Combinatorial Optimization

This report summarizes the meeting on Combinatorial Optimization where new and promising developments in the field were discussed. Th

Sobre o problema Euclidiano de Steiner no Rn

The Euclidean Steiner Problem (ESP) asks for a network of minimum length interconnecting a finite set of given points in Rn. The distances considered are Euclidean and it’s allowed to add additional points to decrease the overall length of the network. Problems of this nature are often found in several areas of mathematics, engineering, etc. In this work, we study the origins of ESP, their properties, complexity, and resolution methods. We conclude by analyzing a conjecture proposed in 1992 by Warren Smith on the application of this problem to the vertices of an n-dimensional hypercube, which has remained open since its publication.O Problema Euclidiano de Steiner (PES) tem como objetivo determinar uma rede de comprimento mínimo que conecte um conjunto finito de pontos do Rn previamente escolhidos. A norma utilizada é a euclidiana e é permitido o uso de pontos extras que possam contribuir para a redução do comprimento final da rede. Problemas desta natureza são frequentemente encontrados em diversas áreas da matemática, engenharia, etc. Neste trabalho, estudamos as origens do PES, suas propriedades, complexidade e métodos de resolução. Encerramos analisando uma conjectura proposta em 1992 por Warren Smith sobre a aplicação desse problema aos vértices de um hipercubo n-dimensional, a qual está em aberto desde sua publicação

Aplicação de otimização por enxame de partículas aprimorada na solução do problema da árvore de Steiner Euclidiano no ℝ

Given a fixed set of points in a N-dimensional space (≥3) with Euclidean metric, the Euclidean Steiner Tree Problem in ℝ consists on finding a minimum length tree that spans all these points using, if necessary, extra points (Steiner points). The finding of such solution is a NP-hard problem. This work presents a modified metaheuristic based on Improved Particle Swarm Optimization to the problem considered. Finally, computational experiments compare the performance of the proposed heuristic, considering solution’s quality and computational time, regard to previous works in the literature.Dado um conjunto fixo de pontos em um espaço N-dimensional (≥3) com métrica euclidiana, o Problema da Árvore de Steiner Euclidiano no ℝ consiste em encontrar uma árvore de menor comprimento que ligue todos estes pontos usando, se necessário, pontos extras (pontos de Steiner). A busca desta solução é um problema NP-difícil. Este trabalho apresenta uma meta-heurística modificada baseada em Otimização por Enxame de Partículas Aprimorada para o problema considerado. Finalmente, experimentos computacionais comparam o desempenho da heurística proposta, considerando a qualidade da solução e o tempo computacional, em relação a trabalhos anteriores na literatura

On the Steiner ratio in 3-space

The "Steiner minimal tree" (SMT) of a point set P is the shortest network of "wires" which will suffice to "electrically" interconnect P . The "minimum spanning tree" (MST) is the shortest such network when only intersite line segments are permitted. The "Steiner ratio" ae(P ) of a point set P is the length of its SMT divided by the length of its MST. It is of interest to understand which point set (or point sets) in R d have minimal Steiner ratio. In this paper, we introduce a point set in R d which we call the "d-dimensional sausage." The 1 and 2-dimensional sausages have minimal Steiner ratios 1 and p 3=2 respectively. (The 2-sausage is the vertex set of an infinite strip of abutting equilateral triangles. The 3sausage is an infinite number of points evenly spaced along a certain helix.) We present extensive heuristic evidence to support the conjecture that the 3-sausage also has minimal Steiner ratio (ß 0:784190373377122). Also: We prove that the regular tetrahedron minimize..