graphs. We compute numerical examples in a few cases for which the given sequences are from the work of Lubotzky, Phillips, and Sarnak (with k-1 the order of a finite field). If k+1 = 7, our construction results in a sequence of 7-regular expanders with all spectral gaps at least about 1.52

Multiple choice allocations with small maximum loads

The idea of using multiple choices to improve allocation schemes is now well understood and is often illustrated by the following example. Suppose $n$ balls are allocated to $n$ bins with each ball choosing a bin independently and uniformly at random. The \emph{maximum load}, or the number of balls in the most loaded bin, will then be approximately $\log n \over \log \log n$ with high probability. Suppose now the balls are allocated sequentially by placing a ball in the least loaded bin among the $k\ge 2$ bins chosen independently and uniformly at random. Azar, Broder, Karlin, and Upfal showed that in this scenario, the maximum load drops to ${\log \log n \over \log k} +\Theta(1)$, with high probability, which is an exponential improvement over the previous case. In this thesis we investigate multiple choice allocations from a slightly different perspective. Instead of minimizing the maximum load, we fix the bin capacities and focus on maximizing the number of balls that can be allocated without overloading any bin. In the process that we consider we have $m=\lfloor cn \rfloor$ balls and $n$ bins. Each ball chooses $k$ bins independently and uniformly at random. \emph{Is it possible to assign each ball to one of its choices such that the no bin receives more than $\ell$ balls?} For all $k\ge 3$ and $\ell\ge 2$ we give a critical value, $c_{k,\ell}^*$, such that when $cc_{k,\ell}^*$ this is not the case. In case such an allocation exists, \emph{how quickly can we find it?} Previous work on total allocation time for case $k\ge 3$ and $\ell=1$ has analyzed a \emph{breadth first strategy} which is shown to be linear only in expectation. We give a simple and efficient algorithm which we also call \emph{local search allocation}(LSA) to find an allocation for all $k\ge 3$ and $\ell=1$. Provided the number of balls are below (but arbitrarily close to) the theoretical achievable load threshold, we give a \emph{linear} bound for the total allocation time that holds with high probability. We demonstrate, through simulations, an order of magnitude improvement for total and maximum allocation times when compared to the state of the art method. Our results find applications in many areas including hashing, load balancing, data management, orientability of random hypergraphs and maximum matchings in a special class of bipartite graphs.Die Idee, mehrere Wahlmöglichkeiten zu benutzen, um Zuordnungsschemas zu verbessern, ist mittlerweile gut verstanden und wird oft mit Hilfe des folgenden Beispiels illustriert: Man nehme an, dass n Kugeln auf n Behälter verteilt werden und jede Kugel unabhängig und gleichverteilt per Zufall ihren Behälter wählt. Die maximale Auslastung, bzw. die Anzahl an Kugeln im meist befüllten Behälter, wird dann mit hoher Wahrscheinlichkeit schätzungsweise $\log n \over \log \log n$ sein. Alternativ können die Kugeln sequenziell zugeordnet werden, indem jede Kugel k ≥ 2 Behälter unabhängig und gleichverteilt zufällig auswählt und in dem am wenigsten befüllten dieser k Behälter platziert wird. Azar, Broder, Karlin, and Upfal haben gezeigt, dass in diesem Szenario die maximale Auslastung mit hoher Wahrscheinlichkeit auf ${\log \log n \over \log k} +\Theta(1)$ sinkt, was eine exponentielle Verbesserung des vorhergehenden Falls darstellt. In dieser Doktorarbeit untersuchen wir solche Zuteilungschemas von einem etwas anderen Standpunkt. Statt die maximale Last zu minimieren, fixieren wir die Kapazitäten der Behälter und konzentrieren uns auf die Maximierung der Anzahl der Kugeln, die ohne Überlastung eines Behälters zugeteilt werden können. In dem von uns betrachteten Prozess haben wir m = bcnc Kugeln und n Behälter. Jede Kugel wählt unabhängig und gleichverteilt zufällig k Behälter. Ist es möglich, jeder Kugel einen Behälter ihrer Wahl zuzuordnen, so dass kein Behälter mehr als Kugeln erhält? Für alle k ≥ 3 und ≥ 2 geben wir einen kritischen Wert $c _{k,\ell}^*$, an sodass für c c {k,\ell}^*$nicht. Im Falle, dass solch eine Zuordnung existiert, stellt sich die Frage, wie schnell diese gefunden werden kann. Die bisher durchgeführten Arbeiten zur Gesamtzuordnungszeit im Falle k ≥ 3 and$\ell = 1$haben eine Breitensuchstrategie analysiert, welche nur im Erwartungswert linear ist. Wir präsentieren einen einfachen und effizienten Algorithmus, welchen wir local search allocation (LSA) nennen und der Zuteilungen für alle k ≥ 3 und$\ell = 1$ findet. Sofern die Anzahl der Kugeln unter (aber beliebig nahe an) der theoretisch erreichbaren Lastschwelle ist, zeigen wir eine lineare Schranke für die Gesamtzuordnungszeit, die mit hoher Wahrscheinlichkeit gilt. Anhand von Simulationen demonstrieren wir eine Verbesserung der Gesamt- und Maximalzuordnungszeiten um eine Größenordnung im Vergleich zu anderen aktuellen Methoden. Unsere Ergebnisse finden Anwendung in vielen Bereichen einschließlich Hashing, Lastbalancierung, Datenmanagement, Orientierbarkeit von zufälligen Hypergraphen und maximale Paarungen in einer speziellen Klasse von bipartiten Graphen

Matching, Edge-Colouring, Dimers

Abstract. We survey some recent results on finding and counting perfect matchings in regular bipartite graphs, with applications to bipartite edge-colouring and the dimer constant. Main results are improved complexity bounds for finding a perfect matching in a regular bipartite graph and for edge-colouring bipartite graphs, the solution of a problem of Erdős and Rényi concerning lower bounds for the number of perfect matchings, and an improved lower bound for s dimer constant. 1 Finding a perfect matching in a regular bipartite graph The fastest known algorithms for finding a perfect matching in a general bipartite graph have running time of order about O ( √ n m) (Hopcroft and Karp [12], Feder and Motwani [8]) or O(n2.376) (Ibarra and Moran [13]). For regular bipartite graphs, however, faster algorithms are known: Cole and Hopcroft [4] gave an O(m log n) algorithm, while Cole [3] gave an O(22O(k) n) algorithm, where k is the degree of the vertices. So the latter algorithm is linear-time for any fixed k. We now describe an easy O(k 2 n) ( = O(km)) algorithm ([17]). Here is the ide