A study on unification and disunification modulo

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Ciência da Computação, 2020.Estuda-se a comparação entre unificação assimétrica e desunificação módulo teorias equa- cionais em relação às suas complexidades, como desenvolvida por Ravishankar, Narendran e Gero. A unificação assimétrica é um tipo de unificação equacional em que as soluções devem fornecer o lado direito dos problemas apresentados na forma normal. E a desunifi- cação é resolver problemas com equações e “disequações” em relação à uma teoria equaci- onal dada. As soluções para os problemas de desunificação são substituições que tornam os dois termos de cada equação iguais, mas os dois termos de cada “disequação” diferen- tes. Unificação e desunificação equacional foram comparadas por os autores mencionados com relação as suas complexidades de tempo para duas teorias equacionais: a primeira associativa (A), comutativa (C), com unidade (U) e nilpotente (N), como (ACUN) e a segunda com tais propriedades, mas adicionando um homomorfismo (h), como (ACUNh), mostrando que desunificação pode ser resolvida em tempo polinomial enquanto unificação assimétrica é NP-difícil para ambas as teorias equacionais. Além disso, foi estudada a abordagem introduzidas por Zhiqiang Liu, em sua dissertação de doutorado, para converter osunificadores módulo ACUN em assimétricos, com símbolos de função não interpretados, usando as regras de inferência. Para a teoria associativa comutativa com homomorfismo (ACh), estudou-se a prova de que unificação módulo ACh é indecidível, assim como o algoritmo de semi-decisão, recentemente introduzido por Ajay Kumar Eeralla e Christopher Lynch, que apresenta um conjunto de regras de inferência para resolver o problema com limitações.Comparisons between asymmetric unification and disunification modulo AC concerning their complexities, as developed by Ravishankar, Narendran and Gero are studied. Asym- metric unification is a type of equational unification problem in which the solutions must give as right-hand sides of the input problem, normal forms regarding some rewriting sys- tem. And disunification problems require solving equations and "disequations" for a given equational theory. Solutions to the disunification problems are substitutions that make the two terms of each equation equal, but the two terms of each “disequation” different. These authors compared the complexity of the unification and disunification problems for two equational theories. The properties of the first equational theory are associativity (A), commutativity (C), the existence of unity (U), and nilpotence (N), abbreviated as ACUN. And, the second equational theory has the same properties but adds a homomorphism (h), for short, ACUNh. For such equational theories, details of the proof that disunification can be solved in polynomial time while the asymmetric unification is NP-hard have been studied. Besides, the approach for converting ACUN unifiers to asymmetric ones, with uninterpreted function symbols using the inference rules introduced by Zhiqiang Liu, in his Ph.D. dissertation, was studied. Narendran’s proof of the undecidability of the unifi- cation problem modulo the associative commutative theory with homomorphism ACh is studied. Also, the semi-decision algorithm, recently introduced by Ajay Kumar Eeralla and Christopher Lynch, is studied, which presents a set of inference rules for solving a bounded version of ACh unification

Pseudo-contractions as Gentle Repairs

Updating a knowledge base to remove an unwanted consequence is a challenging task. Some of the original sentences must be either deleted or weakened in such a way that the sentence to be removed is no longer entailed by the resulting set. On the other hand, it is desirable that the existing knowledge be preserved as much as possible, minimising the loss of information. Several approaches to this problem can be found in the literature. In particular, when the knowledge is represented by an ontology, two different families of frameworks have been developed in the literature in the past decades with numerous ideas in common but with little interaction between the communities: applications of AGM-like Belief Change and justification-based Ontology Repair. In this paper, we investigate the relationship between pseudo-contraction operations and gentle repairs. Both aim to avoid the complete deletion of sentences when replacing them with weaker versions is enough to prevent the entailment of the unwanted formula. We show the correspondence between concepts on both sides and investigate under which conditions they are equivalent. Furthermore, we propose a unified notation for the two approaches, which might contribute to the integration of the two areas

Foundations of Software Science and Computation Structures

This open access book constitutes the proceedings of the 24th International Conference on Foundations of Software Science and Computational Structures, FOSSACS 2021, which was held during March 27 until April 1, 2021, as part of the European Joint Conferences on Theory and Practice of Software, ETAPS 2021. The conference was planned to take place in Luxembourg and changed to an online format due to the COVID-19 pandemic. The 28 regular papers presented in this volume were carefully reviewed and selected from 88 submissions. They deal with research on theories and methods to support the analysis, integration, synthesis, transformation, and verification of programs and software systems

Nominal equational problems modulo associativity, commutativity and associativity-commutativity

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Ciência da Computação, 2019.A sintaxe nominal tem sido utilizada em vários contextos por quase duas décadas. Ela é uma ferramenta poderosa para se lidar com ligação de variáveis de uma forma concreta, que pode ser aplicada a qualquer especificação na qual parâmetros são utilizados para se abstrair variáveis, tal como em predicados e funções. Na sintaxe nominal, objetos que são sintaticamente diferentes podem ter a mesma semântica módulo alfa-conversão, tal como acontece no Cálculo Lambda. O tratamento de igualdades, em especial a alphaequivalêcia, é algo essencial em linguagens formais e implementações. Este trabalho investiga a alpha-equivalência nominal com símbolos de função associativos (A), comutativos (C) e associativos-comutativos (AC). Verificação de equivalência, casamento e unificação módulo A, C e AC são investigados. Em relação a verificação de igualdade, as alphaequivalências nominais módulo A, C e AC foram especificadas em Coq e provadas ser corretas. Um algoritmo implementado em OCaml para verificação de igualdade módulo A, C e AC é automaticamente extraído da especificação e experimentos são executados utilizando-se também um algoritmo aperfeiçoado. Limites superiores para o tempo de execução na solução de problemas nominais de verificação equacional são fornecidos. Um algoritmo de unificação módulo C baseado em regras de redução é especificado em Coq e provado ser correto e completo. Por meio do uso de variáveis protegidas, este algoritmo de unificação resolve problemas de casamento nominal módulo C, o que foi também formalizado ser correto e completo. O algoritmo de unificação baseado em regras de redução fornece uma família finita de conjuntos de equações nominais de ponto fixo. Cada uma destas equações pode ter um conjunto infinito de soluções independentes. Portanto, demonstra-se que problemas de unificação nominal módulo C e AC podem gerar um conjunto infinito de soluções independentes. Este fato contrasta com unificação sintática módulo C ou AC, que são conhecidas por estar na classe finitária de problemas. Uma implementação em OCaml do algoritmo de unificação nominal é fornecida e utilizado para se construir exemplos.The nominal syntax has been used in many application contexts for almost two decades. It is a powerful tool for dealing with variable binding in a concrete manner that can be applied to any specification in which parameters are used to abstract variables, such as in predicates and functions. In the nominal syntax, syntactically different objects can have the same semantics modulo alpha-conversion, as happens in the lambda calculus. Dealing with equality, and in special with alpha-equivalence, is essential in formal languages and implementations. This work investigates the nominal alpha-equivalence with associative (A), commutative (C) and associative-comutative (AC) function symbols. Equalitychecking, matching and unification modulo A, C and AC are investigated. Regarding equality-checking, nominal alpha-equivalence modulo A, C and AC are specified in Coq and proved sound. An algorithm implemented in OCaml for equality-checking modulo A, C and AC is automatically extracted from the specification and experiments are performed using also an improved algorithm. Upper bounds for solving nominal equality-checking problems are given. A rule-based nominal unification modulo C algorithm is specified in Coq and proved sound and complete. By using protected variables, this unification algorithm solves nominal matching problems modulo C, which is formalised to be sound and complete. The rule-based nominal unification algorithm outputs a finite family of sets of fixed point nominal equations. Each of which might have an infinite set of independent solutions. Therefore, nominal unification modulo C or AC are proved to potentially generate infinite independent solutions. This contrasts with syntactic unification modulo C or AC that are known to be in the finitary class. An OCaml implementation of the nominal unification algorithm is provided and used to build examples

Algoritmos de unificación ecuacional en teorías xerais

[Resumen] SE PRESENTA UN NUEVO ALGORITMO UNIVERSAL DE E-UNIFICACION QUE ES COMPLETO EN TEORIAS GENERALES, UTILIZANDO EL ESQUEMA DE UNIFICACION DE PARES DE SUBSTITUCIONES, ESTE METODO ES UNA GENERALIZACION DE NARROWING PARA CONSERVAR LA COMPLETITUD EN AQUELLAS TEORIAS PARA LAS QUE ESTE NO ES COMPLETO. SE PRUEBA QUE ES TAMBIEN UNA ESPECIALIZACION DE RELAXED NARROWING (DOUGHERTY Y JOHANN) Y SE COMPRUEBA, MEDIANTE UNA IMPLEMENTACION EN CAML, QUE REDUCE UN NUMERO CONSIDERABLE DE SOLUCIONES REDUNDANTES Y DETECTA RAPIDAMENTE LA NO E-UNIFICABILIDAD. SE INTRODUCEN NUEVAS MEJORAS EN EL METODO Y SE MUESTRA FAVORABLE EN LA COMPARACION CON LOS OTROS METODOS GENERALES DE UNIFICACION ECUACIONAL SE INCORPORAN LOS PROGRAMAS EN CAML, LOS RESULTADOS Y OTROS RESULTADOS ORIGINALES EN ESTE CAMPO

On the Complexity of Unification and Disunification in Commutative Idempotent Semigroups

. We analyze the computational complexity of elementary unification and disunification problems for the equational theory ACI of commutative idempotent semigroups. From earlier work, it was known that the decision problem for elementary ACI-unification is solvable in polynomial time. We show that this problem is inherently sequential by establishing that it is complete for polynomial time (P-complete) via logarithmic-space reductions. We also investigate the decision problem and the counting problem for elementary ACI-matching and observe that the former is solvable in logarithmic space, but the latter is #Pcomplete. After this, we analyze the computational complexity of the decision problem for elementary ground ACI-disunification. Finally, we study the computational complexity of a restricted version of elementary ACI-matching, which arises naturally as a set-term matching problem in the context of the logic data language LDL. In both cases, we delineate the boundary between polynomi..