Stochastic maximum principle for partial information optimal investment and dividend problem of an insurer

We study an optimal investment and dividend problem of an insurer, where the aggregate insurance claims process is modeled by a pure jump Lévy process. We allow the management of the dividend payment policy and the investment of surplus in a continuous-time financial market, which is composed of a risk free asset and a risky asset. The information available to the insurer is partial information. We generalize this problem as a partial information regular-singular stochastic control problem, where the control variable consists of regular control and singular control. Then maximum principles are established to give sufficient and necessary optimality conditions for the solutions of the regular-singular control problem. Finally we apply the maximum principles to solve the investment and dividend problem of an insurer

On Maximum Principle of Non Linear Stochastic Mckean-Vlasov System with Applications Presented

Partially observed optimal control problem has a variety of important applications in many fields and offers practical avenues for addressing real-world control challenges and decision-making problems, such as engineering, economics, and finance. The aim of this thesis is to study this kind of partially observed optimal control problem for forward-backward stochastic differential equations of the McKean– Vlasov type. The coefficients of the system and the cost functional depend on the state of the solution process as well as of its probability law and the control variable. We start by defining the primary tool (the partial derivative with respect to the probability measure in Wasserstein space) used to illustrate our main result. Then, we prove the necessary and sufficient conditions of optimality for FBSDEs of the McKean– Vlasov type under the assumption that the control domain is supposed to be convex. This result is based on Girsavov’s theorem. Finally, we prove a stochastic maximum principle for this kind of partially observed optimal control problems of McKean– Vlasov type driven by a Poisson random measure and an independent Brownian motion. As an illustration, a partially observed linear–quadratic control problem is studied in terms of stochastic filtering

Sur un problem de contrˆole optimal stochastique pour certain aspect des ´equations differentielles stochastiques de type mean-field et applications

Cette thèse de doctorat s’inscrit dans le cadre de l’analyse stochastique dont le thème central est: les conditions necessaires et suffisantes sous forme du maximum stochastique de type champ moyen d’optimalite et de presque optimalite et ces applications. L’objectif de ce travail est d’etudier des problemes d’optimisation stochastique. Il s’agira ensuite de faire le point sur les conditions necessaires et suffisantes d’optimalite et de presque optimalite pour un system gouverne par des equations differentielles stochastiques de type champ moyen. Cette these s’articule autour de qua¬tre chapitres: Le chapitre 1 est essentiellement un rappel. La candidate présente quelques concepts et résultats qui lui permettent d’aborder son travail; tels que les processus stochastiques, l’esperance condition-nelle, les martingales, les formules d’Ito, les classes de contrôle stochastique,... etc. Dans le deuxieme chapitre, on a etablie et on a prouve les conditions necessaires et suffisantes de presque optimalite d’order 3b5{ 3bb} verifiees par un contrôle optimal stochastique, pour un system différentiel gouverne par des equations differentielles stochastiques EDSs. Le domaine de contrôle stochastique est suppose convexe. La methode utilisee est basee sur le lemme d’Ekeland. Les résultats obtenus dans le chapitre 2, sont tous nouveaux et font l’objet d’un premier article intitule : Boukaf Samira & Mokhtar Hafayed, & Ghebouli Messaoud: A study on optimal control problem with ex-error bound for stochastic systems with application to linear quadratic problem, International Journal of Dynamics and Control, Springer DOI: 10.1007/s40435-015-0178-x (2015). Dans le troisieme chapitre, on a demontré le principe du maximum stochastique de presque optimalite, oh le system est gouverne par des equations differentielles stochastiques progressive rétrogrades avec saut (FBSDEs). Ces resultats ont ete appliques pour résoudre un probleme d’optimisation en finance. Ces resultats generalisent le principe du maximum de Zhou (SIAM. Control. Optim. (36)-3, 929-947 (1998)). Les resultats obtenus dans le chapitre 3 sont tous nouveaux et font l’objet d’un deuxieme article intitule: Mokhtar Hafayed, & Abdelmadjid Abba & Samira Boukaf: On Zhou’s maximumprinciple for near- optimal control of mean-field forward-backward stochastic systems with jumps and its applications International Journal of Modelling, Identification and Control. 25 (1), 1-16, (2016). De plus, et dans le chapitre 4, on a prouve un principe du maximum stochastique de type de Pontryagin pour des systems gouvernes par FBSDEs avec saut. Ces resultats ont ete etabli avec M. Hafayed, et M. Tabet, sous le titre : Mokhtar Hafayed, & Moufida Tabet & Samira Boukaf: Mean-field maximum principle for optimal control of forward-backward stochastic systems with jumps and its application to mean-variance portfolio problem, Communication in Mathematics and Statistics, Springer, Doi: 10.1007/s40304- 015-0054-1, Volume 3, Issue 2, pp 163-186 (2015). Dans le chapitre 5, on a aborde un problème de contrôle singulier, où le problème est d’établir des conditions necessaires et suffisantes d’optimalite pour un control singulier ou le system est gouverne par des equations differentielles stochastiques progressive retrograde de type McKean-Vlasov. Dans ces cas, le domaine de contrôle admissible est suppose convexe. Les résultats obtenus dans le chapitre 5 sont tous nouveaux et font l’objet d’un article intitule : Mokhtar Hafayed, & Samira Boukaf & Yan Shi, & Shahlar Meherrem.: A McKean-Vlasov optimal mixed regular-singular control problem, for nonlinear stochastic systems with Poisson jump pro-cesses, Neurocomputing. Doi 10.1016/j.neucom.2015.11.082, Volume 182,19, pages 133-144 (2016

On the variational principle for a class of stochastic control for systems governed by stochastic differential equations of mean-field type with applications

Cette thèse de doctorat s’inscrit dans le cadre de la théorie de contrôle optimal stochastique. Le thème central est l’optimisation stochastique a…n d’établir des conditions nécessaires d’un contrôle optimal sous forme du principe du maximum stochastique de type de Pontryagin. D’une part, et plus précisement, nous étudions des problèmes de contrôle stochastique optimal singulier partiellement observés de type mean-…eld (McKean-Vlasov) général avec des corrélations entre le système et l’observation Y (�) : Dans ce travail, la variable de contrôle (u (�) ; � (�)) a deux composantes, la première u (�) est absolument continue et la seconde � (�) est une variation bornée, non décroissante continue à droite avec limit à gauche (càdlàg). Le système stochastique étudié est gouverné par une équation di¤érentielle stochastique contrôlée de type Itô où les coe¢ cients de la dynamique dépendent du processus d’état ainsi que de sa loi de probabilité Pxu;�(t) et de la variable de contrôle continue u (�) ; dé…nit par : 8>>>>>>>>>: dxu;� (t) = f(t; xu;� (t) ; Pxu;�(t); u (t))dt + �(t; xu;� (t) ; Pxu;�(t); u (t))dW (t) +g(t; xu;� (t) ; Pxv;�(t); v (t))dWf (t) + G(t)d�(t); xu;� (0) = x0; t 2 [0; T] : Nous supposons que le processus d’état xu;� (t) ne peut pas être observé directement, mais les contrôleurs peuvent observer un processus de bruit associé Y (�), régit par l’équation suivante : 8>: dY (t) = h(t; xu;� (t) ; u (t))dt + dWf (t) Y (0) = 0; où Wf (t) est un processus stochastique dépendant du contrôle u(�), et Y (�) le processus d’observation. On de…nit FY t martingale �u(t) qui est une solution de l’equation suivante : 8>: d�u(t) = �u(t)h (t; xu(t); u(t)) dY (t); �u(0) = 1: D’aprés le théorème de dérivation de Radon-Nikodym, cette martingale a permis de dé…nir une nouvelle probabilité notée Pu, qui dépend de u (�) et donnée par : dPu dP FY t = �u(t). La fonctionnelle de coût J(u(�); �(�)) peut s’écrire sous forme J(u(�); �(�)) = E �Z0T �u(t)l(t; xu;�(t); Pxu;�(t); u(t))dt + �u(T) (xu;�(T); Pxu;�(T )) + Z[0;T ] �u(t)M(t)d�(t)� : Par l’utilisation des techniques variationnelles convexes classiques, nous établissons un ensemble de conditions nécessaires de contrôle singulier optimal sous la forme du principe du maximum. Notre résultat principal est prouvé en appliquant le théorème de Girsanov et les dérivées par rapport à une mesure (ou la loi de probabilité) au sense de P. Lions. D’autre part, nous établissons des conditions nécessaires du second-ordre pour un contrôle stochastique mixed continu-singulier (u (�) ; � (�)), où le système est gouverné par des systèmes di¤érentiels stochastiques contrôlés non linéaires. Le principe du maximum ponctuel du second-ordre en termes de martingale par rapport à la variable de temps est prouvé. Le domaine de contrôle est supposé convexe. Notons que dans ce travail que les termes de dérivée et les termes de di¤usion des systèmes dépendent de la variable de contrôle continue u (�). Notre résultat est prouvé en utilisant des techniques variationnelles sous certaines conditions de convexité

Partially obseved optimal control problem for SDEs of Mckean-Vlasov type and Applications

Partially observed control problems have received much attention and became a powerful tool in many fields, such as mathematical finance, optimal control, etc.From the viewpoint of reality, many situations, full information is not always available to controllers, but the partial one with noise. Furthermore, the recent work of Buckdahn, R. [7] and Hafayed, M. [24] on Mckean-Vlasov type stochastic differential equations and their optimal control opens a new avenue for the study of optimal control problems in general. The objective of this thesis is to extend these results of [7] and [24] to the case of a partially observed optimal control problem. More precisely, we study partially observed optimal control problems of general McKean-Vlasov differential equations, in which the coefficients depend on the state of the solution process as well as of its law and the control variable. By applying Girsanov’s theorem with a standard convex variational technique, we develop the stochastic maximum principle for our partially observed control problem where the control domain is convex. Also, in this thesis, we prove a new stochastic maximum principle for a class of partially observed optimal control problems of Mckean-Vlasov type with jumps. The stochastic system under consideration is governed by a stochastic differential equation driven by Poisson random measure and an independent Brownian motion. The derivatives with respect to probability measure and the associate Itô-formula are applied to prove our main results. And as an illustration, by applying our maximum principle, McKean-Vlasov type linear quadratic control problem with jump is discussed,where the partially observed optimal control is obtained explicitly in feedback form.Key words. Partially observed optimal control, Stochastic maximum principle, Derivatives with respect to the measure, McKean-Vlasov differential equations, McKean-Vlasov stochastic system with jumps, Probability measure, Girsanov’s theore

Équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) avec application au contrôle stochastique et aux équations aux dérivées partielles (EDP)

L’objet de cette thèse est l’étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (en abrégé EDSR, BSDE en anglais) avec application au contrôle stochastique et aux équations aux dérivées partielles (EDP, PDE en anglais). Les EDSR ont été introduites en 1973 par J.- M. Bismut pour la première fois dans le cas linéaire, E. Pardoux et S. Peng en 1990 ont établi le premier résultat d’existence et d’unicité de la solution d’une EDSR dans le cas non linéaire. Depuis, la littérature sur les EDSR ne cesse de s’accroître. Ceci est essentiellement dû aux nombreuses applications qu’elles ont pu apporter dans divers domaines de mathématiques tels que les équations aux dérivées partielles, les mathématiques Financières, le contrôle optimal, les jeux différentiels et la géométrie différentielle. Cette thèse contient une introduction générale et trois chapitres. Dans l’introduction générale on donne un aperçu général sur la théorie des équation différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR). On donne les résultats antérieurs sur les équations différentielles stochastiques rétrogrades et sur les EDSR reflechiés et les EDSR avec champ moyen. On présente les résultats de la présente thèse. Le premier chapitre traite un problème d’existence de solutions faibles d’équations diffé-rentielles stochastiques progressives-rétrogrades (EDSPR). Le générateur de l’EDSPR est supposé continu en (y; z) mais éventuellement discontinu en x. Le drift de la composante progressive est simplement un drift mesurable et le coefficient de diffusion peut être discontinu. Notre approche est basée sur des équations aux dérivées partielles. Le deuxième chapitre traite le principe du maximum de Pontryagin pour un système dont la dynamique est dirigé par une EDSR à champ moyen et à horizon in…ni, où les coefficients dépendent de la loi marginale du processus d’état par l’espérance de sa valeur. De plus, la fonction du coût est aussi de type champ-moyen. Les conditions nécessaires d’optimalité pour ses systèmes seront établies sous la forme de principe du maximum par les techniques den perturbation convexe. Dans le troisième chapitre, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies lorsque le générateur est à croissance quadratique en la variable z et la vcondition terminale est dans L2

Linear-quadratic optimal control under non-Markovian switching

We study a finite-dimensional continuous-time optimal control problem on finite horizon for a controlled diffusion driven by Brownian motion, in the linear-quadratic case. We admit stochastic coefficients, possibly depending on an underlying independent marked point process, so that our model is general enough to include controlled switching systems where the switching mechanism is not required to be Markovian. The problem is solved by means of a Riccati equation, which a backward stochastic differential equation driven by the Brownian motion and by the random measure associated to the marked point process