Optimal approximation of convex curves by functions which are piecewise linear

AbstractIn this paper an efficient method is presented for solving the problem of approximation of convex curves by functions that are piecewise linear, in such a manner that the maximum absolute value of the approximation error is minimized. The method requires the curves to be convex on the approximation interval only. The boundary values of the approximation function can be either free or specified. The method is based on the property of the optimal solution to be such that each linear segment approximates the curve on its interval optimally while the optimal error is uniformly distributed among the linear segments of the approximation function. Using this method the optimal solution can be determined analytically to the full extent in certain cases, as it was done for functions x2 and x12. In general, the optimal solution has to be computed numerically following the procedure suggested in the paper. Using this procedure, optimal solutions were computed for functions sin x, tg x, and arc tg x. Optimal solutions to these functions were used in practical applications

Event-Driven Network Model for Space Mission Optimization with High-Thrust and Low-Thrust Spacecraft

Numerous high-thrust and low-thrust space propulsion technologies have been developed in the recent years with the goal of expanding space exploration capabilities; however, designing and optimizing a multi-mission campaign with both high-thrust and low-thrust propulsion options are challenging due to the coupling between logistics mission design and trajectory evaluation. Specifically, this computational burden arises because the deliverable mass fraction (i.e., final-to-initial mass ratio) and time of flight for low-thrust trajectories can can vary with the payload mass; thus, these trajectory metrics cannot be evaluated separately from the campaign-level mission design. To tackle this challenge, this paper develops a novel event-driven space logistics network optimization approach using mixed-integer linear programming for space campaign design. An example case of optimally designing a cislunar propellant supply chain to support multiple lunar surface access missions is used to demonstrate this new space logistics framework. The results are compared with an existing stochastic combinatorial formulation developed for incorporating low-thrust propulsion into space logistics design; our new approach provides superior results in terms of cost as well as utilization of the vehicle fleet. The event-driven space logistics network optimization method developed in this paper can trade off cost, time, and technology in an automated manner to optimally design space mission campaigns.Comment: 38 pages; 11 figures; Journal of Spacecraft and Rockets (Accepted); previous version presented at the AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, 201

Intersection-based Piecewise Affine Approximation of Nonlinear Systems

This paper presents a new algorithm for PWA approximation of nonlinear systems. Such an approximation is very important to enable a reduction in the complexity of models of nonlinear systems while keeping the global validity of the models. The paper builds on previous work on piecewise affine (PWA) approximation methods, in particular on the work done by Casselman and Rodrigues, known as the Set of Linearization Points (SLP) PWA approximation. The proposed extension method can be used to approximate any continuous function of one variable by a PWA function. The algorithm is based on the points at which the linearization lines intersect with each other. The method assumes that a desired approximation error and one linearization point are given. The algorithm, then performs several linearizations. It is shown that the new linearization points are optimal in the sense of decreasing the error between the exact function and the approximation. The main advantages of this methodology compared to previous approaches are the reduction of the number of pieces of the PWA function, the guarantee that the approximation is continuous, and that the derivative of the approximation and the derivative of the exact function are equal at all linearization points. A detailed collection of examples from different fields of study highlight the effectiveness and the flexibility of the proposed method. It is shown that the proposed method compares favorably with other methods

Semi-symbolische Modellierung und Simulation von Unsicherheiten in analogen Schaltungen mit Hilfe stückweise affiner Abbildungen

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From insights to innovations : data mining, visualization, and user interfaces

This thesis is about data mining (DM) and visualization methods for gaining insight into multidimensional data. Novel, exploratory data analysis tools and adaptive user interfaces are developed by tailoring and combining existing DM and visualization methods in order to advance in different applications. The thesis presents new visual data mining (VDM) methods that are also implemented in software toolboxes and applied to industrial and biomedical signals: First, we propose a method that has been applied to investigating industrial process data. The self-organizing map (SOM) is combined with scatterplots using the traditional color linking or interactive brushing. The original contribution is to apply color linked or brushed scatterplots and the SOM to visually survey local dependencies between a pair of attributes in different parts of the SOM. Clusters can be visualized on a SOM with different colors, and we also present how a color coding can be automatically obtained by using a proximity preserving projection of the SOM model vectors. Second, we present a new method for an (interactive) visualization of cluster structures in a SOM. By using a contraction model, the regular grid of a SOM visualization is smoothly changed toward a presentation that shows better the proximities in the data space. Third, we propose a novel VDM method for investigating the reliability of estimates resulting from a stochastic independent component analysis (ICA) algorithm. The method can be extended also to other problems of similar kind. As a benchmarking task, we rank independent components estimated on a biomedical data set recorded from the brain and gain a reasonable result. We also utilize DM and visualization for mobile-awareness and personalization. We explore how to infer information about the usage context from features that are derived from sensory signals. The signals originate from a mobile phone with on-board sensors for ambient physical conditions. In previous studies, the signals are transformed into descriptive (fuzzy or binary) context features. In this thesis, we present how the features can be transformed into higher-level patterns, contexts, by rather simple statistical methods: we propose and test using minimum-variance cost time series segmentation, ICA, and principal component analysis (PCA) for this purpose. Both time-series segmentation and PCA revealed meaningful contexts from the features in a visual data exploration. We also present a novel type of adaptive soft keyboard where the aim is to obtain an ergonomically better, more comfortable keyboard. The method starts from some conventional keypad layout, but it gradually shifts the keys into new positions according to the user's grasp and typing pattern. Related to the applications, we present two algorithms that can be used in a general context: First, we describe a binary mixing model for independent binary sources. The model resembles the ordinary ICA model, but the summation is replaced by the Boolean operator OR and the multiplication by AND. We propose a new, heuristic method for estimating the binary mixing matrix and analyze its performance experimentally. The method works for signals that are sparse enough. We also discuss differences on the results when using different objective functions in the FastICA estimation algorithm. Second, we propose "global iterative replacement" (GIR), a novel, greedy variant of a merge-split segmentation method. Its performance compares favorably to that of the traditional top-down binary split segmentation algorithm.reviewe

Pseudo Euler-Lagrange and Piecewise Affine Control Applied to Surge and Stall in Axial Compressors

This thesis addresses the control of the axial compressor surge and stall phenomena using Pseudo Euler-Lagrange and Piecewise Affine (PWA) controller synthesis techniques. These phenomena are considered as major gas turbine compressor instabilities that may result in failures such as the engine flame-out or severe mechanical damages caused by high blade vibration. The common approach towards the detection of the rotating stall and surge is to install various types of pressure sensors, hot wires and velocity probes. The inception of the rotating stall and surge is recognized by the presence of pressure fluctuation and velocity disturbances in the gas stream that are obtained through sensors. The necessary measure is then taken by applying proper stall and surge stabilizing control actions. The Lyapunov stability of pseudo Euler-Lagrange systems in the literature is extended to include additional nonlinear terms. Although Lyapunov stability theory is considered as the cornerstone of analysis of nonlinear systems, the generalization of this energy-based method poses a drawback that makes obtaining a Lyapunov function a difficult task. Therefore, proposing a method for generating a Lyapunov function for the control synthesis problem of a class of nonlinear systems is of potential importance. A systematic Lyapunov-based controller synthesis technique for a class of second order systems is addressed in this thesis. It is shown, in terms of stability characteristics, that the proposed technique provides a more robust solution to the compressor surge suppression problem as compared to the feedback linearization and the backstepping methods. The second contribution is a proposed new PWA approximation algorithm. Such an approximation is very important in reducing the complexity of nonlinear systems models while keeping the global validity of the models. The proposed method builds upon previous work on piecewise affine (PWA) approximation methods, which can be used to approximate continuous functions of n-variables by a PWA function. Having computed the PWA model of the stall and surge equations, the suppression problem is then solved by using PWA synthesis techniques. The proposed solution is shown to have higher damping characteristics as compared to the backstepping nonlinear method

Robust production optimization of gas-lifted oil fields

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Automação e Sistemas, Florianópolis, 2015.Com a crescente demanda por energia fóssil as operadoras petrolíferas têm buscado determinar planos operacionais que otimizam a produção dos campos em operação para satisfazer a demanda do mercado e reduzir os custos operacionais. Neste contexto, a pesquisa operacional tem se mostrado uma importante ferramenta para determinação dos planos de produção de curto prazo para campos de petróleo complexos. Alguns trabalhos já desenvolveram estratégias para a otimização integrada da produção que visam auxiliar engenheiros de produção e operadores a atingir condições de operação ótimas. Estes avanços científicos atestam o potencial da área de otimização integrada da produção de campos, justificando a busca por estratégias de otimização global e integradas de ativos. Contudo, a incerteza dos parâmetros que caracterizam o reservatório, os poços, fluidos e os diversos processos de produção não vem sendo considerada pelos modelos e algoritmos de otimização da produção diária. Considerando os modelos de produção de curto prazo, estas incertezas podem ser atribuídas a erros de medição , comportamento oscilatório dos sistemas, modelos imprecisos, entre outros. A influência da incerteza dos parâmetros em problemas de otimização tem, desde tempos, sido foco da comunidade de programação matemática. E já foi verificado que soluções de problemas de otimização podem apresentar significativa sensibilidade à pertubações nos parâmetros do dado problema, podendo levar a soluções não factíveis, subótimas ou ambas. Assim, buscando tornar as abordagens de otimização existentes mais confiáveis e robustas às incertezas intrínsecas dos sistemas de produção, esta dissertação investiga a modelagem e tratamento de incertezas na otimização diária da produção e propõe formulações em programação matemática para otimização robusta da produção de poços operados por gas-lift. As formulações representam curvas amostradas através de dados simulados ou medidos que refletem as incertezas dos sistemas de produção. Estas representações levam a formulações robustas em programação matemática inteira mista obtidas pela aproximação das curvas de produção através de linearização por partes. Além disso, este trabalho apresenta os resultados de uma analise computacional comparativa da aplicação da formulação robusta e da formulação nominal a um campo de petróleo em ambiente de simulação, porém considerando simuladores multifásicos amplamente empregados pela indústria do petróleo e gás, que representam a fenomenologia muito próximo da realidade. O primeiro capítulo apresenta a problemática em que estão envolvidos os desenvolvimentos realizados nesta dissertação e um resumo dos capítulos subsequentes. No segundo capítulo alguns conceitos fundamentais são apresentados para a compreensão do trabalho desenvolvido. Este capítulo é dividido em três partes. A primeira parte inicia apresentando brevemente a indústria de petróleo e gás com uma perspectiva histórica, econômica e dos processos envolvidos. Na sequência são expostos conceitos básicos de engenharia de petróleo necessários para o entendimento do sistema de produção utilizado ao longo a dissertação  i.e. gas-lift. Finalmente, o problema de otimização da produção é situado dentro do problema maior, que é o gerenciamento completo das operações de um campo de petróleo, seguido de uma revisão da literatura no que se refere a abordagens clássicas para otimização da produção de campos operados por gas-lift. A segunda parte é uma descrição compacta sobre modelagem de problemas de otimização utilizando programação matemática e na menção dos métodos de solução deste tipo de problema utilizados na parte experimental desta dissertação. A terceira parte começa com uma revisão sobre incerteza em problemas de otimização e sobre as decisões de modelagem enfrentadas quando na presença de problemas de otimização incertos. Na sequência o paradigma de otimização robusta é introduzido e é apresentada uma compilação de alguns dos principais resultados da área de otimização robusta linear. Além disso, ao fim, alguns pontos específicos da teoria de otimização robusta são apresentados pela suas relevâncias para o desenvolvimento da teoria dos capítulos seguintes. O terceiro capítulo inicia com uma discussão sobre as origens das incertezas nos modelos de produção para então prover uma revisão bibliográfica dos poucos trabalhos que mencionam ou lidam com incerteza em sistemas de produção. Na sequência, a incerteza é examinada na perspectiva do problema de otimização. Um sistema simples é usado para exemplificar a metodologia de otimização robusta desenvolvida nesta dissertação. O quarto capítulo apresenta dois problemas padrões de otimização da produção, um contendo poços satélites e outro com poços e completação submarina. Para ambos uma formulação em programação linear inteira mista é descrita considerando valores nominais para todos os parâmetros. Então, para cada problema uma reformulação robusta é implementada considerando incerteza nas curvas de produção do poço. A metodologia utilizada para o primeiro problema é a mesma detalhada no capítulo três, e para o segundo uma extensão da metodologia é proposta para poder lidar com restrições de igualdade incertas. No quinto capítulo são apresentados resultados experimentais de um problema de otimização da produção de um campo com poços satélites. Os resultados obtidos com otimização clássica (nominal) e com otimização robusta são então comparados em um campo de produção sintético instanciado em um simulador multifásico comercial. A solução robusta se mostrou indicada para cenários de operação mais críticos onde factibilidade e segurança são prioridade. No capítulo final uma análise dos resultados obtidos na dissertação é feita sob a perspectiva do possível emprego das técnicas desenvolvidas na indústria de óleo e gás. Apesar de à primeira vista os resultados serem conservadores e de sua utilização parecer limitada, existe potencial para a metodologia ser empregada no caso de situações que priorizam segurança. Além disso a metodologia aqui desenvolvida pode servir como ponto inicial para pesquisas e desenvolvimentos futuros. Uma breve descrição de possíveis trabalhos futuros é feita ao final deste capítulo. O apêndice traz a descrição de algoritmos de amostragem de curvas côncavas desenvolvidos para os experimentos numéricos realizados na dissertação.Abstract : Managing production of complex oil fields with multiple wells and coupled constraints remains a challenge for oil and gas operators. Some technical works developed strategies for integrated production optimization to assist production engineers in reaching best operating conditions. However, these works have neglected the uncertainties in the well-performance curves and production processes, which may have a significant impact on the operating practices. The uncertainties may be attributed to measurement errors, oscillating behavior, and model inaccuracy, among others. To this end, this dissertation investigates how uncertainty might be considered in daily production optimization and proposes formulations in mathematical programming for robust production optimization of gas-lifted oil fields. The formulations represent system-measured and simulated sample curves that reflect the underlying uncertainties of the production system. The representations lead to robust mixed-integer linear programming formulations obtained from piecewise-linear approximation of the production functions. Further, this work presents results from a computational analysis of the application of the robust and nominal formulations to a representative oil fields available in simulation software